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专题07 函数
考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律
考点 01 函数及其性质 2026 年：北京卷、全国 II 卷、天津卷、上海卷
2025 年：北京卷、天津卷、全国 II 卷、上海卷
2024 年：上海卷、全国甲卷、新课标 I 卷、天津卷 1. 核心基础考查：函数奇偶、单调、周期、对称四大性质，函数图像识别、抽象函数、新定义函数为核心载体；
2. 题型分布广泛：选择、填空高频考查基础识图与性质求值，上海、全国 II 卷常设置函数新定义、抽象函数解答压轴题；
3. 综合融合特征：小题常融合指对幂、不等式，大题常搭配导数、恒成立参数问题，压轴题侧重逻辑推理；
4. 地方卷特色：上海卷每年创新函数新定义题型，北京卷侧重图像变换与跨学科情境，全国卷侧重抽象函数性质推导。
考点 02 函数的应用 2026 年：北京卷、天津卷、上海卷
2025 年：北京卷、天津卷、上海卷
2024 年：新课标 II 卷、全国甲卷、天津卷、上海卷 1. 核心考查内容：函数零点与交点、含参零点范围、导数极值最值、实际建模应用、绝对值函数值域与恒成立；
2. 题型层级清晰：基础填空、选择题考查零点存在定理、简单建模；综合解答题结合导数、解析几何面积最值；
3. 模块交叉命题：常与统计回归、解析几何、不等式交汇，2026 新增函数 + 统计跨情境创新题型；
4. 解题核心方法：数形结合分离参数、分类讨论、导数分析法为统一解题思路。
考点 03 指对幂函数 2026 年：天津卷、上海卷
2025 年：全国 I 卷、上海卷
2024 年：北京卷、新课标 I 卷、全国甲卷、天津卷 1. 核心基础考点：指对幂函数图像性质、指对数值大小比较、对数运算、复合分段函数单调性、函数定义域；
2. 考情定位：试卷基础送分题，以单选、填空为主，每年全国卷必有一道比大小小题；
3. 综合考查形式：常捆绑函数单调性、不等式、分段函数求参数，上海卷会结合新定义设置小型综合解答；
4. 情境命题趋势：北京卷多用指数、对数搭建生活 / 跨学科数学模型，落实数学建模素养。
考点01 函数及其性质
1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误；
B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误；
方法一：
C，在中，，则，
，函数单调递减，故错误；
D，在中，，解得，
，则为奇函数，
，即函数在定义域上单调递增，故正确.
法二：
C，在中，，则，为奇函数，
∵和是减函数，
∴函数单调递减，故错误；
D，在中，，解得，
，为奇函数，
∵和是增函数，则为增函数，
∴函数单调递增，故正确.
2．（2026·全国II卷·高考真题）已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得.
【详解】，则，
，即的周期为，
结合奇偶性，周期性，故，
在上满足，说明的对称轴为，
则，解得，
又根据知，而，
则，于是，
即，解得
3．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.
【详解】由题意，
由题意及图得，函数为奇函数，且当时，，
对A选项，当时，，与图象不符，故A错误；
对B选项，当时，，与图象不符，故B错误；
对D选项，当时，，与图象不符，故D错误；
对C选项，在中，
，即该函数为奇函数，
，与图象相符，故C正确.
4．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（ ）
A．若和都有最小值，则有最低点；
B．若有最低点，则和都有最小值；
C．若或有最小值，则有最低点；
D．若有最低点，则或有最小值.
【答案】D
【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得或，再分类讨论即可.
【详解】对于A项，取，，取，，
则，；而无最低点，故A错误；
对于B项，取，，取，，
则无最小值，；而有最低点，故B错误；
对于C项，取，，取，，
则无最小值，；
因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误；
对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且，
所以或，
若，则且对任意的，总有，即；
若，同理可知；
所以若有最低点，则或有最小值，故D正确.
故选：D.
5．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先作出两函数在区间上的图象，根据平移对称法，分别算出和时，两函数的函数值，求得对应线段的中点的纵坐标，从而得出需要将两函数图象上下平移的长度，根据平移后对应点的坐标结合各选项逐一判断即得；也可以通过计算两函数的函数值差值等分量，根据该函数的类型结合选项确定答案.
【详解】方法一：依题意，作出函数与在上的图象.
按照平移对称法，当时，，线段中点纵坐标为，
则应将此时的线段沿方向向下平移，的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故排除B项；
当时，，线段中点纵坐标为，则应将此时的线段沿方向向下平移，
的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故可排除C，D两项，A项符合题意.
方法二：根据平移对称法的基本概念，将函数和函数在上的函数值差值等分在轴上下两侧，
等分量为，故在上线性变化，结合选项知，只有选项A符合题意.
故选：A.

6．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）
【答案】A
【分析】由，根据平移法则即可解出．
【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象，
故选：A.
7．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，
取，则，充分性成立；
取，，则对任意，一定存在，使得，
取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；
所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解.
【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；
又当时，此时，
由图可知当时，，故C不符合，D符合.
故选：D
9．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解.
【详解】设曲线上一点为，则，则，
，方程为：，即，
根据点到直线的距离公式，到的距离为：，
设，
由于，显然关于单调递减，，无最小值，
即中，边上的高有最大值，无最小值，
又一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
10．（2025·全国I卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.
【详解】由题知对一切成立，
于是.
故选：A
11．（2024·上海·高考真题）现定义如下:当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（ ）
（1）存在与有无穷个交点
（2）存在与有无穷个交点
A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立.
【答案】D
【分析】由延展函数的定义分段求出解析式，作出函数图象，数形结合可得.
【详解】当时，，则，
又，则由延展函数定义可得；
同理可得，当，；；
任意，当时，.
当时，，则，则；
同理可得，当时，；；
当时，；
当，；当，；；
则任意时，当.
如图，作出与大致图像，
因为，如图可知，不存在直线与图象有无穷个交点，故（1）不成立；
又因为当，，
故当时，
直线与的图象在区间的函数部分重合，
即有无穷个交点，故（2）成立；
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解决此题目的关键在于理解新定义“延展函数”，能够依次求解出函数在各段的解析式及作出函数图象，数形结合解决函数图象与直线的交点个数问题.
12．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.
【详解】，
又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又，
故可排除D.
故选：B.
13．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，，
，则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，
因为，且不恒为0，
则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
14．（2024·新课标I卷·高考真题） 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
15．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值
【答案】B
【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合与已知条件矛盾；D选项由集合的定义找到矛盾.
【详解】对于A选项：时，，
当时，， 任意的，恒成立，
若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误；
对于B选项：若函数图像如下：
当时，，时，，当，，
∴存在在处取最大值，故B选项正确；
对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是，
而是全体定义域，故C选项错误；
对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误.
故选：B
16．（2025·全国II卷·高考真题）(多选)已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
【答案】ABD
【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.
【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；
对B，当时，，则，故B正确；
对C，， 故C错误；
对D，当时，，则，
令，解得或（舍去），
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
则是极大值点，故D正确；
故选：ABD.
17．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________．
【答案】
【分析】根据偶函数的性质求解.
【详解】因为函数是偶函数，当时，，
所以，解得.
18．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论：
①存在在上单调递增的函数使得恒成立；
②存在在上单调递减的函数使得恒成立；
③使得恒成立的函数存在且有无穷多个；
④使得恒成立的函数存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是________．
【答案】②③
【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误.
【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足，
则，即，
故时，，故，
故即，矛盾，故①错误；
对于②，取，该函数为上的减函数且，
故该函数符合，故②正确；
对于③，取，
此时，由可得有无穷多个，
故③正确；
对于④，若存在，使得，
令，则，但，矛盾，
故满足的函数不存在，故④错误.
故答案为：②③
19．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则_________．
【答案】/
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【详解】根据补集的含义知.
故答案为：.
20．（2025·全国II卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________
【答案】
【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解.
【详解】由题意有，
所以，
因为是函数极值点，所以，得，
当时，，
当单调递增，当单调递减，
当单调递增，
所以是函数的极小值点，符合题意；
所以.
故答案为：.
21．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______.
【答案】0
【分析】根据奇函数的定义求解．
【详解】是奇函数，则恒成立，
所以，解得
故答案为：0．
22．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______.
【答案】
【分析】分与两段求解二次不等式可得.
【详解】根据题意知.
当时，,即，解得，则有；
当时，,即，，即时，不等式都成立.
综上所述，的的取值范围为.
故答案为：.
23．（2024·上海·高考真题）已知则______．
【答案】
【分析】利用分段函数的形式可求.
【详解】因为故，
故答案为：.
24．（2026·全国II卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合．
(1)若当时，，求；
(2)若是奇函数，，且，证明：；
(3)设满足：①若，则；②当时，．
（i）证明：；
（ii）证明：在区间单调递增．
【答案】(1)
(2)由题意证明如下：
在中，是奇函数，当时，．
∴，当时，，
∴
在集合中，
当时，，
当时，，
当时，，
∴，
∵，
∴且，即，，
∵，
∴①当时，解得，
，，
此时，
②当时，解得，
，，
此时，
③当时，解得，
，，
此时，
综上，.
(3)（i）由题意证明如下，
法一：
若，则存在，使得，
条件①：若，则，
∴，则，
取，则，此时，
∵，则，即，
但，相矛盾，
∴
法二：
假设，则存在，使得，
从而，这导致，
但，
∵根据条件又有，矛盾，
∴假设不成立，.
（ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下，
在集合中，
要证在上单调递增，
即需证，，都有，
即需证，，都有，
①先证明：当时，，
假设，使得，
∵当时，，
∴，使得，
∴，
而当时，，
否则，使得，，与矛盾，
∴，
∴，
∴，
由（3）（i）得，，
则，
由条件②：当时，，
则，
否则时，与矛盾，
∴若，使得，则，，（*）
∴，使得，
则，
令，，
此时，则，则，
∴，
∵，
∴易取，满足，使得，
根据（*）可得，此时，与矛盾，
∴当时，，
②证明：对，，都有，
∵，，都有，
∴，
对任意给定的，取，则，
∴对，，都有，
∴在上单调递增.
【分析】（1）求出，写出表达式，即可求出；
（2）求出表达式，化简集合并得出表达式，利用得出与，对的三种情况进行分类讨论，即可证明结论；
（3）（i）法一：假设，则存在，使得，取，求出，与矛盾，进而证明结论；
法二：假设，则存在，使得，取，求出，与时矛盾，进而证明结论；
（ii）将证明转化为证，，都有，先证明：当时，，再证明对，，都有，进而证明出在上单调递增.
【详解】（1）由题意，
在中，，，
在中，
，
∴，
当时，，，解得，
当时，，解得，
∴，
∴.
（2）略
（3）（i）略
（ii）略
25．（2026·上海·高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为．
(1)已知，，，，判断是否为排列；
(2)对，，，满足条件的，求的取值范围；
(3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，．
【答案】(1)是排列；
(2)；
(3)首先证明第1个结论，
观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立，
那么排列都将是排列，此时至少为4．
当时，即，
因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数，
则恒成立，
又因为函数在上单调递增，
则在区间上，，.
若恒成立，则，
则只需，即，因为对任意的，，
则，则，则解得，
当时，即，
因为严格递减，所以且，
，
只要，就有，
则可取即可满足题意．
即存在，使得.
再证明第2个结论.
假设对于任意的，都有，
因为（2）中①排列始终满足条件，
则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是排列．
首先，我们证明不可能恒成立：
假设对于某个，在上恒有．
即，
即，
取．由于严格递增，
令，
则，
于是对任意正整数：
，
当时，，这与矛盾！
因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是排列．
接下来只剩②排列，其需满足，
⑤排列，其需满足，
⑥排列，其需满足，
下面证明：对于任意在上恒成立＂与＂在上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真．
（i）若对任意，都有，即都有，
对于任意和，
则，
当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到，
所以恒成立，
则对所有的恒成立.
则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立，
则，与假设矛盾！
（ii）并非对于所有都有，即，
则必定存在，使得，
设，
因为是严格单调递增的连续函数，
则对于已知的，总可以找到，使得，
即，即，
同时，因为严格递增且，必有．
即，
即，即，
则可取充分小的使得，即存在，使得，
所以＂恒成立＂这个命题是假的．
既然为假，那么＂恒成立＂必须为真．
即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足，
则对于，在时都有：
，
即，
取，则对于任意：
，
因为严格递增，则．
则
又因为，
则
即，对任意都成立．
取，因为，则，
则对于内的任意，都满足，
因为，故有，
但是，之前我们得到，
即，则，
则有：， 这与我们的假设相矛盾．
综上，原命题成立，必然存在，使得．
【分析】（1）根据排列的定义判断即可；
（2）分析得，，的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可；
（3）第一个结论分和讨论即可证明，第二个结论利用反证法即可证明.
【详解】（1）由题意得，
则当，，
则恒成立，
，
则恒成立，
故是为排列.
（2）若，则1，2，3的全排列均满足题意，
①，则有：，此时两个不等式显然成立．
②，则有：，即.
③，则有：，即.
④，则有：，即.
⑤，则有：．
⑥，则有：，即.
则上述不等式均要成立，取它们的交集有，
即，即对恒成立，
分离参数得，因为当时，，
所以.
（3）略.
26．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”.
(1)判断函数是否具有“性质”；
(2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解；
(3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”.
【答案】(1)没有，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可；
（2）根据一次函数的单调性，结合“性质”的特性进行求解即可；
（3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质”的特性进行运算证明即可.
【详解】（1）函数不具有“性质”，理由如下：
例如当时，显然成立，
，根据指数函数的单调性可知，
所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”；
（2）因为函数具有“性质”，所以取，有，
于是有，
当时，由，
当时，由，
若，若，则有，
取，
此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意，
故，此时，
若时，则，
由，
若时，则，
由，
因此，
综上所述：当且仅当时，满足条件；
（3）充分性：若具有“性质”，则是偶函数.
若存在，，不妨设，
记，即，
因为函数的值域为，
所以，
若，则有，
若，则有，
故对任意，，这与的值域为矛盾，
所以不成立，则有，因此函数是偶函数；
必要性：若是偶函数，则具有“性质”.
当时，因为在上是严格增函数，
所以，
又因为函数是偶函数，
所以由，因此具有“性质”.
所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”.
27．（2025·上海·高考真题）已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
【答案】(1)
(2)且.
【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解；
（2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）因为，故，故，故，
故即为，
设，则，故在上为增函数，
而即为，故，
故原不等式的解为.
（2）在有极大值即为有极大值点.
，
若，则时，，时，，
故为的极小值点，无极大值点，故舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
若，则时，，无极值点，舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
综上，且.
28．（2024·上海·高考真题）记
(1)若，求和;
(2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得.
(3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”.
【答案】(1)；
(2)
由题意知，记，有或2，
0 2
正 0 负 0 正
极大值 极小值
现对分类讨论:
当，有为严格增函数，因为，此时，符合条件;
当时，，先减后增，，
因为取等号)，所以，
此时，符合条件，且时，；
当时，，在严格增，在严格减，在严格增，
，因为，
此时，，则，则成立;
综上可知，对于任意，都有，且存在，使得.
(3)
必要性:若为偶函数，则，
当，因为，故;
充分性：若对于任意正实数，均有，其中，
因为有最小值，不妨设，
由于任意，令，则，
故最小元素为，中最小元素为，
又 则对任意成立，则 ，
若，则对任意成立是偶函数，
若，此后取，
，
综上，任意，即是偶函数.
故"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”.
【分析】（1）将代入求解即可；
（2）根据函数的单调性，对进行分类讨论，然后求出即可证明;
（3）利用偶函数的定义，即可证明必要性，利用，得出两个集合中最小的元素相同，从而，即可证明充分性.
【详解】（1）由题意得:；
（2）略
（3）略
【点睛】关键点点睛：第二问利用导数求出函数的单调性，然后对进行分类讨论求出函数的值域，第三问结合函数的奇偶性考察逻辑推理能力.
29．（2024·新课标I卷·高考真题） 已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出后根据可求的最小值；
（2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性；
（3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得.
【详解】（1）时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值为.，
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，
，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）因为当且仅当，故为的一个解，
所以即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
故恒成立，故在上单调递增，
故即在上恒成立.
当时，，
故恒成立，故在上单调递增，
故即在上恒成立.
当，则当时，
故在上单调递减，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.
而当时，
而时，由上述过程可得在递增，故的解为，
即的解为.
综上，.
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
考点02 函数的应用
1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
【答案】B
【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,
由题意，，
，
，
因为，所以，
所以，
所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.
故选：B.
2．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，
所以在定义域上单调递减，
显然，
所以根据零点存在性定理可知的零点位于.
故选：B
3．（2024·新课标II卷·高考真题） 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.
【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
4．（2024·新课标II卷·高考真题）(多选) 设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
5．（2024·新课标II卷·高考真题）(多选) 对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
6．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论：
①在上有最小值和最大值；
②，时，有最大值；
③，有3个解；
④，与有4个交点.
其中正确结论的序号是________．
【答案】①②③④
【分析】①，构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断；②，求出在上的单调性，即可判断；③，求出在取任意实数的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断；④，求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断.
【详解】由题意，
①在中，，，
，函数为偶函数，
在中，，
∴函数单调递增，
∵，
∴当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴函数在处取最小值，，
在中，
，为偶函数，
当在内有零点时，
即，，使得，
此时在，上单调递减，在，上单调递增，
，，，
∵，
∴，
∴在和处取最小值，，
在处取最大值，
当在内无零点时，，
在上单调递增，在上单调递减，
∴在处取得最小值，，
在处取得最大值，，
故①正确；
②当时，
，，，
由①可得，在上单调递增，
∵，，
∴，使得，
∴在中，，
此时在上单调递减，在上单调递增，
∴在处取最大值，
②正确；
③同①可得推广结论，
在中，，
，为偶函数，
即，，使得，，
此时在，上单调递减，在，上单调递增，
∴在和处取极小值，
当时，，，，
∵在上单调递减，，
∴，使得，
∵在上单调递增，，
∴，使得，
∴当时，，
∴，有3解，
故③正确；
④由③可得，
在中，，
此时在，上单调递减，在，上单调递增，
在中，，
，开口向上，
∴函数，即恒成立，
∴
∴在下方，
∵，
∴在轴上方，
此时与有4个交点，
故④正确.
7．（2026·北京·高考真题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________．
【答案】
【详解】由题意，则，解得，
所以f的取值范围为.
8．（2026·全国II卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题.
方法二：把函数 有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题.
【详解】令，得，即，
方法一：
令，则，即，,
则一元二次方程有两个正根，
那么，
所以，的取值范围是.
方法二：
设，那么设，则，
由于在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增，且，
根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是.
9．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．

【答案】
【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值.
【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图，
则，，设方程为：，
所以，，方程为：，
令矩形面积为，
当时，，
当，设，则，
所以，
则，
令，则，在上递增，
令，则或，在上递减，
又，，，
所以当的长为时，该矩形面积最大.

故答案为：
10．（2025·上海·高考真题）关于x的方程的解集为__________．
【答案】
【分析】根据的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可.
【详解】.
当时，令得；
当时，恒成立；
当时，令得.
综上所述，方程的解集为.
故答案为：.
11．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令，即，令
则，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
因为曲线与在上有两个不同的交点，
所以等价于与有两个交点，所以.
故答案为：
12．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令，即，
由题可得，
当时，，有，则，不符合要求，舍去；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，或（正值舍去），
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
令，即，
故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得，
由的渐近线方程为，
即部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递增，
故有，解得，故符合要求；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，（负值舍去）或，
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得，
部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递减，
故有，解得，故符合要求；
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
13．（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下：
颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86
二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86
(1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论）
(3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？
参考数据：
【答案】(1)；
(2)散点图；
(3)的预测值与实际值之差的绝对值更小.
【分析】（1）结合古典概型概率公式求解即可；
（2）根据图表数据可以判断用散点图分析；结合相关系数的性质判断区间；
（3）根据题意分别求解两种方程下的预测值与实际值的差值绝对值即可.
【详解】（1）9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为.
（2）统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现.
随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正，
又因为相关系数，故相关系数在区间上.
（3）采用方程时，2023年预测值为，
预测值与实际值差值绝对值为；
因为
，
所以，可得.
故采用方程时，
2023年预测值为，
预测值与实际值差值绝对值为；
因为，故方程对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小.
14．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
【答案】(1)不是；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）直接代入计算和即可；
（2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；
（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可.
【详解】（1）（1），，则不是中的元素.
（2）法一：因为，则存在实数使得，且，
当时，，其在上严格单调递增，
当时，，其在上也严格单调递增，
则，则，
令，解得，则，
则.
法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，
由图知，假设交点分别为，，
联立方程组得
（3）对任意，因为其是偶函数，
则，而，
所以，
所以，因为，则，
所以，所以，
所以当时，，，则，
，则，
而，，
则，则，
所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：
其中，但其对应的值均未知.
首先说明，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，即，
令，则，
当时，即使让，此时最多7个零点，
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有3个零点，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，
则最多在之间取得6个零点，
以及在处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.
15．（2024·上海·高考真题）已知，
(1)设，求解:的值域;
(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.
【答案】(1);
(2)
【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可.
（2）利用三角函数的性质求解参数即可.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以令，
由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
（2）由题意得，所以，可得，
当时，，，即，，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
所以，
即，故.
考点03 指对幂函数
1．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，则.
2．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可.
【详解】由题意可得，
因为函数在上单调递增，所以，
又因函数在上单调递增，则，
所以，
因，且在上单调递增，
所以，即.
故.
3．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】D
【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项.
【详解】∵，∴，
当时，定义域上严格单调递减，
此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；
当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误.
故选：D
4．（2025·全国I卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，
故选：B．
5．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A.
【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误；
对于A，若，则，当时，，
所以幂函数过点，故A错误；
对于B，若，则，当时，，
所以幂函数过点，故B正确.
故选：B.
6．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
7．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.
【详解】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
8．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为在上递增，且，
所以，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
所以，
故选：D
9．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
10．（2024·新课标II卷·高考真题） 设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，此时；
当时，可知，此时；
可知若，符合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
综上所述：，即，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
解法二：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
则当时，，故，所以；
时，，故，所以；
故， 则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.
11．（2024·新课标I卷·高考真题） 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
12．（2024·新课标I卷·高考真题） 已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合，由交集的概念即可得解.
【详解】因为，且注意到，
从而.
故选：A.
13．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______.
【答案】
【分析】由对数函数性质即可得.
【详解】由题意可得，即的定义域为.
故答案为：.
14．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______．
【答案】64
【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解.
【详解】由题，整理得，
或，又，
所以，故
故答案为：64.
15．（2024·上海·高考真题）已知函数．
(1)若函数的图象经过点，求解不等式；
(2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集；
（2）根据的定义域将问题转化为时，得出有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可.
【详解】（1），则，
，，，
，定义域为，
要解不等式，则，．
又在定义域内是严格增函数，
由，则，解得．
综上所述，不等式的解集为．
（2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列，
则在方程中，应满足，
由，解得，问题转化为时，方程有实数解．
又，则，
即．
为严格单调函数，
，
，两边同除以得，．
令，由，则，
在有解．
又在上是严格增函数，
，即，
又，则.
16．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合．
(1)，求；
(2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；
(3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有．
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解；
（2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性；
（3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解.
【详解】（1）由定义得，.
（2）证明：
必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，，
对任意，若，即，则，
所以，所以对任意，是对称集.
充分性：若对任意，是对称集，
因为对任意，，所以，即①，
又，所以，即②.
由①②得，对任意，，
所以函数是偶函数.
综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证.
（3）因为对于任意，都有，
所以若，则，即若，则，
所以，所以在上单调不减，
所以对任意，恒成立.
当时，显然成立，；
当时，恒成立，令，，
所以在单调递减，单调递增，所以；
当时，恒成立，此时
因为在上单调递减，当时，，
时，，
所以；
综上，.
【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立.
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专题07 函数
考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律
考点 01 函数及其性质 2026 年：北京卷、全国 II 卷、天津卷、上海卷
2025 年：北京卷、天津卷、全国 II 卷、上海卷
2024 年：上海卷、全国甲卷、新课标 I 卷、天津卷 1. 核心基础考查：函数奇偶、单调、周期、对称四大性质，函数图像识别、抽象函数、新定义函数为核心载体；
2. 题型分布广泛：选择、填空高频考查基础识图与性质求值，上海、全国 II 卷常设置函数新定义、抽象函数解答压轴题；
3. 综合融合特征：小题常融合指对幂、不等式，大题常搭配导数、恒成立参数问题，压轴题侧重逻辑推理；
4. 地方卷特色：上海卷每年创新函数新定义题型，北京卷侧重图像变换与跨学科情境，全国卷侧重抽象函数性质推导。
考点 02 函数的应用 2026 年：北京卷、天津卷、上海卷
2025 年：北京卷、天津卷、上海卷
2024 年：新课标 II 卷、全国甲卷、天津卷、上海卷 1. 核心考查内容：函数零点与交点、含参零点范围、导数极值最值、实际建模应用、绝对值函数值域与恒成立；
2. 题型层级清晰：基础填空、选择题考查零点存在定理、简单建模；综合解答题结合导数、解析几何面积最值；
3. 模块交叉命题：常与统计回归、解析几何、不等式交汇，2026 新增函数 + 统计跨情境创新题型；
4. 解题核心方法：数形结合分离参数、分类讨论、导数分析法为统一解题思路。
考点 03 指对幂函数 2026 年：天津卷、上海卷
2025 年：全国 I 卷、上海卷
2024 年：北京卷、新课标 I 卷、全国甲卷、天津卷 1. 核心基础考点：指对幂函数图像性质、指对数值大小比较、对数运算、复合分段函数单调性、函数定义域；
2. 考情定位：试卷基础送分题，以单选、填空为主，每年全国卷必有一道比大小小题；
3. 综合考查形式：常捆绑函数单调性、不等式、分段函数求参数，上海卷会结合新定义设置小型综合解答；
4. 情境命题趋势：北京卷多用指数、对数搭建生活 / 跨学科数学模型，落实数学建模素养。
考点01 函数及其性质
1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·全国II卷·高考真题）已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（ ）
A．若和都有最小值，则有最低点；
B．若有最低点，则和都有最小值；
C．若或有最小值，则有最低点；
D．若有最低点，则或有最小值.
5．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）
7．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
10．（2025·全国I卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·上海·高考真题）现定义如下:当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（ ）
（1）存在与有无穷个交点
（2）存在与有无穷个交点
A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立.
12．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·新课标I卷·高考真题） 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值
16．（2025·全国II卷·高考真题）(多选)已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
17．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________．
18．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论：
①存在在上单调递增的函数使得恒成立；
②存在在上单调递减的函数使得恒成立；
③使得恒成立的函数存在且有无穷多个；
④使得恒成立的函数存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是________．
19．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则_________．
20．（2025·全国II卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________
21．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______.
22．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______.
23．（2024·上海·高考真题）已知则______．
24．（2026·全国II卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合．
(1)若当时，，求；
(2)若是奇函数，，且，证明：；
(3)设满足：①若，则；②当时，．
（i）证明：；
（ii）证明：在区间单调递增．
25．（2026·上海·高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为．
(1)已知，，，，判断是否为排列；
(2)对，，，满足条件的，求的取值范围；
(3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，．
26．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”.
(1)判断函数是否具有“性质”；
(2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解；
(3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”.
27．（2025·上海·高考真题）已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
28．（2024·上海·高考真题）记
(1)若，求和;
(2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得.
(3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”.
0 2
正 0 负 0 正
极大值 极小值
29．（2024·新课标I卷·高考真题） 已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
考点02 函数的应用
1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
2．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·新课标II卷·高考真题） 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2024·新课标II卷·高考真题）(多选) 设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
5．（2024·新课标II卷·高考真题）(多选) 对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
6．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论：
①在上有最小值和最大值；
②，时，有最大值；
③，有3个解；
④，与有4个交点.
其中正确结论的序号是________．
7．（2026·北京·高考真题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________．
8．（2026·全国II卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________．
9．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．

10．（2025·上海·高考真题）关于x的方程的解集为__________．
11．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______．
12．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______．
13．（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下：
颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86
二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86
(1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论）
(3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？
参考数据：
14．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
15．（2024·上海·高考真题）已知，
(1)设，求解:的值域;
(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.
考点03 指对幂函数
1．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
4．（2025·全国I卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）．
A． B． C． D．3
6．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2024·新课标II卷·高考真题） 设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
11．（2024·新课标I卷·高考真题） 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·新课标I卷·高考真题） 已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______.
14．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______．
15．（2024·上海·高考真题）已知函数．
(1)若函数的图象经过点，求解不等式；
(2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围．
16．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合．
(1)，求；
(2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；
(3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有．
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