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广东清远市连州市2025-2026学年春季学期七年级期中监测数学学科试卷
1．随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
3．下列事件为必然事件的是（　　）
A．射击一次，中靶
B．画一个三角形，其内角和是
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
D．12人中至少有2人的生日在同一个月
4．下列式中，能用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，点在直线上，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B（于点B）处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂线段最短
7．不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（　　）．
A． B．
C． D．
8．如图，下列说法不正确的是（　　）
A．和互为补角
B．与是对顶角
C．与是直线，被所截得的内错角
D．与是直线，被直线所截得的同旁内角
9．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则a的值约为 （　　）
A．20 B．25 C．30 D．35
10．如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11． 比较大小： 　 　 填 “ “ = 或 “<")．
12．计算的值等于　 　．
13．已知，，则　 　．
14．如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为　 　．
15．某社区为庆祝马年新春，开展围绕马年讲成语故事活动．小明从“龙马精神”“马到成功”“一马当先”“万马奔腾”四个成语中，随机抽取一个成语讲故事，抽到“龙马精神”的概率是　 　．
16．计算：
17．先化简，再求值：，其中，．
18．在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母．
（1）过点画线段的平行线；
（2）过点画线段的垂线，垂足为；
（3）点到线段的距离即线段 的长；
（4）线段、的大小关系是 （用“”连接），理由是 ．
19．一个袋中装有6个红球，18个白球，这些球除颜色外都相同，混合均匀后；
（1）从袋中任意取出一个球，取出红球的概率为多少？
（2）如果往袋中放入若干个红球（形状大小与袋中球完全一样），再取出相同数量的白球，从中任意摸出一个球，使摸出红球的概率是摸出白球的两倍，求放入了多少个红球？
20．若 (且，、是正整数)，则．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果，求的值；
（2）若，，用含的代数式表示．
21．如图，完成下列推理说明：已知， ，求证： ．
证明：因为，
根据“（ ）”，
所以．
根据“（ ）”，
所以 ．
因为，
根据“（ ）”，
所以，
即 ．
根据“（ ）”，
所以．
根据“（ ）”，
所以．
22．如图，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图的正方形．
（1）根据图和图，写出，，之间的一个等量关系 ．
（2）利用（）中的结论解决下列问题，，求
（3）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形和，延长和交于点，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为，求的值．（）．
23．已知：如图1直线，被直线所截，．
（1）求证：；
（2）如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线，上，连接、．
① 度；
②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过P点作交于点H，连接，若平分，，则 度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000049=4.9×10-8，
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的“0”的个数决定，据此即可得到答案.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A，，故A错误.
B，，故B错误.
C，，故C错误.
D，，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用幂的乘方法则，可对A作出判断；利用积的乘方法则，可对B作出判断；利用同底数幂相除的法则，可对C作出判断；利用同底数幂相乘的法则，可对D作出判断.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；事件发生的可能性
【解析】【解答】A、射击一次，中靶，是随机事件，故A错误；
B、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故B正确；
C、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故C错误；
D、12人中至少有2人的生日在同一个月，是随机事件，故D错误；
故答案为：B.
【分析】根据必然事件就是在一定条件下，一定要发生的事件，再对各选项逐一判断.
4．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，符合平方差公式；
B、，不符合平方差公式；
C、，不符合平方差公式；
D、，不符合平方差公式；
故选：A．
【分析】逐一分析每个选项是否符合平方差公式的特征“两数和与这两数差的积”，即可得到答案.
5．【答案】C
【知识点】垂线的概念；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点在直线上，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义得，由角的和差求得∠AOD的度数，然后根据邻补角互补即可求解．
6．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
因此，沿开渠，能使所开的渠道最短．
故选：D．
【分析】根据垂线段最短解答即可.
7．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由图可知，试验次数足够多时，频率在附近波动，
∴抽取一个球是灰球的概率为，
∴袋中白球与灰球的数量相等：
A、∵袋中白球与灰球的数量相等；
∴此选项不符合题意；
B、∵袋中白球与灰球的数量相等；
∴此选项不符合题意；
C、∵袋中白球与灰球的数量不相等；
∴此选项符合题意；
D、∵袋中白球与灰球的数量相等；
故答案为：C．
【分析】当试验次数足够多时，频率会趋近于概率，根据折线图可知抽取一个球是灰球的概率为，即袋中白球与灰球的数量相等，然后结合各选项即可判断求解．
8．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；内错角的概念；同旁内角的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A. ∵与不平行，
∴和不互为补角，
∴此选项符合题意；
B.与是对顶角，
∴此选项不符合题意；
C.与是直线，被所截得的内错角，
∴此选项不符合题意；
D.与是直线，被直线所截得的同旁内角，
∴此选项不符合题意．
故选：A.
【分析】A、根据两直线平行同旁内角互补可知：和不互为补角；
B、根据对顶角的定义“对顶角是指如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角”可判断求解；
C、根据内错角定义“内错角是指在两条直线的内部，第三条直线的两旁”并结合图形即可判断求解；
D、根据同旁内角的定义“同旁内角是指在两条直线的内部，第三条直线的同旁”并结合图形即可判断求解．
9．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】∵ 通过大量重复试验，摸到白球的频率稳定在左右，
∴ 可估计摸到白球的概率为．
∵ 总球数为a，其中白球共6个，
∴ 根据概率公式可得，
解得．
故答案为：C.
【分析】大量重复试验时，随机事件的频率会稳定在概率附近，用频率估计概率可求得摸到白球的概率，然后根据概率公式列关于a的方程，解方程即可求解．
10．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
由反射角等于入射角得，
∴．
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，由角的和差可求得，然后再根据反射角等于入射角并结合角的和差即可求解．
11．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：且，即.
故答案为：＜.
【分析】先分别算出两数实际的值，后比较大小.
12．【答案】
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
．
故答案为：5.
【分析】逆用积的乘方运算，再进行乘法运算.
13．【答案】20
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据多项式乘多项式化简，再整体代入即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：，，
∴，，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：80°.
【分析】由题意得：，，根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补；内错角相等”可得，，然后由角的和差即可求解．
15．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，随机抽取成语时，所有等可能的结果共有种，抽到“龙马精神”的结果有种，
则抽到“龙马精神”的概率．
【分析】由题意，根据概率公式计算即可求解.
16．【答案】解：，
，
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-3.14）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得-1=2
，然后根据有理数的混合运算法则“先乘方，再乘除，后加减，若有括号先计算括号里面的”计算即可求解．
17．【答案】解：原式，
当，时，
原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式和平方差公式去括号，再根据合并同类项法则"合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变"可将原式化简，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可求解．
18．【答案】（1）解：如图，直线为所求．
（2）解：如图，直线为所求．
（3）
（4），垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离；尺规作图-垂线；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】（3）解：∵于点，
∴点到线段的距离即为线段的长，
故答案为：．
（4）解：∵于点，
∴线段、的大小关系是，
理由是：垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短．
【分析】
（1）根据平行线的作法并结合网格图的特征作图即可求解；
（2）根据垂线的作法并结合网格图的特征作图即可求解；
（3）根据点到直线的距离的定义“点到直线的垂线段的长度叫点到直线的距离”并结合网格图的特征即可求解；
（4）根据垂线段最短并结合网格图的特征即可求解．
（1）解：如图，直线为所求．
（2）解：如图，直线为所求．
（3）解：∵于点，
∴点到线段的距离即为线段的长，
故答案为：．
（4）解：∵于点，
∴线段、的大小关系是，
理由是：垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短．
19．【答案】（1）解：∵一只袋里放着6个红球、18个白球，
∴从袋中随机摸出一个球共有种等可能结果，其中取出红球包含6种情况，
∴取出红球的概率为；
答： 从袋中任意取出一个球，取出红球的概率为；
（2）解：设放入红球x个，
根据题意，得，
解得，
答：放入了10个红球．
【知识点】一元一次方程的其他应用；概率公式
【解析】【分析】
（1）分析出题中从袋中随机摸出一个球共有24种等可能结果，其中取出红球包含4种情况，然后根据概率公式计算即可求解；
（2）设放入红球x个，由概率公式列关于x的方程，解方程即可求解．
（1）解：∵一只袋里放着6个红球、18个白球，
∴从袋中随机摸出一个球共有种等可能结果，其中取出红球包含6种情况，
∴取出红球的概率为；
（2）解：设放入红球x个，
根据题意，得，
解得，
答：放入了10个红球．
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴．
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）将等式的左边化为，根据等式的性质可得关于x的方程，解方程即可求解；
（2）根据已知条件中关于x的等式的特征，将y中的底数为25的幂化为底数为5的幂的形式，然后整体代入，即可求解．
（1）解：∵，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴．
21．【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等式的性质；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】证明：因为，
根据“（ 同旁内角互补，两直线平行 ）”，
所以．
根据“（ 两直线平行，内错角相等 ）”，
所以，
因为，
根据“（等式的性质 ）”，
所以，
即．
根据“（ 内错角相等，两直线平行）”，
所以．
根据“（ 两直线平行，内错角相等 ）”，
所以．
【分析】由题意，根据平行线的判定和性质可求解．
22．【答案】（1）
（2）解：由（）可得，，
∵，，
∴；
（3）解：设，，则，
∵，图中阴影部分面积为，
∴， ，
由（）可得， ；
∴，
∵，
∴，即，
∴的值为．

【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：图整体上是边长为的正方形，面积为，中间小正方形的边长为，面积为，个长方形的面积为，
∴；
故答案为：.
【分析】
（1）根据图形中面积的构成列出等式即可；
（2）由（1）的结论计算即可求解；
（3）设，，则，由（1）的结论计算即可求解
（1）解：图整体上是边长为的正方形，面积为，中间小正方形的边长为，面积为，个长方形的面积为，
∴；
（2）解：由（）可得，，
∵，，
∴；
（3）解：设，，则，
∵，图中阴影部分面积为，
∴， ，
由（）可得， ；
∴，
∵，
∴，即，
∴的值为．
23．【答案】（1）证明：如图1，
∵，，
∴，
∴；
（2）①360；
②结论：．理由如下：
过点E作，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，，，，
∴，
∴，
∴．
（3）30
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（2）解：①过点E作，如图
∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴．
（3）解：如图3中，设，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】
（1）由等量代换可证，然后根据"同位角相等，两直线平行"可求解；
（2）①过点E作，由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得，，结合角的和差即可求解；
②过点E作，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，，得到，同理可证：，然后根据角的和差并结合角平分线的定义即可求解；
（3）如图3中，设，，，则，由平行线的性质"同位角相等，两直线平行"可得，然后结合角的和差和角平分线的定义即可求解．
（1）证明：如图1，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：①过点E作，如图
∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴．
②结论：．理由如下：
过点E作，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，，，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图3中，设，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1广东清远市连州市2025-2026学年春季学期七年级期中监测数学学科试卷
1．随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000049=4.9×10-8，
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的“0”的个数决定，据此即可得到答案.
2．下列运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A，，故A错误.
B，，故B错误.
C，，故C错误.
D，，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用幂的乘方法则，可对A作出判断；利用积的乘方法则，可对B作出判断；利用同底数幂相除的法则，可对C作出判断；利用同底数幂相乘的法则，可对D作出判断.
3．下列事件为必然事件的是（　　）
A．射击一次，中靶
B．画一个三角形，其内角和是
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
D．12人中至少有2人的生日在同一个月
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；事件发生的可能性
【解析】【解答】A、射击一次，中靶，是随机事件，故A错误；
B、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故B正确；
C、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故C错误；
D、12人中至少有2人的生日在同一个月，是随机事件，故D错误；
故答案为：B.
【分析】根据必然事件就是在一定条件下，一定要发生的事件，再对各选项逐一判断.
4．下列式中，能用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，符合平方差公式；
B、，不符合平方差公式；
C、，不符合平方差公式；
D、，不符合平方差公式；
故选：A．
【分析】逐一分析每个选项是否符合平方差公式的特征“两数和与这两数差的积”，即可得到答案.
5．如图，点在直线上，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点在直线上，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义得，由角的和差求得∠AOD的度数，然后根据邻补角互补即可求解．
6．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B（于点B）处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂线段最短
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
因此，沿开渠，能使所开的渠道最短．
故选：D．
【分析】根据垂线段最短解答即可.
7．不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由图可知，试验次数足够多时，频率在附近波动，
∴抽取一个球是灰球的概率为，
∴袋中白球与灰球的数量相等：
A、∵袋中白球与灰球的数量相等；
∴此选项不符合题意；
B、∵袋中白球与灰球的数量相等；
∴此选项不符合题意；
C、∵袋中白球与灰球的数量不相等；
∴此选项符合题意；
D、∵袋中白球与灰球的数量相等；
故答案为：C．
【分析】当试验次数足够多时，频率会趋近于概率，根据折线图可知抽取一个球是灰球的概率为，即袋中白球与灰球的数量相等，然后结合各选项即可判断求解．
8．如图，下列说法不正确的是（　　）
A．和互为补角
B．与是对顶角
C．与是直线，被所截得的内错角
D．与是直线，被直线所截得的同旁内角
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；内错角的概念；同旁内角的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A. ∵与不平行，
∴和不互为补角，
∴此选项符合题意；
B.与是对顶角，
∴此选项不符合题意；
C.与是直线，被所截得的内错角，
∴此选项不符合题意；
D.与是直线，被直线所截得的同旁内角，
∴此选项不符合题意．
故选：A.
【分析】A、根据两直线平行同旁内角互补可知：和不互为补角；
B、根据对顶角的定义“对顶角是指如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角”可判断求解；
C、根据内错角定义“内错角是指在两条直线的内部，第三条直线的两旁”并结合图形即可判断求解；
D、根据同旁内角的定义“同旁内角是指在两条直线的内部，第三条直线的同旁”并结合图形即可判断求解．
9．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则a的值约为 （　　）
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】∵ 通过大量重复试验，摸到白球的频率稳定在左右，
∴ 可估计摸到白球的概率为．
∵ 总球数为a，其中白球共6个，
∴ 根据概率公式可得，
解得．
故答案为：C.
【分析】大量重复试验时，随机事件的频率会稳定在概率附近，用频率估计概率可求得摸到白球的概率，然后根据概率公式列关于a的方程，解方程即可求解．
10．如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
由反射角等于入射角得，
∴．
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，由角的和差可求得，然后再根据反射角等于入射角并结合角的和差即可求解．
11． 比较大小： 　 　 填 “ “ = 或 “<")．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：且，即.
故答案为：＜.
【分析】先分别算出两数实际的值，后比较大小.
12．计算的值等于　 　．
【答案】
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
．
故答案为：5.
【分析】逆用积的乘方运算，再进行乘法运算.
13．已知，，则　 　．
【答案】20
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据多项式乘多项式化简，再整体代入即可求出答案.
14．如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：，，
∴，，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：80°.
【分析】由题意得：，，根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补；内错角相等”可得，，然后由角的和差即可求解．
15．某社区为庆祝马年新春，开展围绕马年讲成语故事活动．小明从“龙马精神”“马到成功”“一马当先”“万马奔腾”四个成语中，随机抽取一个成语讲故事，抽到“龙马精神”的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，随机抽取成语时，所有等可能的结果共有种，抽到“龙马精神”的结果有种，
则抽到“龙马精神”的概率．
【分析】由题意，根据概率公式计算即可求解.
16．计算：
【答案】解：，
，
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-3.14）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得-1=2
，然后根据有理数的混合运算法则“先乘方，再乘除，后加减，若有括号先计算括号里面的”计算即可求解．
17．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式，
当，时，
原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式和平方差公式去括号，再根据合并同类项法则"合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变"可将原式化简，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可求解．
18．在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母．
（1）过点画线段的平行线；
（2）过点画线段的垂线，垂足为；
（3）点到线段的距离即线段 的长；
（4）线段、的大小关系是 （用“”连接），理由是 ．
【答案】（1）解：如图，直线为所求．
（2）解：如图，直线为所求．
（3）
（4），垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离；尺规作图-垂线；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】（3）解：∵于点，
∴点到线段的距离即为线段的长，
故答案为：．
（4）解：∵于点，
∴线段、的大小关系是，
理由是：垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短．
【分析】
（1）根据平行线的作法并结合网格图的特征作图即可求解；
（2）根据垂线的作法并结合网格图的特征作图即可求解；
（3）根据点到直线的距离的定义“点到直线的垂线段的长度叫点到直线的距离”并结合网格图的特征即可求解；
（4）根据垂线段最短并结合网格图的特征即可求解．
（1）解：如图，直线为所求．
（2）解：如图，直线为所求．
（3）解：∵于点，
∴点到线段的距离即为线段的长，
故答案为：．
（4）解：∵于点，
∴线段、的大小关系是，
理由是：垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短．
19．一个袋中装有6个红球，18个白球，这些球除颜色外都相同，混合均匀后；
（1）从袋中任意取出一个球，取出红球的概率为多少？
（2）如果往袋中放入若干个红球（形状大小与袋中球完全一样），再取出相同数量的白球，从中任意摸出一个球，使摸出红球的概率是摸出白球的两倍，求放入了多少个红球？
【答案】（1）解：∵一只袋里放着6个红球、18个白球，
∴从袋中随机摸出一个球共有种等可能结果，其中取出红球包含6种情况，
∴取出红球的概率为；
答： 从袋中任意取出一个球，取出红球的概率为；
（2）解：设放入红球x个，
根据题意，得，
解得，
答：放入了10个红球．
【知识点】一元一次方程的其他应用；概率公式
【解析】【分析】
（1）分析出题中从袋中随机摸出一个球共有24种等可能结果，其中取出红球包含4种情况，然后根据概率公式计算即可求解；
（2）设放入红球x个，由概率公式列关于x的方程，解方程即可求解．
（1）解：∵一只袋里放着6个红球、18个白球，
∴从袋中随机摸出一个球共有种等可能结果，其中取出红球包含6种情况，
∴取出红球的概率为；
（2）解：设放入红球x个，
根据题意，得，
解得，
答：放入了10个红球．
20．若 (且，、是正整数)，则．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果，求的值；
（2）若，，用含的代数式表示．
【答案】（1）解：∵，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴．
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）将等式的左边化为，根据等式的性质可得关于x的方程，解方程即可求解；
（2）根据已知条件中关于x的等式的特征，将y中的底数为25的幂化为底数为5的幂的形式，然后整体代入，即可求解．
（1）解：∵，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴．
21．如图，完成下列推理说明：已知， ，求证： ．
证明：因为，
根据“（ ）”，
所以．
根据“（ ）”，
所以 ．
因为，
根据“（ ）”，
所以，
即 ．
根据“（ ）”，
所以．
根据“（ ）”，
所以．
【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等式的性质；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】证明：因为，
根据“（ 同旁内角互补，两直线平行 ）”，
所以．
根据“（ 两直线平行，内错角相等 ）”，
所以，
因为，
根据“（等式的性质 ）”，
所以，
即．
根据“（ 内错角相等，两直线平行）”，
所以．
根据“（ 两直线平行，内错角相等 ）”，
所以．
【分析】由题意，根据平行线的判定和性质可求解．
22．如图，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图的正方形．
（1）根据图和图，写出，，之间的一个等量关系 ．
（2）利用（）中的结论解决下列问题，，求
（3）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形和，延长和交于点，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为，求的值．（）．
【答案】（1）
（2）解：由（）可得，，
∵，，
∴；
（3）解：设，，则，
∵，图中阴影部分面积为，
∴， ，
由（）可得， ；
∴，
∵，
∴，即，
∴的值为．

【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：图整体上是边长为的正方形，面积为，中间小正方形的边长为，面积为，个长方形的面积为，
∴；
故答案为：.
【分析】
（1）根据图形中面积的构成列出等式即可；
（2）由（1）的结论计算即可求解；
（3）设，，则，由（1）的结论计算即可求解
（1）解：图整体上是边长为的正方形，面积为，中间小正方形的边长为，面积为，个长方形的面积为，
∴；
（2）解：由（）可得，，
∵，，
∴；
（3）解：设，，则，
∵，图中阴影部分面积为，
∴， ，
由（）可得， ；
∴，
∵，
∴，即，
∴的值为．
23．已知：如图1直线，被直线所截，．
（1）求证：；
（2）如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线，上，连接、．
① 度；
②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过P点作交于点H，连接，若平分，，则 度．
【答案】（1）证明：如图1，
∵，，
∴，
∴；
（2）①360；
②结论：．理由如下：
过点E作，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，，，，
∴，
∴，
∴．
（3）30
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（2）解：①过点E作，如图
∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴．
（3）解：如图3中，设，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】
（1）由等量代换可证，然后根据"同位角相等，两直线平行"可求解；
（2）①过点E作，由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得，，结合角的和差即可求解；
②过点E作，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，，得到，同理可证：，然后根据角的和差并结合角平分线的定义即可求解；
（3）如图3中，设，，，则，由平行线的性质"同位角相等，两直线平行"可得，然后结合角的和差和角平分线的定义即可求解．
（1）证明：如图1，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：①过点E作，如图
∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴．
②结论：．理由如下：
过点E作，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，，，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图3中，设，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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