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定远育才学校2025-2026学年第二学期八年级期末检测
数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若代数式有意义，则的取值范围是( )
A. 且 B. C. D. 且
2.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.七位评委对参加普通话比赛的选手评分，比赛规则规定要去掉一个最高分和一个最低分，然后计算剩下了个分数的平均分作为选手的比赛分数，规则“去掉一个最高分和一个最低分”一定不会影响这组数据的( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 众数
4.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为( )
A. B. C. D.
5.元代数学著作四元玉鉴中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文贯文已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格设这匹锦的长为尺，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
6.中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判定是直角三角形的是( )
A. B. ：：：：
C. D.
7.如图，在中，，点在的延长线上，点为上一点，连接，点、分别为、的中点，连接，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，已知中，点是边的中点，过点作交于点，交于点，下列说法不正确的是( )
A. 若，则四边形是菱形
B. 若平分，则四边形是菱形
C. 若，则四边形是矩形
D. 若，则四边形是正方形
9.已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是( )
A. B. C. D.
10.如图，在平行四边形中，，，点分别是边上的动点，连接，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请你写出一个符合条件的的值 ．
12.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为 ．
13.一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形是 ．
14.在一次体育达标测试中，某小组名学生的立定跳远成绩如下：，，，，，其中这组数据的众数是和，则这组数据的中位数是 ．
三、本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（6分）
计算：；
．
16.（8分）
解方程：
；
．
17.本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为，点、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹．
在图中画出以为对角线的矩形．
在图中画出以为对角线的平行四边形，使其面积为．
在图中画出以为一边的菱形使其面积为．
18.本小题分
为响应环保号召，增强学生环保意识，对七、八年级学生进行了垃圾分类知识测评，测试结果显示所有学生成绩都不低于分满分分．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析成绩得分都是整数．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理用表示成绩，分成五组：
A.，，，，．
八年级学生成绩在组的具体数据是：
将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图如图：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
频数分布直方图中，组的频数是______；
本次抽取八年级学生成绩的中位数______；
若八年级有名学生参加了此次测试，估计八年级参加测评的学生中，成绩不低于分的有多少人？
从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量对两个年级的测评成绩进行评价．
19.本小题分
如图，在 中，，是对角线的三等分点．
求证：四边形是平行四边形
若，，，求的长．
20.本小题分
公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．
求该品牌头盔销售量的月增长率；
若此种头盔的进价为元个，经市场调查，当售价为元个时，月销售量为个，售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
21.本小题分
阅读材料：
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，
解得，．
当时，，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，体现了转化的思想．
请仿照材料解决问题：
解方程：．
若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数．
22.本小题分
如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，交于点，交于点．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．
23.本小题分
设，是关于的方程的两根．
当时，求及的值．
求证：．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11.答案不唯一 12. 13.十边形 14.
15.解：



；




．
16.解：，
，
或，
解得，；
，
，
，
，
，
解得．
17.解：如图中，矩形即为所求；
如图中，平行四边形即为所求；
如图中，菱形即为所求．

18.解：由题意知，本次抽取八年级学生的样本容量是人，
频数分布直方图中，组的频数是：人，
故答案为：；
将抽取的名八年级学生成绩从小到大排列，处在第、位的两个数的平均数为：分，
本次抽取八年级学生成绩的中位数是分，即，
故答案为：；
人，
答：成绩不低于分的学生大约有人；
选择方差，八年级学生成绩比较整齐．理由如下：
样本中七年级学生成绩的方差为，而八年级学生成绩的方差为，
，
八年级学生成绩比较整齐．
19. （1）证明：连接交于点．
四边形是平行四边形，
，．
，是对角线的三等分点，
，，
四边形是平行四边形．
（2）
20.（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
由题意可得：，
解得：，不符合题意，舍去，
该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：设售价上涨个元，
由题意可得：，
解得：，，
当时，售价为元，
当时，售价为元，
尽可能让顾客得到实惠，
该品牌头盔的实际售价应定为元个．
21.（1）解：原方程整理得，
设，
则原方程可化为，
因式分解得，
解得，，
当时，，配方，得，
解得，，
当时，，配方，得，
解得，
原方程的解为，，．
（2）解：设最小数为，
由题意得，
即，
设，则，即，
因式分解得，
，，
为正整数，，
因式分解得，
解得，舍去．
这四个整数为．
22.证明：四边形是菱形，
，
是的中点，
是的中位线，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，
，
是的中点，
，
由可知，四边形是矩形，
，，
，
，
，
．
23.（1）解：把代入方程，
得，
．
，即．
解得：．
，．
（2）证明：方程可化为．
，
方程有两个不相等的实数根．
方程即的两根为，
，．
．
，
，即．

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