资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.3 矩形的性质与判定B
一、选择题（每小题3分 共24分）
1．（本题3分）下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是（ ）
A．邻边相等 B．邻角相等 C．对角互补 D．对角线相等
2．（本题3分）如图，中，，E，F分别为和的中点，是边上的高，连接，．若，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
3．（本题3分）下列说法中错误的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．菱形的对角线平分一组对角
C．平行四边形的对边相等 D．矩形的对角线互相平分
4．（本题3分）顺次连接“①矩形；②菱形；③对角线相等的四边形”各边中点所得的四边形中，为菱形的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①③
5．（本题3分）如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，，则的长是( )
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A． B． C． D．5
7．（本题3分）如图，在中，，，为上一点，且，，分别是，的中点，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图①，在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴．直线沿x轴正方向平移，被矩形截得的线段的长度l与平移的距离a之间的函数图象如图②，则矩形的面积为（ ）
A．18 B．15 C．12 D．10
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）如图，四边形是矩形，点的坐标为，则对角线的长为__________．
10．（本题3分）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________．
11．（本题3分）如图，在中， ，，， D 为斜边中点，连接，则的长为______．
12．（本题3分）如图，在中，，点为边上一动点，于点于点，连接为的中点，连接，则的最小值为______．
13．（本题3分）如图，在矩形中，动点从点出发，沿的路径匀速运动到点处停止，运动速度为．设点运动的时间为，的面积为，表示与的函数关系的图象如图所示，则图中的值为________，当时，点运动的路程为________．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．
15．（本题7分）如图，在中，于点E．
(1)尺规作图：作于点F（保留作图痕迹，不证明）；
(2)求证：四边形是矩形．
16．（本题8分）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）．
(1) ， ；
(2)求的长．
17．（本题9分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形面积．
18．（本题9分）如图，矩形，点是对角线的中点，过点作的垂线与，分别交于点，，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求矩形的面积．
19．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，，．直线：（，为常数且）经过点，并与边的交点为，直线：（为常数且）与交于点，设点的纵坐标为．
(1)求直线的函数表达式；
(2)嘉嘉通过探究发现：“无论取何值，直线总过某个定点”．求这个定点的坐标；
(3)若对于直线上的点，满足当随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
20．（本题12分）如图1，的两条对角线，相交于点，，点在边上，交于，过作的平行线分别交，于．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)如图2，若，分别为，的中点，连接，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.3 矩形的性质与判定B
一、选择题（每小题3分 共24分）
1．（本题3分）下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是（ ）
A．邻边相等 B．邻角相等 C．对角互补 D．对角线相等
解：A选项：∵菱形的判定定理为“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，∴本选项符合要求；
B选项：∵平行四边形邻角互补，若邻角相等，则每个内角为，该平行四边形是矩形，不是菱形，不符合要求；
C选项：∵平行四边形对角相等，若对角互补，则每个内角为，该平行四边形是矩形，不是菱形，不符合要求；
D选项：∵对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，不符合要求．
2．（本题3分）如图，中，，E，F分别为和的中点，是边上的高，连接，．若，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
解：为的中点，且，
．
．
由题意，得是的中位线，
．
3．（本题3分）下列说法中错误的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．菱形的对角线平分一组对角
C．平行四边形的对边相等 D．矩形的对角线互相平分
解：A、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故此选项说法错误，符合题意；
B、菱形的性质包含对角线平分一组对角，故此选项说法正确，不符合题意；
C、平行四边形的性质包含对边相等，故此选项说法正确，不符合题意；
D、矩形是特殊的平行四边形，平行四边形对角线互相平分，∴矩形对角线互相平分，故此选项说法正确，不符合题意．
4．（本题3分）顺次连接“①矩形；②菱形；③对角线相等的四边形”各边中点所得的四边形中，为菱形的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①③
解：∵顺次连接任意四边形各边中点，根据三角形中位线定理可得，所得四边形对边分别平行且边长等于原四边形对角线长的一半，因此所得四边形一定是平行四边形，
若所得平行四边形为菱形，则需要邻边相等，即原四边形对角线相等，
①矩形，矩形对角线相等，满足条件，所得中点四边形是菱形；
②菱形，菱形对角线互相垂直但不一定相等，不满足条件，所得中点四边形不是菱形；
③对角线相等的四边形，直接满足条件，所得中点四边形是菱形；
因此符合条件的是①③．
5．（本题3分）如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，，则的长是( )
A． B． C． D．
解：在矩形中，，,，
由勾股定理得：，
∴，
∵点、分别是的中点，
∴是的中位线，
∴．
6．（本题3分）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A． B． C． D．5
解：连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
7．（本题3分）如图，在中，，，为上一点，且，，分别是，的中点，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
解:如图，连接，
在中，，，，
，，
由勾股定理得：，
，，
是等边三角形，
是的中点，
，即，
在中，是的中点，
．
8．（本题3分）如图①，在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴．直线沿x轴正方向平移，被矩形截得的线段的长度l与平移的距离a之间的函数图象如图②，则矩形的面积为（ ）
A．18 B．15 C．12 D．10
解：由图可知，当时，直线m过点．
当时，直线经过点．
当时，直线经过点．
当时，直线经过点．
故当在上移动时，，，
当在上移动时，，
∵直线是二、四象限夹角的平分线，
又∵直线沿x轴正方向平移，
∴直线过点B时与y轴的夹角为，
∵轴，
∴此时，
∵矩形中，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴矩形的面积为：．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）如图，四边形是矩形，点的坐标为，则对角线的长为__________．
解：如图，连接，
∵四边形是矩形，∴，
∵点，点，
∴，
∴．
10．（本题3分）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________．
解：∵垂直且平分线段，
∴，
∵四边形是矩形，对角线与相交于点，，
∴，
∴．
11．（本题3分）如图，在中， ，，， D 为斜边中点，连接，则的长为______．
解：在中，，，，
，
点为的中点，
．
12．（本题3分）如图，在中，，点为边上一动点，于点于点，连接为的中点，连接，则的最小值为______．
解：如图，连接，
在中，，且
，
是直角三角形，且，
，，
，
四边形是矩形，
，且、互相平分，
为的中点，
为的中点，
，
当有最小值时，有最小值，
由垂线段最短可知，当时，有最小值，
，
，
，即的最小值为．
13．（本题3分）如图，在矩形中，动点从点出发，沿的路径匀速运动到点处停止，运动速度为．设点运动的时间为，的面积为，表示与的函数关系的图象如图所示，则图中的值为________，当时，点运动的路程为________．
解：动点从点出发，沿的路径匀速运动，
；
，
在矩形中，，
点在线段上时
，
解得：
点运动的路程为
点在线段上时，
，
∴
解得：
∴点运动的路程为
综上所述，，当时，点运动的路程为或．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
E为的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：由（1）得，，
又，
四边形是平行四边形，
，点F在的延长线上，
，
四边形是矩形．
15．（本题7分）如图，在中，于点E．
(1)尺规作图：作于点F（保留作图痕迹，不证明）；
(2)求证：四边形是矩形．
（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：由作图可知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
16．（本题8分）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）．
(1) ， ；
(2)求的长．
（1）解：∵四边形是长方形，，，是 折叠得到，
∴．，
∴在中，，
∴．
（2）解：设，
∴，．
在中，，
∴，
解得：，
∴．
17．（本题9分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形面积．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴．
18．（本题9分）如图，矩形，点是对角线的中点，过点作的垂线与，分别交于点，，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求矩形的面积．
(1)证明：∵矩形，点是对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵在菱形中，，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，，．直线：（，为常数且）经过点，并与边的交点为，直线：（为常数且）与交于点，设点的纵坐标为．
(1)求直线的函数表达式；
(2)嘉嘉通过探究发现：“无论取何值，直线总过某个定点”．求这个定点的坐标；
(3)若对于直线上的点，满足当随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
（1）解：∵直线：（，为常数且）经过点，并与边的交点为，
∴，解得：，
∴直线：，
（2）解：∵直线：（为常数且）
∴，∴当时，，
∴直线：过定点．
（3）解：如图，直线：过定点，
当轴时，，
当直线上的点，满足当随的增大而减小时，则，
∴，
如图，当轴时，
∴，
∴，
解得：，
∴当直线上的点，满足当随的增大而减小时，则，
∴，
综上：或．
20．（本题12分）如图1，的两条对角线，相交于点，，点在边上，交于，过作的平行线分别交，于．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)如图2，若，分别为，的中点，连接，求的值．
(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，，
∴，
．
(2)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
，
，
，
，
，，
，
，，，
．
（3）如图，连接，
，，
，
为的中点，
，
在中，为的中点，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑