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专题06 不等式
考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律
不等式 2026年：北京卷、天津卷、上海卷2025年：北京卷、全国II卷、天津卷、上海卷2024年：上海卷、全国甲卷、北京卷 1. 核心考查基础内容：不等式的基本性质、一元二次不等式的求解、基本不等式的应用；
2. 题型覆盖全面：选择、填空、解答题均有涉及，基础题多以选择、填空形式考查，综合题常与函数、导数、数列、解析几何等模块结合，出现在压轴题位置；
不等式
1．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（ ）
A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数
B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数
C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数
D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数
【答案】B
【分析】设出高一、高二去甲、乙地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论.
【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为，
高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为，
∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：，
∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，
∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得，
∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误.
2．（2026·天津·高考真题）的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】B
【详解】因为，
当且仅当，即，时，等号成立,
所以的最小值为9.
3．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C.
【详解】对于A,取，则故，所以A错误，
对于B，取则，此时，故B错误，
对于C，由于，故，因此，C正确，
对于D,取，则，此时，故D错误，
故选：C
4．（2025·北京·高考真题）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【详解】对于A,当时，，故A错误；
对于BD，取，此时，
，故BD错误；
对于C，由基本不等式可得，故C正确.
故选：C.
5．（2025·全国II卷·高考真题）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.
【详解】即为即，故，
故解集为.
故选：C.
6．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断.
【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误；
对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确；
对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误．
故选：B．
7．（2024·全国甲卷·高考真题）若满足约束条件，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.
【详解】实数满足，作出可行域如图：
由可得，
即的几何意义为的截距的，
则该直线截距取最大值时，有最小值，
此时直线过点，
联立，解得，即，
则.
故选：D.
8．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
9．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________．
【答案】/
【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论.
【详解】因为，当且仅当时等号成立，
结合可得，，
当且仅当，或，时等号成立，
所以当，或，时，取最大值，最大值为.
10．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________.
【答案】
【分析】由可得:，解不等式可得其解集.
【详解】由可得:，
解得:，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
11．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______．
【答案】2
【分析】由于、为正值，且为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出的最大值．
【详解】解：∵，，
∴
∴，当且仅当时取等号，即，时取等号
故答案为：2．
【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题
12．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______
【答案】
【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【详解】设，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的，，
不妨代入，得，得，
当时，原不等式可化为，
即，
观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，
此时，，说明时，均可取到，满足题意，
故的最小值为.
故答案为：
13．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________．
【答案】4
【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可.
【详解】易知，
当且仅当，即时取得最小值.
故答案为：4
14．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________．
【答案】
【分析】转化为一元二次不等式，解出即可.
【详解】原不等式转化为，解得，
则其解集为.
故答案为：.
15．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____．
【答案】
【分析】将不等式化为，即可得答案.
【详解】由题意得不等式即，
即不等式的解集为，
故答案为：
16．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______.
【答案】
【分析】分与两段求解二次不等式可得.
【详解】根据题意知.
当时，,即，解得，则有；
当时，,即，，即时，不等式都成立.
综上所述，的的取值范围为.
故答案为：.
17．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______．
【答案】12
【分析】利用不等式即可求解.
【详解】,
当且仅当,即或时,等号成立,
故的最小值为12.
故答案为：12.
18．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.
【详解】方程的解为或，
故不等式的解集为，
故答案为：.
19．（2026·上海·高考真题）已知，函数，．
(1)已知，求的解集；
(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围；
（2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意，.在与中，
，解得，∴，
∵，
∴，解得或或，
∴不等式的解集为.
（2）由题意知，由，得，
∴.
∵直线为在点的切线，
∴直线的方程为，即，
∵是过点且垂直于的直线，
∴直线的方程为：，即，
对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点，
∴与无正实数解，
分离参数得，，，
∴直线与与曲线在内均无交点，
而，
当时，解得（舍）或，
∴当即时，函数单调递减，
当即时，函数单调递增，
∴在处取最小值，.
当时，，当时，，
∴且，即或，
∴实数的取值范围为.
20．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”.
(1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”；
(2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？
(3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
(3)严格单调递减
【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；
（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；
（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.
【详解】（1）当时，，
当且仅当即时取等号，
故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．
（2）由题设可得，
则，
因为均为上单调递增函数，
则在上为严格增函数，
而，故当时，，当时，，
故，此时，
而，
故在点处的切线方程为.
而，故，
故直线与在点处的切线垂直．
（3）设，
，
而，
，
若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，
设，则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，
则存在,使得，
即①
②
由①②相等得，即，
即，又因为函数在定义域上恒正，
则恒成立，
接下来证明，
因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，
即，③
，④
③+④得
即，因为
则，解得，
则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.
21．（2024·全国甲卷·高考真题）已知实数满足．
(1)证明：；
(2)证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）直接利用即可证明.
（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.
【详解】（1）因为，
当时等号成立，则，
因为，所以;
（2）
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专题06 不等式
考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律
不等式 2026年：北京卷、天津卷、上海卷2025年：北京卷、全国II卷、天津卷、上海卷2024年：上海卷、全国甲卷、北京卷 1. 核心考查基础内容：不等式的基本性质、一元二次不等式的求解、基本不等式的应用；
2. 题型覆盖全面：选择、填空、解答题均有涉及，基础题多以选择、填空形式考查，综合题常与函数、导数、数列、解析几何等模块结合，出现在压轴题位置；
不等式
1．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（ ）
A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数
B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数
C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数
D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数
2．（2026·天津·高考真题）的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
3．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·北京·高考真题）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·全国II卷·高考真题）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全国甲卷·高考真题）若满足约束条件，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________．
10．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________.
11．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______．
12．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______
13．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________．
14．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________．
15．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____．
16．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______.
17．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______．
18．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______．
19．（2026·上海·高考真题）已知，函数，．
(1)已知，求的解集；
(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．
20．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”.
(1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”；
(2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？
(3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性.
21．（2024·全国甲卷·高考真题）已知实数满足．
(1)证明：；
(2)证明：．
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