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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.4 正方形的性质与判定B
一、选择题（每小题3分 共24分）
1．（本题3分）菱形添加一个条件，能使菱形成为正方形的是（ ）
A．对角线平分一组对角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等
解：∵菱形本身具有的性质为：对角线平分一组对角，对角线互相垂直平分，四条边相等，
∴A，C，D都是菱形本身就有的性质，不能使菱形变为正方形，
又∵对角线相等的菱形是正方形，
∴添加条件对角线相等能使菱形成为正方形．
2．（本题3分）下列说法错误的是（ ）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴A说法正确，不符合题意；
B、∵对角线相等的平行四边形是矩形是矩形的判定定理，∴B说法正确，不符合题意；
C、∵正方形的判定要求对角线互相垂直平分且相等，仅对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，∴C说法错误，符合题意；
D、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是平行四边形的判定定理，∴D说法正确，不符合题意．
3．（本题3分）的对角线，相交于点．下列结论中一定成立的是（ ）
A． B．
C．， D．，
解：A选项 只有矩形的对角线才满足，普通平行四边形不成立，A错误．
B选项 只有菱形的对角线才互相垂直，普通平行四边形不满足，B错误．
C选项 对角线垂直且相等是正方形的性质，普通平行四边形不成立，C错误．
D选项 根据平行四边形对角线互相平分的性质，一定可得，，D成立．
4．（本题3分）下列关于四边形的说法正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相垂直 B．矩形的对角线相等
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
解：A．平行四边形的对角线互相平分，不一定垂直，故原说法错误；
B．矩形的对角线相等，故原说法正确；
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误；
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故原说法错误．
5．（本题3分）平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等
C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等
解：∵ 平行四边形的对角线互相平分，对角线不相等也不垂直，四条边不都相等；
菱形的对角线互相垂直平分，对角线不相等，四个角不都相等；
矩形的对角线相等且互相平分，对角线不垂直，四条边不都相等；
正方形的对角线互相垂直平分且相等，四条边相等，四个角相等；
∴ 四个图形都具有的性质只有对角线互相平分，因此选项A正确.
6．（本题3分）如图，在中，，，以，为边做正方形，这两个正方形的面积和为（ ）
A．5 B．9 C．16 D．25
解：设，则以，为边的两个正方形的面积分别为，
，
在中，由勾股定理得， 即两个正方形的面积和为，
，
面积和．
7．（本题3分）如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，点是的中点，过点作的平行线，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
∴，，
如图，延长交于点，过点M作于点H，
则．
∵正方形中，，且，
∴，
∴四边形和都是矩形，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．（本题3分）在用手机拍照时，我们往往会打开九宫格辅助线功能，将拍照主体放置于交叉点处，避免居中呆板，更加美观．原理是：如图，在正方形中，点为的中点，以为圆心，为半径作圆，与底边的延长线交于点，则矩形为黄金矩形，若，则（ ）
A． B． C． D．
解：四边形是正方形，
，，
点为的中点，
，
在中，，
由作图知，
，
．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）已知矩形的对角线长为8，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为______．
解：设原矩形为，
由于矩形对角线相等，故，
∵，，，分别为，，，的中点，
根据三角形中位线定理，可得：，，，，
因此所得四边形的周长为．
10．（本题3分）如图，边长为2的正方形两边与坐标轴正半轴重合，则点C的坐标是______．
解：∵四边形是边长为2的正方形，
∴，，
∴点C的坐标为．
11．（本题3分）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是_____．
解：设菱形为，，，，分别为，，，的中点，连接对角线、，
，，，分别是菱形四边的中点，
是的中位线，是的中位线，
根据三角形中位线定理可得：，，，，
，，
四边形是平行四边形，
又四边形是菱形，
，
，，
，即，
平行四边形是矩形．
12．（本题3分）如图，正方形的边长为1，点E在对角线上且，则的长为______．
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵
∴．
13．（本题3分）如图，正方形和正方形边长分别为和，正方形绕点旋转．
（1）________；
（2）用和的代数式表示：________．
（1）解：四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如下图所示，连接，，设与交于点M
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F．
(1)求证：；
(2)求证：．
（1）证明：∵四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，，
，
．
15．（本题7分）如图．正方形的顶点坐标分别为，，直线经过，两点．
(1)求直线的解析式；
(2)直线经过点，并与直线交于点，求点的坐标．
（1）解：∵正方形的顶点坐标分别为，，
∴，轴，
点的坐标为，
设直线的解析式为，把及，代入，
得，解得，
直线的解析式为；
（2）由题意知：，
∴点的坐标为，
把，代入，得，
直线的解析式为，
联立得，解得，
点的坐标为．
16．（本题8分）如图，将边长为4的正方形沿着折痕折叠，使点B落在边中点G处．
(1)求线段的长；
(2)连接，求证：
1）解：由题意得，，
设，则，
四边形是正方形，
，
，
落在边的中点处，
，
，
解得：，
；
（2）证明：如图，由折叠可得．
17．（本题9分）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)当 时，四边形是正方形．
（1）证明：∵点D是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：当时，四边形是正方形，证明如下：
由（1）可得，且四边形是矩形，
又∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴矩形是正方形．
18．（本题9分）正方形中，，连结，将正方形绕点按逆时针方向旋转（）得到正方形．
(1)如图，当点落在的延长线上时，连接，求的度数．
(2)如图，当时，求的长．
（1）解：∵正方形，
∴，
∵旋转，
∴，
∵正方形，点落在的延长线上，
∴，
∴点落在线段上，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵正方形，
∴，
∴，
连接，则，，
由题意，，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴.
19.(本题10分)在学习正方形的过程中，老师给同学们提出一个问题：在正方形中，E是边上的点，连接，F、G分别在边上，连接，与交于点M．若，试说明与的数量关系．
聪明的小雅很快就有了思路：首先过点F作的垂线，将问题转化为证明三角形全等，通过全等三角形的对应边相等使问题得到解决．请根据她的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规过点F作的垂线交于点H（只保留作图痕迹）．
∵四边形是正方形，∴，，．
∵，∴，
即四边形是矩形，∴．
又∵，∴ FH=CD ．
∵，∴，
则 ∠DFG ．
∵，∴，
∴在中，，
∴ ∠FDM=∠GFH ，
∴．∴．
如图，即为所求；
，，
20.(本题12分)如图，在正方形中，E为边上一点，连接，作交的延长线于点F，作交于点G，过点G作交于点H，延长交的延长线于点M．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
(1)
(2)证明：∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
(3)结论：．
证明：如图，过点A作的垂线，过点F作的垂线，两条垂线交于点P，连接，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
由可知，即
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.4 正方形的性质与判定B
一、选择题（每小题3分 共24分）
1．（本题3分）菱形添加一个条件，能使菱形成为正方形的是（ ）
A．对角线平分一组对角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等
2．（本题3分）下列说法错误的是（ ）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3．（本题3分）的对角线，相交于点．下列结论中一定成立的是（ ）
A． B．
C．， D．，
4．（本题3分）下列关于四边形的说法正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相垂直 B．矩形的对角线相等
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
5．（本题3分）平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等
C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等
6．（本题3分）如图，在中，，，以，为边做正方形，这两个正方形的面积和为（ ）
A．5 B．9 C．16 D．25
7．（本题3分）如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，点是的中点，过点作的平行线，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）在用手机拍照时，我们往往会打开九宫格辅助线功能，将拍照主体放置于交叉点处，避免居中呆板，更加美观．原理是：如图，在正方形中，点为的中点，以为圆心，为半径作圆，与底边的延长线交于点，则矩形为黄金矩形，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）已知矩形的对角线长为8，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为______．
10．（本题3分）如图，边长为2的正方形两边与坐标轴正半轴重合，则点C的坐标是______．
11．（本题3分）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是_____．
12．（本题3分）如图，正方形的边长为1，点E在对角线上且，则的长为______．
13．（本题3分）如图，正方形和正方形边长分别为和，正方形绕点旋转．
（1）________；
（2）用和的代数式表示：________．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F．
(1)求证：；
(2)求证：．
15．（本题7分）如图．正方形的顶点坐标分别为，，直线经过，两点．
(1)求直线的解析式；
(2)直线经过点，并与直线交于点，求点的坐标．
16．（本题8分）如图，将边长为4的正方形沿着折痕折叠，使点B落在边中点G处．
(1)求线段的长；
(2)连接，求证：
17．（本题9分）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)当 时，四边形是正方形．
18．（本题9分）正方形中，，连结，将正方形绕点按逆时针方向旋转（）得到正方形．
(1)如图，当点落在的延长线上时，连接，求的度数．
(2)如图，当时，求的长．
19.(本题10分)在学习正方形的过程中，老师给同学们提出一个问题：在正方形中，E是边上的点，连接，F、G分别在边上，连接，与交于点M．若，试说明与的数量关系．
聪明的小雅很快就有了思路：首先过点F作的垂线，将问题转化为证明三角形全等，通过全等三角形的对应边相等使问题得到解决．请根据她的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规过点F作的垂线交于点H（只保留作图痕迹）．
∵四边形是正方形，∴，，．
∵，∴，
即四边形是矩形，∴．
又∵，∴ ．
∵，∴，
则 ．
∵，∴，
∴在中，，
∴ ，
∴．∴．
20.(本题12分)如图，在正方形中，E为边上一点，连接，作交的延长线于点F，作交于点G，过点G作交于点H，延长交的延长线于点M．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
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