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江苏省扬州市2026年中考数学真题
1．数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是(　　)
A．+3 B．+2 C．-1 D．-4
2．下列运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
3．下列调查中，适合采用普查的是(　　)
A．调查一批电视机的使用寿命
B．调查全省中学生最喜爱的体育运动项目
C．调查江苏卫视“苏超”直播节目的全国收视率
D．调查神舟二十三号载人飞船零部件的合格情况
4．一个几何体的主视图是等腰三角形，这个几何体可能是(　　)
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球
5．关于x的一元二次方程： 根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
6．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术.拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧.小明手腕到手肘的距离为20cm ，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为90°，小明手腕的运动路线长为(　　)
A．5πcm B．10πcm C．20 πcm D．40 πcm
7．图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示， EF∥BC， ∠AGE=120°， ∠DCB=70°，则∠BDC=(　　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
8．一次函数y=-x+b(b>0)与反比例函数 的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域(不含边界)内的一点.过点M作MA⊥x轴，MB⊥y轴，垂足分别为A，B；过点N作NC⊥x轴 ，ND⊥y轴，垂足分别为C，D. 记矩形MAOB的面积为S1， 周长为 记矩形NCOD 的面积为S2，周长为C2，下列结论正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
9．“红军不怕远征难，万水千山只等闲”.数据看长征，从1934年10月至1936年10月，历时735天，中央红军行程二万五千里，主力红军总行程超六万五千里.数据65000 用科学记数法表示为　 　.
10．分解因式： 　 　．
11．工厂对某批零件进行质检，结果如表：
抽取的零件数 100 200 300 500 1000 2000 3000
优等品的频数 91 189 277 466 929 1862 2789
优等品的频率 0.9100 0.9450 0.9233 0.9320 0.9290 0.9310 0.9297
从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为　 　(结果精确到0.01).
12．若一次函数y=(k-2)x+3的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是　 　.
13．《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何.”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱.设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组　 　.
14．扬州漆器造型雅致，做工精巧，色彩和谐，光泽腴润.如图，扬州漆器作品《春山畅游》的轮廓是一个正八边形，它的每个内角为　 　°.
15．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，点D在 上， ∠ABC=20 °，则 ∠CDB=　 　°.
16．如图， 在 中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE的延长线上.若的面积是3，则的面积是　 　.
17．如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形 现有如下方案：将正方形ABCD和正方形BEFG按如图所示的方式摆放，在AB边上取点M，使AM=BE，沿MD，MF剪开，可拼成正方形 MFND . 若AE=9，MN=10，则 的面积是　 　.
18．如图，在△ABC中， 将线段AB绕点A按逆时针方向旋转至AM(∠BAM是旋转角，且连接BM，CM，作垂足为N.用等式表示线段BM，CM，AN之间的数量关系为　 　.
19．计算：
（1）
（2）
20．解不等式组 并求它的所有整数解的和.
21．某中学为了解七年级学生本学期的课外阅读情况，随机调查了20名七年级学生，调查结果如图所示；
（1）被调查的20名学生课外阅读图书数量的众数为　 　本，中位数为　 　本，平均数为　 　本；
（2）该中学七年级共有400名学生，学校决定对本学期课外阅读图书数量达到5本以上(含5本)的学生给予表彰，请估计七年级获得表彰的学生人数.
22．为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A.红薯，B.玉米，C.山药，每名学生随机选择其中一种.
（1）小慧选择玉米的概率是　 　；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率.
23．用甲、乙两种型号的机器人搬运货物.已知乙型机器人比甲型机器人搬运效率高50%，且乙型机器人搬运1500kg 货物比甲型机器人搬运1200kg 货物少用10分钟.求这两种机器人每分钟分别搬运多少货物.
24．如图，在 ABCD中，O是CD的中点.分别延长AO，BC交于点E，连接AC，DE.
（1）求证：四边形ACED 是平行四边形；
（2）若BE=8，∠BAE=90°，求四边形ACED的周长.
25．“道路千万条，安全第一条”.为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试.
【数据收集】下表是测试所得的数据：
行车速度v ( 40 45 55 70 80 100
视野角度f (度) 100 89 73 57 50 40
（1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点.
（2）【数学表达】请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度f(度)与行车速度v(km/h)之间关系的函数表达式.
（3）【问题解决】在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围
26．如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，∠ABC>∠BAC. 以AB边上的点O为圆心， OA长为半径的⊙O与AC边的另一交点为D ，BD为⊙O的切线.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的⊙O (保留作图痕迹，写出必要的文字说明)；
（2）若求⊙O的半径.
27．如图1，在边长为1的正方形ABCD中，E是AD边上的动点(不与点A，D重合).将沿BE翻折，得到△FBE.过点F作 垂足分别为M，N.
（1）如图2，若FM=FN，求FM+FN的 值 ；
（2）如图3，若E为AD中点，则FM的长为　 　， FN的长为　 　；
（3）求点E运动过程中FM+FN的最大值.
28．在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点(2，1)和(4，-7).
（1）求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标.
（2）抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n(m①若m=-2，矩形R的垂直高度h=9，则矩形R的水平宽度p的取值范围是 ▲ ；
②若矩形R的水平宽度p=5，则矩形R的垂直高度h的取值范围是 ▲ ；
③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵ 数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值， ， ，，
∵ ，
∴ 对应的点到原点的距离最小，最接近原点．
故答案为：C.
【分析】先计算绝对值，然后根据绝对值小的数离远点近解答即可．
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：选项A，与不是同类项，不能合并，故A错误；
选项B，，故B正确；
选项C，，故C错误；
选项D，，故D错误．
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘除法法则逐项判断即可.
3．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查电视机使用寿命具有破坏性，不适合采用普查，故选项不符合题意；
B、调查全省中学生范围广，调查对象数量大，不适合采用普查，故选项不符合题意；
C、调查全国收视率范围广，调查对象数量大，不适合采用普查，故选项不符合题意；
D、神舟载人飞船零部件合格情况直接影响飞行安全，要求每个零件都合格，结果必须准确，因此适合采用普查，故选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此求解即可．
4．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：A、长方体的主视图是长方形，故选项不符合题意；
B、圆柱的主视图是长方形或圆，故选项不符合题意；
C、圆锥的主视图可能是等腰三角形，故选项符合题意；
D、球的主视图是圆，故选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】从正面看到几何体的图形是主视图，根据主视图判断即可．
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程 ，可得 ， ， ，
，
又无论取任意实数，都有 ，
，即，
该方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A.
【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况．
6．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧，
半径 ，圆心角 ，
手腕的运动路线长：．
故答案为：B.
【分析】利用弧长公式 计算即可．
7．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：A.
【分析】利用两直线平行，同位角相等得到 ，然后根据三角形的外角性质解答即可．
8．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设 ，
点在反比例函数图象上
点在反比例函数图象的上方
，即
，
点在一次函数 图象上
，即
∵矩形
∴ ，
点在一次函数图象的下方
，即
∵矩形
∴ ，
∴
综上所述，，．
故答案为：B.
【分析】设点坐标为 ，点坐标为 ，根据点、与反比例函数图象的位置关系可得与的大小；根据点、与一次函数图象位置关系可得与的大小解答即可．
9．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=a（ －9）=a（a+3）（a－3）．
【分析】先利用提公因式法分解，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
11．【答案】0.93
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格中的数据可知，随着抽取零件数增大，优等品的频率逐渐稳定在0.93附近，
因此任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为0.93．
故答案为：0.93.
【分析】经过大量重复试验，频率稳定的数值即为事件发生的概率，据此解答即可.
12．【答案】k>2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，得 ；且 ，
解得 ．
故答案为： ．
【分析】根据题意得到得到 ，解不等式求出k的值即可.
13．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，
根据题意：．
故答案为：．
【分析】设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据“甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱”列二元一次方程组即可．
14．【答案】135
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正八边形的边数 根据多边形内角和公式，
该正八边形的内角和为
，
∵正八边形的每个内角都相等，
∴每个内角的度数为 ．
故答案为：135.
【分析】先求出正八边形的内角和，再根据正多边形的性质求出每个内角的度数即可．
15．【答案】110
【知识点】圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解： 是的直径，
，
，
，
四边形内接于，
，
．
故答案为：110.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得 ，利用直角三角形的两锐角互余求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补解答即可．
16．【答案】6
【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，
∵点E是 的中点，
∴ ，
∵点D是的中点，
∴ ，
∵D，E分别是， 的中点，
∴ ，
∴ ，即 的面积是6．
故答案为：6.
【分析】连接，利用三角形中线的性质可得 ， ，再利用三角形中位线的性质求得 ，根据同底等高的两三角形面积相等解答即可．
17．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：在正方形 和正方形中， ，， ，
设 ， ，则，
∵，
∴ ，即 ；
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，又 ，
∴，即，
∴ ，则 ，
∵，即 ，
解得，
∴．
故答案为：.
【分析】设 ， ，jikededoa ，利用正方形的性质和勾股定理得到 ，然后根据完全平方公式的变形求得，再根据三角形的面积公式计算即可．
18．【答案】
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作 于点H，延长 交延长线于点E，
由题意， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
， ，
同理，在 中， ，
，
∴ ，
∴ ，
整理，得 ．
故答案为： ．
【分析】过点A作 于点H，延长 交延长线于点E，根据三线合一得到 ，再根据直角三角形的两锐角互余求出 ，在 和 中，解直角三角形得到 与关系， 与 的数量关系，然后根据三线合一得到 ， ，之间的数量关系解答即可．
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=ab
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算二次根式的化简、零次幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据单项乘以多项式的法则展开，然后合并同类项计算即可.
20．【答案】解：由①得，x<2；由②得，x≥-1
∴原不等式组的解集为：-1≤x<2
··它的所有整数解为-1，0，1，
∴所有整数解的和为：-1 +0+1=0.
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再得到整数解求和即可．
21．【答案】（1）3；4；3.8
（2）解：(人)，
答：估计七年级获得表彰的学生人数为120人.
【知识点】条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据统计图可知：课外阅读图书数量为本的人数最多，则被调查的20名学生课外阅读图书数量的众数为本，
课外阅读图书数量从小到大排列，第 ， 名学生的课外阅读图书数量为：，，则中位数为 本，
平均数为： 本；
故答案为：3；4；3.8；
【分析】（1）根据众数、中位数、平均数的定义解答即可；
（2）根据样本中课外阅读图书数量达到5本以上(含5本)的学生的人数占比乘以 解答即可．
22．【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中小慧和小敏选择不同品种粗粮的结果有6种，
∴小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解： 由题意可知，共有3种等可能的选择结果，小慧选择玉米的结果只有1种
因此小慧选择玉米的概率为；
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）先画树状图得到所有等可能结果， 找到符合题意的结果数，根据概率公式计算即可．
23．【答案】解：设甲型机器人每分钟搬运 xkg 货物，根据题意，乙型机器人效率比甲型高50%，
··乙型机器人每分钟搬(1+50%)x=1.5x(kg)，
..甲型搬运1200kg货物的时间为 分钟，乙型搬运1500kg货物的时间为 分钟，
∵乙型搬运比甲型少用10分钟，
解得x=20，
经检验，x=20 是原方程的解，
.1.5x=1.5×20=30 (千克) ，
答：甲型机器人每分钟搬运20kg 货物，乙型机器人每分钟搬运30kg货物.
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设甲型机器人每分钟搬运xkg货物，乙型机器人的搬运效率为1.5xkg，根据“ 乙型机器人搬运1500kg 货物比甲型机器人搬运1200kg 货物少用10分钟 ”列方程求出x的值并检验解答即可．
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC， 即AD∥CE，
∴△AO=∠ CEO，∠ ADO =∠ ECO，
∵0 是CD 的中点，
∴DO = CO，
在△AOD 与△EOC中，
∴AOD≌△EOC(AAS)，
∴AD=CE ，
又∵AD∥CE ，
∴四边形ACED是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，
由(1) 得AD=CE，
∴BC= CE， 即C为BE 的中点，
∴BE=8， ∠BAE=90°，
∵四边形ACED 是平行四边形，
∴四边形ACED 的周长=2(AD+AC)=2×(4+4)=16.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用AAS得到AOD≌△EOC，即可得到AD=CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据平行四边形的性质得到BC=AD=CE，再根据直角三角形斜边中线的性质求出CE和AC长，计算平行四边形ACED的周长即可.
25．【答案】（1）
（2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度f 的乘积近似等于4000 ，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：
（3）解：由题意，要求视野角度不小于80度，即f ≥80 ，代入函数表达式得：
因为行车速度v>0，不等式两边同时乘v，不等号方向不变：
4000≥80v
解得v≤50，
结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过50km/h ，即0【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用；描点法画函数图象；用表格表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描点，用平滑的曲线连线作图即可；
（2）观察表格数据可得行车速度与视野角度的乘积近似为定值 ，得到函数解析式即可；
（3）令y≤80，求出v的取值范围解答即可．
26．【答案】（1）解：⊙O如下图所示.
作法：①作∠DBC=∠A，边BD交AC于点D；
②作AD的垂直平分线EF，交AB于点O；
③连接OD，则OA=OD；
④以OA为半径作⊙O.
（2）
∴BC=2，
∵∠DBC=∠A，
∴DC=1
∴AD=3
即⊙O半径为.
【知识点】切线的性质；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）作交于点，再作的垂直平分线，交于点 ，以 为半径作即可；
（2）根据正切的定义求出和长，即可求出长，然后在Rt△OAF中根据勾股定理求出半径即可．
27．【答案】（1）解：∵FM ⊥BE， FN⊥BC， 且FM=FN，
∴BF平分∠EBC，
∴∠EBF= ∠FBC，
∵△BE 沿BE 翻折得到△FBE，
∴∠ABE=∠EBF ，
∴∠ABE=∠EBF=∠FBC.
∵∠ABE+∠EBF+∠FBC=∠ABC=90° ，
∴3∠ABE=90°，即∠ABE=∠EBF=∠FBC=30°，
在Rt△BFN中， BF=1，
又∵FM=FN，
（2）；
（3）0解：如图，延长NF交AD于H，连接AM
由翻转得，点A，M，F三点共线，
由(2)得，FH⊥AD
∴HAF+∠MAB=90 °
∴∠HFA=∠MAB
∴△HFA∽△MAB
设FM=x， FN=y
∴AF=AM+FM=2x
，即y=-2x2+1
∵-2<0
时，FM+FN取得最大值
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：延长 交于，
∵正方形 的边长为1，且E为 中点，
∴ ，，， ，
∵ 沿翻折得到 ，
∴ ，
∴， ， ，
在 中，，
∵ ，
∴
∴
∴，
∵ ，，
∴，
∴ ，
∵，
∴四边形 为矩形，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
设 则
∴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得，
∴；
故答案为：；；
【分析】（1）根据角平分线的判定可得∠EBF= ∠FBC，利用翻折可得 ，即可得到 ，根据30°的直角三角的性质得到， 即可求出 的值；
（2）根据正方形的性质、利用翻折可得 ，根据勾股定理求出BE长，利用等面积法求出FM长，然后推理得到四边形 为矩形，根据两角相等得到 ，根据对应边成比例求出的长；
（3）延长NF交AD于H，连接AM，可得点A，M，F三点，再根据两角相等得到△HFA∽△MAB，根据对应边成比例得到，设FM=x， FN=y，求出y与x的关系式，然后得到 FM+FN关于x的二次函数，配方为顶点式得到最大值即可．
28．【答案】（1）解：将点(2，1)和 (4，-7)分别代入 得
解得
∴抛物线的函数表达式为
∴它的顶点坐标为(1，2)；
（2）①3≤p≤6；
③解：根据题意设 则
第一种情况： 当 m+3≤1， 即m≤-2时， (舍去)；
第二种情况：当 即 时， 或 (舍去)，
当 时，
第三种情况：当 即 时， 或 舍去)，
当 时，
第四种情况：当 时，
舍去)；
综上，点M的坐标为 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】（2）①解：根据题意知点
当m=-2 时，
∴M(-2，-7)，
当点N在点M 上方的抛物线上时，
∵矩形的垂直高度h=9，
∴-7+9=2，
∴点N 的纵坐标为2 ，即N(1， 2)，此时，矩形宽度的最小值为1-(-2)=3；
当点N在点M下方的抛物线上时，
∵矩形的垂直高度h=9，
∴2-9=-7，
当y=-7 时， 解得n=-2( 舍去)或n=4，
∴N(4， -7)， 此时， 矩形宽度的最大值为(4-(-2)=6.
综上，矩形R的水平宽度p的取值范围是
故答案为：3≤p≤6；
②解：根据题意知，矩形R的垂直高度h取最小值时，点M，N关于抛物线对称轴直线x=1对称，
∵矩形R的水平宽度P=5，
当 时，
∴矩形R的垂直高度h的取值范围是
故答案为：
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，化为顶点式求出顶点坐标即可；
（2）①根据题意知点，求出，然后分为点N在点M上方的抛物线上，点N在点M下方的抛物线上两种情况，得到点N的纵坐标，求出水平宽度的临界值解答即可；
②根据题意得到矩形R的垂直高度h取最小值时，点 关于抛物线对称轴直线对称，利用矩形R的水平宽度 ，求出，即可得到M点的坐标，求出h的取值范围即可；
③设，则，然后，再分，，，四种情况，根据h=3分别列方程求出m的值解答即可．
1 / 1江苏省扬州市2026年中考数学真题
1．数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是(　　)
A．+3 B．+2 C．-1 D．-4
【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵ 数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值， ， ，，
∵ ，
∴ 对应的点到原点的距离最小，最接近原点．
故答案为：C.
【分析】先计算绝对值，然后根据绝对值小的数离远点近解答即可．
2．下列运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：选项A，与不是同类项，不能合并，故A错误；
选项B，，故B正确；
选项C，，故C错误；
选项D，，故D错误．
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘除法法则逐项判断即可.
3．下列调查中，适合采用普查的是(　　)
A．调查一批电视机的使用寿命
B．调查全省中学生最喜爱的体育运动项目
C．调查江苏卫视“苏超”直播节目的全国收视率
D．调查神舟二十三号载人飞船零部件的合格情况
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查电视机使用寿命具有破坏性，不适合采用普查，故选项不符合题意；
B、调查全省中学生范围广，调查对象数量大，不适合采用普查，故选项不符合题意；
C、调查全国收视率范围广，调查对象数量大，不适合采用普查，故选项不符合题意；
D、神舟载人飞船零部件合格情况直接影响飞行安全，要求每个零件都合格，结果必须准确，因此适合采用普查，故选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此求解即可．
4．一个几何体的主视图是等腰三角形，这个几何体可能是(　　)
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：A、长方体的主视图是长方形，故选项不符合题意；
B、圆柱的主视图是长方形或圆，故选项不符合题意；
C、圆锥的主视图可能是等腰三角形，故选项符合题意；
D、球的主视图是圆，故选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】从正面看到几何体的图形是主视图，根据主视图判断即可．
5．关于x的一元二次方程： 根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程 ，可得 ， ， ，
，
又无论取任意实数，都有 ，
，即，
该方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A.
【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况．
6．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术.拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧.小明手腕到手肘的距离为20cm ，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为90°，小明手腕的运动路线长为(　　)
A．5πcm B．10πcm C．20 πcm D．40 πcm
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧，
半径 ，圆心角 ，
手腕的运动路线长：．
故答案为：B.
【分析】利用弧长公式 计算即可．
7．图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示， EF∥BC， ∠AGE=120°， ∠DCB=70°，则∠BDC=(　　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：A.
【分析】利用两直线平行，同位角相等得到 ，然后根据三角形的外角性质解答即可．
8．一次函数y=-x+b(b>0)与反比例函数 的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域(不含边界)内的一点.过点M作MA⊥x轴，MB⊥y轴，垂足分别为A，B；过点N作NC⊥x轴 ，ND⊥y轴，垂足分别为C，D. 记矩形MAOB的面积为S1， 周长为 记矩形NCOD 的面积为S2，周长为C2，下列结论正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设 ，
点在反比例函数图象上
点在反比例函数图象的上方
，即
，
点在一次函数 图象上
，即
∵矩形
∴ ，
点在一次函数图象的下方
，即
∵矩形
∴ ，
∴
综上所述，，．
故答案为：B.
【分析】设点坐标为 ，点坐标为 ，根据点、与反比例函数图象的位置关系可得与的大小；根据点、与一次函数图象位置关系可得与的大小解答即可．
9．“红军不怕远征难，万水千山只等闲”.数据看长征，从1934年10月至1936年10月，历时735天，中央红军行程二万五千里，主力红军总行程超六万五千里.数据65000 用科学记数法表示为　 　.
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
10．分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=a（ －9）=a（a+3）（a－3）．
【分析】先利用提公因式法分解，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
11．工厂对某批零件进行质检，结果如表：
抽取的零件数 100 200 300 500 1000 2000 3000
优等品的频数 91 189 277 466 929 1862 2789
优等品的频率 0.9100 0.9450 0.9233 0.9320 0.9290 0.9310 0.9297
从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为　 　(结果精确到0.01).
【答案】0.93
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格中的数据可知，随着抽取零件数增大，优等品的频率逐渐稳定在0.93附近，
因此任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为0.93．
故答案为：0.93.
【分析】经过大量重复试验，频率稳定的数值即为事件发生的概率，据此解答即可.
12．若一次函数y=(k-2)x+3的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是　 　.
【答案】k>2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，得 ；且 ，
解得 ．
故答案为： ．
【分析】根据题意得到得到 ，解不等式求出k的值即可.
13．《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何.”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱.设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组　 　.
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，
根据题意：．
故答案为：．
【分析】设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据“甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱”列二元一次方程组即可．
14．扬州漆器造型雅致，做工精巧，色彩和谐，光泽腴润.如图，扬州漆器作品《春山畅游》的轮廓是一个正八边形，它的每个内角为　 　°.
【答案】135
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正八边形的边数 根据多边形内角和公式，
该正八边形的内角和为
，
∵正八边形的每个内角都相等，
∴每个内角的度数为 ．
故答案为：135.
【分析】先求出正八边形的内角和，再根据正多边形的性质求出每个内角的度数即可．
15．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，点D在 上， ∠ABC=20 °，则 ∠CDB=　 　°.
【答案】110
【知识点】圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解： 是的直径，
，
，
，
四边形内接于，
，
．
故答案为：110.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得 ，利用直角三角形的两锐角互余求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补解答即可．
16．如图， 在 中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE的延长线上.若的面积是3，则的面积是　 　.
【答案】6
【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，
∵点E是 的中点，
∴ ，
∵点D是的中点，
∴ ，
∵D，E分别是， 的中点，
∴ ，
∴ ，即 的面积是6．
故答案为：6.
【分析】连接，利用三角形中线的性质可得 ， ，再利用三角形中位线的性质求得 ，根据同底等高的两三角形面积相等解答即可．
17．如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形 现有如下方案：将正方形ABCD和正方形BEFG按如图所示的方式摆放，在AB边上取点M，使AM=BE，沿MD，MF剪开，可拼成正方形 MFND . 若AE=9，MN=10，则 的面积是　 　.
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：在正方形 和正方形中， ，， ，
设 ， ，则，
∵，
∴ ，即 ；
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，又 ，
∴，即，
∴ ，则 ，
∵，即 ，
解得，
∴．
故答案为：.
【分析】设 ， ，jikededoa ，利用正方形的性质和勾股定理得到 ，然后根据完全平方公式的变形求得，再根据三角形的面积公式计算即可．
18．如图，在△ABC中， 将线段AB绕点A按逆时针方向旋转至AM(∠BAM是旋转角，且连接BM，CM，作垂足为N.用等式表示线段BM，CM，AN之间的数量关系为　 　.
【答案】
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作 于点H，延长 交延长线于点E，
由题意， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
， ，
同理，在 中， ，
，
∴ ，
∴ ，
整理，得 ．
故答案为： ．
【分析】过点A作 于点H，延长 交延长线于点E，根据三线合一得到 ，再根据直角三角形的两锐角互余求出 ，在 和 中，解直角三角形得到 与关系， 与 的数量关系，然后根据三线合一得到 ， ，之间的数量关系解答即可．
19．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=ab
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算二次根式的化简、零次幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据单项乘以多项式的法则展开，然后合并同类项计算即可.
20．解不等式组 并求它的所有整数解的和.
【答案】解：由①得，x<2；由②得，x≥-1
∴原不等式组的解集为：-1≤x<2
··它的所有整数解为-1，0，1，
∴所有整数解的和为：-1 +0+1=0.
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再得到整数解求和即可．
21．某中学为了解七年级学生本学期的课外阅读情况，随机调查了20名七年级学生，调查结果如图所示；
（1）被调查的20名学生课外阅读图书数量的众数为　 　本，中位数为　 　本，平均数为　 　本；
（2）该中学七年级共有400名学生，学校决定对本学期课外阅读图书数量达到5本以上(含5本)的学生给予表彰，请估计七年级获得表彰的学生人数.
【答案】（1）3；4；3.8
（2）解：(人)，
答：估计七年级获得表彰的学生人数为120人.
【知识点】条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据统计图可知：课外阅读图书数量为本的人数最多，则被调查的20名学生课外阅读图书数量的众数为本，
课外阅读图书数量从小到大排列，第 ， 名学生的课外阅读图书数量为：，，则中位数为 本，
平均数为： 本；
故答案为：3；4；3.8；
【分析】（1）根据众数、中位数、平均数的定义解答即可；
（2）根据样本中课外阅读图书数量达到5本以上(含5本)的学生的人数占比乘以 解答即可．
22．为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A.红薯，B.玉米，C.山药，每名学生随机选择其中一种.
（1）小慧选择玉米的概率是　 　；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率.
【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中小慧和小敏选择不同品种粗粮的结果有6种，
∴小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解： 由题意可知，共有3种等可能的选择结果，小慧选择玉米的结果只有1种
因此小慧选择玉米的概率为；
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）先画树状图得到所有等可能结果， 找到符合题意的结果数，根据概率公式计算即可．
23．用甲、乙两种型号的机器人搬运货物.已知乙型机器人比甲型机器人搬运效率高50%，且乙型机器人搬运1500kg 货物比甲型机器人搬运1200kg 货物少用10分钟.求这两种机器人每分钟分别搬运多少货物.
【答案】解：设甲型机器人每分钟搬运 xkg 货物，根据题意，乙型机器人效率比甲型高50%，
··乙型机器人每分钟搬(1+50%)x=1.5x(kg)，
..甲型搬运1200kg货物的时间为 分钟，乙型搬运1500kg货物的时间为 分钟，
∵乙型搬运比甲型少用10分钟，
解得x=20，
经检验，x=20 是原方程的解，
.1.5x=1.5×20=30 (千克) ，
答：甲型机器人每分钟搬运20kg 货物，乙型机器人每分钟搬运30kg货物.
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设甲型机器人每分钟搬运xkg货物，乙型机器人的搬运效率为1.5xkg，根据“ 乙型机器人搬运1500kg 货物比甲型机器人搬运1200kg 货物少用10分钟 ”列方程求出x的值并检验解答即可．
24．如图，在 ABCD中，O是CD的中点.分别延长AO，BC交于点E，连接AC，DE.
（1）求证：四边形ACED 是平行四边形；
（2）若BE=8，∠BAE=90°，求四边形ACED的周长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC， 即AD∥CE，
∴△AO=∠ CEO，∠ ADO =∠ ECO，
∵0 是CD 的中点，
∴DO = CO，
在△AOD 与△EOC中，
∴AOD≌△EOC(AAS)，
∴AD=CE ，
又∵AD∥CE ，
∴四边形ACED是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，
由(1) 得AD=CE，
∴BC= CE， 即C为BE 的中点，
∴BE=8， ∠BAE=90°，
∵四边形ACED 是平行四边形，
∴四边形ACED 的周长=2(AD+AC)=2×(4+4)=16.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用AAS得到AOD≌△EOC，即可得到AD=CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据平行四边形的性质得到BC=AD=CE，再根据直角三角形斜边中线的性质求出CE和AC长，计算平行四边形ACED的周长即可.
25．“道路千万条，安全第一条”.为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试.
【数据收集】下表是测试所得的数据：
行车速度v ( 40 45 55 70 80 100
视野角度f (度) 100 89 73 57 50 40
（1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点.
（2）【数学表达】请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度f(度)与行车速度v(km/h)之间关系的函数表达式.
（3）【问题解决】在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围
【答案】（1）
（2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度f 的乘积近似等于4000 ，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：
（3）解：由题意，要求视野角度不小于80度，即f ≥80 ，代入函数表达式得：
因为行车速度v>0，不等式两边同时乘v，不等号方向不变：
4000≥80v
解得v≤50，
结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过50km/h ，即0【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用；描点法画函数图象；用表格表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描点，用平滑的曲线连线作图即可；
（2）观察表格数据可得行车速度与视野角度的乘积近似为定值 ，得到函数解析式即可；
（3）令y≤80，求出v的取值范围解答即可．
26．如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，∠ABC>∠BAC. 以AB边上的点O为圆心， OA长为半径的⊙O与AC边的另一交点为D ，BD为⊙O的切线.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的⊙O (保留作图痕迹，写出必要的文字说明)；
（2）若求⊙O的半径.
【答案】（1）解：⊙O如下图所示.
作法：①作∠DBC=∠A，边BD交AC于点D；
②作AD的垂直平分线EF，交AB于点O；
③连接OD，则OA=OD；
④以OA为半径作⊙O.
（2）
∴BC=2，
∵∠DBC=∠A，
∴DC=1
∴AD=3
即⊙O半径为.
【知识点】切线的性质；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）作交于点，再作的垂直平分线，交于点 ，以 为半径作即可；
（2）根据正切的定义求出和长，即可求出长，然后在Rt△OAF中根据勾股定理求出半径即可．
27．如图1，在边长为1的正方形ABCD中，E是AD边上的动点(不与点A，D重合).将沿BE翻折，得到△FBE.过点F作 垂足分别为M，N.
（1）如图2，若FM=FN，求FM+FN的 值 ；
（2）如图3，若E为AD中点，则FM的长为　 　， FN的长为　 　；
（3）求点E运动过程中FM+FN的最大值.
【答案】（1）解：∵FM ⊥BE， FN⊥BC， 且FM=FN，
∴BF平分∠EBC，
∴∠EBF= ∠FBC，
∵△BE 沿BE 翻折得到△FBE，
∴∠ABE=∠EBF ，
∴∠ABE=∠EBF=∠FBC.
∵∠ABE+∠EBF+∠FBC=∠ABC=90° ，
∴3∠ABE=90°，即∠ABE=∠EBF=∠FBC=30°，
在Rt△BFN中， BF=1，
又∵FM=FN，
（2）；
（3）0解：如图，延长NF交AD于H，连接AM
由翻转得，点A，M，F三点共线，
由(2)得，FH⊥AD
∴HAF+∠MAB=90 °
∴∠HFA=∠MAB
∴△HFA∽△MAB
设FM=x， FN=y
∴AF=AM+FM=2x
，即y=-2x2+1
∵-2<0
时，FM+FN取得最大值
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：延长 交于，
∵正方形 的边长为1，且E为 中点，
∴ ，，， ，
∵ 沿翻折得到 ，
∴ ，
∴， ， ，
在 中，，
∵ ，
∴
∴
∴，
∵ ，，
∴，
∴ ，
∵，
∴四边形 为矩形，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
设 则
∴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得，
∴；
故答案为：；；
【分析】（1）根据角平分线的判定可得∠EBF= ∠FBC，利用翻折可得 ，即可得到 ，根据30°的直角三角的性质得到， 即可求出 的值；
（2）根据正方形的性质、利用翻折可得 ，根据勾股定理求出BE长，利用等面积法求出FM长，然后推理得到四边形 为矩形，根据两角相等得到 ，根据对应边成比例求出的长；
（3）延长NF交AD于H，连接AM，可得点A，M，F三点，再根据两角相等得到△HFA∽△MAB，根据对应边成比例得到，设FM=x， FN=y，求出y与x的关系式，然后得到 FM+FN关于x的二次函数，配方为顶点式得到最大值即可．
28．在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点(2，1)和(4，-7).
（1）求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标.
（2）抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n(m①若m=-2，矩形R的垂直高度h=9，则矩形R的水平宽度p的取值范围是 ▲ ；
②若矩形R的水平宽度p=5，则矩形R的垂直高度h的取值范围是 ▲ ；
③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标.
【答案】（1）解：将点(2，1)和 (4，-7)分别代入 得
解得
∴抛物线的函数表达式为
∴它的顶点坐标为(1，2)；
（2）①3≤p≤6；
③解：根据题意设 则
第一种情况： 当 m+3≤1， 即m≤-2时， (舍去)；
第二种情况：当 即 时， 或 (舍去)，
当 时，
第三种情况：当 即 时， 或 舍去)，
当 时，
第四种情况：当 时，
舍去)；
综上，点M的坐标为 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】（2）①解：根据题意知点
当m=-2 时，
∴M(-2，-7)，
当点N在点M 上方的抛物线上时，
∵矩形的垂直高度h=9，
∴-7+9=2，
∴点N 的纵坐标为2 ，即N(1， 2)，此时，矩形宽度的最小值为1-(-2)=3；
当点N在点M下方的抛物线上时，
∵矩形的垂直高度h=9，
∴2-9=-7，
当y=-7 时， 解得n=-2( 舍去)或n=4，
∴N(4， -7)， 此时， 矩形宽度的最大值为(4-(-2)=6.
综上，矩形R的水平宽度p的取值范围是
故答案为：3≤p≤6；
②解：根据题意知，矩形R的垂直高度h取最小值时，点M，N关于抛物线对称轴直线x=1对称，
∵矩形R的水平宽度P=5，
当 时，
∴矩形R的垂直高度h的取值范围是
故答案为：
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，化为顶点式求出顶点坐标即可；
（2）①根据题意知点，求出，然后分为点N在点M上方的抛物线上，点N在点M下方的抛物线上两种情况，得到点N的纵坐标，求出水平宽度的临界值解答即可；
②根据题意得到矩形R的垂直高度h取最小值时，点 关于抛物线对称轴直线对称，利用矩形R的水平宽度 ，求出，即可得到M点的坐标，求出h的取值范围即可；
③设，则，然后，再分，，，四种情况，根据h=3分别列方程求出m的值解答即可．
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