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福建省2026年中考数学真题
1．福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为0∶1，丙队与丁队的比赛结果为2∶0.若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作-1，则丙队的净胜球数应记作（　　）
A．-2 B．-1 C．+1 D．+2
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．2026年5月24 日，神舟二十三号飞船成功发射，彰显了我国航空航天事业取得巨大成就.飞船在轨飞行速度接近地球第一宇宙速度7 900米/秒.数据7 900用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．福建土楼产生于宋元，成熟于明末、清代和民国时期.土楼或方或圆，以圆为主，如珍珠般洒落在闽西南的绿水青山间，遵循“天人合一”的东方哲学理念.图1是福建众多土楼中的一座圆形土楼.图2为其示意图，关于它的三视图的描述，下列说法正确的是（　　）
A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同
C．左视图和俯视图相同 D．三种视图都相同
5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a+b>0 B．a-b<0 C．ab>0 D．
6．下列各点中，在函数 图象上的点是（　　）
A．(1，1) B．(1，2) C．(2，1) D．(2，2)
7．古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶.如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图.已知秋千的绳索长OA=6尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点A 处，OA 与地面BD 垂直，踏板离地面的高度AB=1尺.当踏板从A 处绕点O 运动到C 处时，踏板离地面的高度CD=4尺，则秋千的绳索荡过的∠AOC 的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．为庆祝“中俄教育年”正式启动，某校8个班级分别制作了若干张宣传图片，图片数的条形统计图如图所示.这8个班级宣传图片数的中位数与平均数分别是（　　）
A．7，7 B．7，7.5 C．7.5，7 D．7.5，7.5
9．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O于点 D.若AD=CD，则tanA 的值是（　　）
A． B．1 C． D．2
10．已知抛物线 经过点A(3，a)，B(5，b).若aA．0 B．1 C．2 D．3
11．一组数据9，8，5，2，1，1的众数是　 　.
12．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选择一点C，连接AC和BC，分别取AC 和BC中点M，N，测得MN=100米，则A，B两点间的距离是　 　米.
13．因式分解： 　 　．
14．某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠B=∠DFC=90°，∠BAE=30°，∠CDF=45°，四边形ABCD 恰好为矩形，点 E，F 分别在 BC，AE上，则∠AFD 等于　 　度.
15．已知实数p，q满足 则(p-1)(q-1)的值为　 　.
16．由于水对物体的浮力作用，实心的纯金和纯银浸没水中称重时，弹簧测力计的示数分别约为原来的 和 一件重80克的实心金银饰品，浸没水中称重，弹簧测力计的示数为原来的 若实心的纯金和纯银浸没水中称重，弹簧测力计的示数分别按原来的 和 计算，则这件金银饰品中含金　 　克.
17．计算：
18．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥BC，CE⊥BC，BD=CE.
求证：AD=AE.
19．解不等式组：
20．如图，四边形ABCD 是矩形，AB（1）求作点 F，使点 F在AD 边上，且∠AFB=2∠EBC；(要求： 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在(1)的条件下，若AB=4，BC=6， DE=2，求AF 的长.
21．一个不透明的盒子中有1个标号为0的黄球a0，2个标号分别为1，2的红球b1，b2，1个标号为3 的白球c3，这些球除颜色和标号外无其他差别.
（1）从盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黄球的概率；
（2）从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球.求摸出的2个球颜色不同且标号之和小于4 的概率.
22．如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AB 上的一点， CE=DE.四边形A'B'CD由四边形ABCD沿CD 翻折得到，点A，B，E的对应点分别为A'，B'，E'. F是AD 延长线上的一点，且
（1）求证：E'A'=E'F；
（2）若 求A'F的长.
23．阅读下列材料，回答问题.
主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征
提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式√p为为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即 其中m 为整数，0探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： 据此，小华提出并证明了以下命题. 命题：若整数a，b满足且 的整数部分为m，小数部分为n，则m必为奇数，且
命题证明 证明：因为 所以 即 又因为 且0拓展延伸 问题1 若整数a，b满足 那么 的整数部分m是否仍为奇数 证明你的结论； 问题2 若整数a，b满足 其中k为整数，且 ，试探究： 的整数部分m是奇数还是偶数 直接写出结论，不必证明.
（1）补全①②③④所缺的内容；
（2）解决问题1；
（3）解决问题2.
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是DC延长线上的一点，EB的延长线交⊙O于点F，AB=BD， ∠CBE=∠ABD=60°.
（1）求∠E的度数；
（2）求证：四边形AFEC 是平行四边形；
（3）设CF交BD 于点G，且 求 的值.
25．已知抛物线
（1）若b=1，c=2，求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线上存在一点 P(x0，y0)在x轴上方，求证：抛物线与x轴有两个交点；
（3）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C(0，2)，直线y= bx+2与y=-bx-1相交于点 D，E是y轴上不与点C重合的点.若坐标平面内存在点M满足 MA=MB=MC=ME，试探究 CD和DE的数量关系，并证明.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的减法法则；正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：净胜球数的计算规则为：净胜球数进球数失球数，
∵甲队与乙队的比赛结果为，即甲队进球数为，失球数为，
∴甲队的净胜球数为，记作，
∵丙队与丁队的比赛结果为，即丙队进球数为， 失球数为，
∴丙队净胜球数为，即丙队的净胜球数应记作．
故答案为：D.
【分析】先明确：净胜球数进球数失球数，计算丙队的净胜球数，然后根据正、负数记数即可．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】选项A：是中心对称图形，但不存在一条直线能使对折后两侧完全重合，不是轴对称图形，不符合要求．
选项B：是轴对称图形，旋转后无法和原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求．
选项C：沿对边中点连线/对角线对折都能重合，是轴对称图形；绕中心旋转后和原图形完全重合，是中心对称图形，符合要求．
选项D：是轴对称图形，旋转后无法和原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求．
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“轴对称图形：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形．中心对称图形：绕图形中心旋转后，能和原图形完全重合的图形”逐项判断解答即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 主视图和左视图是相同的图形，俯视图是两个同心圆即圆环．
A正确，B、C、D项错误．
故答案为：A.
【分析】根据几何体的三视图判断即可．
5．【答案】D
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得：，
∴，，，，
∴选项A、B、C说法错误；选项D说法正确．
故答案为：D.
【分析】先根据数轴上点的位置得到a、b的取值范围，然后根据实数的加法、减法、乘法、除法法则解答即可．
6．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：对于函数
A、 当时，，
点在函数的图象上，此选项符合题意；
B、 当时，，
点不在函数的图象上，此选项不符合题意；
C、 当时，，
点不在函数的图象上，此选项不符合题意；
D、 当时，，
点不在函数的图象上，此选项不符合题意．
故答案为：A.
【分析】将各选顶点的横坐标代入解析式，求出y的值，判断即可．
7．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【解答】解：如图，过点作，
由题意，，
四边形是矩形，
尺，
尺，
尺，
尺，
在中：
，
．
故答案为：C.
【分析】过点作，即可得到四边形是矩形，求出的长，再根据圆的半径得到斜边长，根据余弦的定义求出∠AOC的度数即可．
8．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：由8个班级分别制作了若干张宣传图片，
∴中位数为第4、5个班级的图片数，
从小到大排列后：第4、5个班级的图片数为，
∴中位数为：；
平均数为：．
故答案为：B.
【分析】利用中位数和平均数的定义“一组数据排列后居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数；平均数是所有数据的和除以数据的个数”求解即可．
9．【答案】B
【知识点】切线的性质；等腰直角三角形；求正切值；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵ 是 的切线，
∴，
∵，
∴点D为的中点，
∴，
∵ 是 的直径，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】连接，根据切线的性质可得，再根据直角三角形斜边中线的性质求得，根据直径所对的圆周角是直角得出，即可求出，进而计算正切值即可．
10．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 经过点 ， ，
∴将 代入解析式得 ，
将 代入解析式得 ，
∵ ， 且 ，
∴ ，
∴
解得
观察选项，只有符合该范围．
故答案为：C.
【分析】先将A、 B两点坐标代入解析式，求出 关于n的表达式，再根据已知得到 ，列关于n的不等式组求出n的取值范围解答即可．
11．【答案】1
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在数据，，，，，中，出现的次数最多，
因此这组数据的众数是．
故答案为：1.
【分析】根据众数的定义“众数是一组数据中出现次数最多的数”解答即可．
12．【答案】200
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点M，N分别是和 的中点，
∴是的中位线，
∵米，
∴（米）．
故答案为：200.
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】直接利用平方差公式分解：x2－y2＝(x＋y)(x－y)．
故答案为(x＋y)(x－y)．
【分析】注意区别2xy+=(xy)2
14．【答案】75
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵，四边形为矩形，
∴，
又∵，，
∴，，
∴.
故答案为：75.
【分析】根据矩形性质可得，求出∠FAD和∠D=FDA的度数，利用三角形内角和解答即可．
15．【答案】1
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1.
【分析】将变形可得，然后根据多项式乘以多项式展开，再整体代入计算即可．
16．【答案】60
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这件金银饰品中含金 克，则含银克，
根据题意列方程得：
去括号，得
移项合并同类项，得
系数化为，得．
故答案为：60.
【分析】设这件金银饰品中含金 克，则含银克，根据“浸没水中后弹簧测力计总示数等于金、银的示数之和”列方程求出x的值解答即可．
17．【答案】解：
=2+3-4
=1.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算算术平方根、绝对值和乘方，然后加减解答即可.
18．【答案】证明：
∵△ABC 是等边三角形，
在△ABD 和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE.
∴AD=AE.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据垂直的定义和等边三角形的性质得到，然后根据SAS得到△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等证明即可.
19．【答案】解：解不等式①，得x>3.
解不等式②，得x<7.
所以，原不等式组的解集为3【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
20．【答案】（1）解：如图，F是所求作的点.
（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，BC=6，
∵DE=2，
∴AE=AD+DE=8.
设AF=x，则BF=EF=8-x.
在 Rt△ABF中，∠A=90°，AB=4，
由勾股定理得
解得x=3.
∴AF=3.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）作，边 与 的交点F即为所求 ；
（2）根据矩形的性质可得、进而可得∠FBE=∠E，利用等角对等边可得，即可求得的长；设，则，在中，根据勾股定理求出x的值解答即可．
21．【答案】（1）解：从盒子中随机摸出1个球共有4种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出的球是黄球(记为事件A)的结果有1种，
所以
（2）解：从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球，列表如下：
第二次 第一次 黄球a0 红球b1 红球b2 白球c3
黄球a0 　 (a0，b1)
红球b1 (b1，a0) 　
红球b2 (b2，a0) (b2，b1) 　
白球c3 (c3，a0) (c3，b1) 　
共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出2个球的颜色不同且标号之和小于4(记为事件 B)的结果共有6种： (b1，a0)，(b2，a0)，(c3，a0)，所以
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式直接求解；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数， 找到符合条件的结果数，根据概率计算公式解答即可．
22．【答案】（1）证明：∵FE'∥AB，
∴∠A+∠F=180°.
∵四边形A'B'CD 由四边形ABCD 翻折得到，点 E 的对应点为 E'，
∴∠A=∠DA'E'.
∵∠DA'E'+∠FA'E'=180°，
∴∠F=∠FA'E'.
（2）解：过点 E'作 E'G⊥A'F，垂足为G.
∵CE=DE，∠CED=90°，
∴∠EDC=∠ECD=45°.
∵∠ADC=90°，
∴∠ADE=45°.
∵四边形A'B'CD 由四边形ABCD 翻折得到，点 E 的对应点为E'，
在 Rt△DE'G中，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得到∠A+∠F=180°，再根据折叠的性质可得 ∠A=∠DA'E' ，利用等角的补角相等得到∠F=∠FA'E'，根据等角对等边证明即可；
（2）过点 E'作 E'G⊥A'F，垂足为G，根据等腰直角三角形的性质和翻折的性质可得，然后根据余弦的定义求出DG长，再利用三线合一解答即可．
23．【答案】（1）解：①5；②8 -11；③4a2+2b2-1；④1-( a-b)2.
（2）解：m不是奇数，证明如下：
因为
所以 即
又因为 且0所以
又根据 可得
所以
故
又因为a，b均为整数，所以 为偶数，故m不是奇数.
（3）当为偶数，且时， 为奇数；当为奇数，且时， 为偶数
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解： ，
①；
，
②；
，
，
，即③
，即④；
故答案为：①5；②8 -11；③4a2+2b2-1；④1-( a-b)2.
（3）由（1）知，，
，其中为整数，且，
，
，
，
，
当为偶数，且时，为奇数，
为偶数，
为奇数，即 为奇数；
当为奇数，且时，为偶数，
为偶数，
为偶数，即 为偶数，
综上，当为偶数，且时， 为奇数；当为奇数，且时， 为偶数，
故答案为：当为偶数，且时， 为奇数；当为奇数，且时， 为偶数.
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求出①②，把多项式展开合并，根据对应系数相等求出③④即可；
（2）仿照命题证明过程解答即可；
（3）仿照命题的证明过程解答即可．
24．【答案】（1）解：∵AB=BD，∠ABD=60°，
∴△ABD 是等边三角形.
∴∠BAD=∠BDA=60°.
∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
又∵∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠BCE=∠BAD=60°.
∵∠CBE=60°，
（2）证明：∵∠ACD=∠ABD=60°，
∴∠ACD=∠E.
∴AC∥EF.
∵四边形AFBD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠AFB+∠ADB=180°.
∴∠AFB=120°.
∴∠AFB+∠E=180°.
∴AF∥CE.
∴四边形AFEC 是平行四边形.
（3）解：过点 C作 CH⊥BE，垂足为H，连接DF，设CD=a.
∵∠E=∠CBE=∠BCE=60°，
∴△BCE 是等边三角形.
∴BE=CE.
又∵∠CFB=∠CDB，∠E=∠E，
∴EF=ED.
∴△DEF 是等边三角形.
∴∠FDE=∠BCE=60°.
∴BC∥DF.
∴△BCG∽△DFG.
∵BC∥DF，
∴△BCE∽△FDE.
∴BE=2a，EF=3a.
∵四边形AFEC 是平行四边形，
∴AC=EF=3a.
∵△BCE 是等边三角形，CH⊥BE，
在 Rt△BCH中，
∵FH=BF+BH=2a，
∵△CFE≌△BDE，
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆与三角形的综合；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）先得到△ABD 是等边三角形，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到∠BCE=∠BAD=60°，然后根据三角形的内角和定理解答即可；
（2）根据同位角相等，两直线平行得到AC∥EF，然后根据圆内接四边形的性质求出∠AFB=120°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得到AF∥CE，即可得到结论；
（3）过点 作，垂足为 ，连接，设，根据等边三角形的性质，然后根据AAS得到△CFE≌△BDE，即可得到EF=ED，进而可得△DEF 是等边三角形，然后根据平行线可得△BCG∽△DFG，△BCE∽△FDE，根据对应边成比例设BE=2a，EF=3a，然后根据解直角三角形求出CF长解答即可.
25．【答案】（1）解：因为b=1，c=2，
所以
所以抛物线的顶点坐标为
（2）证明：因为抛物线上的点 P(x0，y0)在x轴上方，
所以
所以
所以
即方程 有两个不相等的实数根，
所以抛物线与x轴有两个交点.
（3）解：CD和DE的数量关系是 CD=DE，理由如下：
因为抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C(0，2)，
故可设A(x1，0)，B(x2，0)，x1>x2.
则x1，x2是方程 的两根，
由求根公式可得
又坐标平面内存在点 M 满足MA=MB=MC，
由对称性可设
由勾股定理可得
所以 解得
所以点M 的坐标为
因为直线y= bx+2与y=-bx-1相交于点 D，所以b≠0.
联立 解得
所以点 D 的坐标为
由 可知MD⊥CE，
又因为MC=ME，所以MD垂直平分CE，
所以CD=DE.
【知识点】公式法解一元二次方程；线段垂直平分线的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）根据题意得到，即可得到，
进而得得到一元二次方程根的判别式为，即可得到方程根的情况判断即可；
（3）设，，，根据对称性可设，解方程求出、的值，根据两点间距离公式可得，，利用求出点的坐标，在联立直线与求出点 的坐标，进而得，由可得垂直平分，进而得到结论即可．
1 / 1福建省2026年中考数学真题
1．福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为0∶1，丙队与丁队的比赛结果为2∶0.若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作-1，则丙队的净胜球数应记作（　　）
A．-2 B．-1 C．+1 D．+2
【答案】D
【知识点】有理数的减法法则；正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：净胜球数的计算规则为：净胜球数进球数失球数，
∵甲队与乙队的比赛结果为，即甲队进球数为，失球数为，
∴甲队的净胜球数为，记作，
∵丙队与丁队的比赛结果为，即丙队进球数为， 失球数为，
∴丙队净胜球数为，即丙队的净胜球数应记作．
故答案为：D.
【分析】先明确：净胜球数进球数失球数，计算丙队的净胜球数，然后根据正、负数记数即可．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】选项A：是中心对称图形，但不存在一条直线能使对折后两侧完全重合，不是轴对称图形，不符合要求．
选项B：是轴对称图形，旋转后无法和原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求．
选项C：沿对边中点连线/对角线对折都能重合，是轴对称图形；绕中心旋转后和原图形完全重合，是中心对称图形，符合要求．
选项D：是轴对称图形，旋转后无法和原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求．
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“轴对称图形：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形．中心对称图形：绕图形中心旋转后，能和原图形完全重合的图形”逐项判断解答即可．
3．2026年5月24 日，神舟二十三号飞船成功发射，彰显了我国航空航天事业取得巨大成就.飞船在轨飞行速度接近地球第一宇宙速度7 900米/秒.数据7 900用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．福建土楼产生于宋元，成熟于明末、清代和民国时期.土楼或方或圆，以圆为主，如珍珠般洒落在闽西南的绿水青山间，遵循“天人合一”的东方哲学理念.图1是福建众多土楼中的一座圆形土楼.图2为其示意图，关于它的三视图的描述，下列说法正确的是（　　）
A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同
C．左视图和俯视图相同 D．三种视图都相同
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 主视图和左视图是相同的图形，俯视图是两个同心圆即圆环．
A正确，B、C、D项错误．
故答案为：A.
【分析】根据几何体的三视图判断即可．
5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a+b>0 B．a-b<0 C．ab>0 D．
【答案】D
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得：，
∴，，，，
∴选项A、B、C说法错误；选项D说法正确．
故答案为：D.
【分析】先根据数轴上点的位置得到a、b的取值范围，然后根据实数的加法、减法、乘法、除法法则解答即可．
6．下列各点中，在函数 图象上的点是（　　）
A．(1，1) B．(1，2) C．(2，1) D．(2，2)
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：对于函数
A、 当时，，
点在函数的图象上，此选项符合题意；
B、 当时，，
点不在函数的图象上，此选项不符合题意；
C、 当时，，
点不在函数的图象上，此选项不符合题意；
D、 当时，，
点不在函数的图象上，此选项不符合题意．
故答案为：A.
【分析】将各选顶点的横坐标代入解析式，求出y的值，判断即可．
7．古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶.如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图.已知秋千的绳索长OA=6尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点A 处，OA 与地面BD 垂直，踏板离地面的高度AB=1尺.当踏板从A 处绕点O 运动到C 处时，踏板离地面的高度CD=4尺，则秋千的绳索荡过的∠AOC 的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【解答】解：如图，过点作，
由题意，，
四边形是矩形，
尺，
尺，
尺，
尺，
在中：
，
．
故答案为：C.
【分析】过点作，即可得到四边形是矩形，求出的长，再根据圆的半径得到斜边长，根据余弦的定义求出∠AOC的度数即可．
8．为庆祝“中俄教育年”正式启动，某校8个班级分别制作了若干张宣传图片，图片数的条形统计图如图所示.这8个班级宣传图片数的中位数与平均数分别是（　　）
A．7，7 B．7，7.5 C．7.5，7 D．7.5，7.5
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：由8个班级分别制作了若干张宣传图片，
∴中位数为第4、5个班级的图片数，
从小到大排列后：第4、5个班级的图片数为，
∴中位数为：；
平均数为：．
故答案为：B.
【分析】利用中位数和平均数的定义“一组数据排列后居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数；平均数是所有数据的和除以数据的个数”求解即可．
9．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O于点 D.若AD=CD，则tanA 的值是（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】切线的性质；等腰直角三角形；求正切值；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵ 是 的切线，
∴，
∵，
∴点D为的中点，
∴，
∵ 是 的直径，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】连接，根据切线的性质可得，再根据直角三角形斜边中线的性质求得，根据直径所对的圆周角是直角得出，即可求出，进而计算正切值即可．
10．已知抛物线 经过点A(3，a)，B(5，b).若aA．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 经过点 ， ，
∴将 代入解析式得 ，
将 代入解析式得 ，
∵ ， 且 ，
∴ ，
∴
解得
观察选项，只有符合该范围．
故答案为：C.
【分析】先将A、 B两点坐标代入解析式，求出 关于n的表达式，再根据已知得到 ，列关于n的不等式组求出n的取值范围解答即可．
11．一组数据9，8，5，2，1，1的众数是　 　.
【答案】1
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在数据，，，，，中，出现的次数最多，
因此这组数据的众数是．
故答案为：1.
【分析】根据众数的定义“众数是一组数据中出现次数最多的数”解答即可．
12．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选择一点C，连接AC和BC，分别取AC 和BC中点M，N，测得MN=100米，则A，B两点间的距离是　 　米.
【答案】200
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点M，N分别是和 的中点，
∴是的中位线，
∵米，
∴（米）．
故答案为：200.
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．
13．因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】直接利用平方差公式分解：x2－y2＝(x＋y)(x－y)．
故答案为(x＋y)(x－y)．
【分析】注意区别2xy+=(xy)2
14．某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠B=∠DFC=90°，∠BAE=30°，∠CDF=45°，四边形ABCD 恰好为矩形，点 E，F 分别在 BC，AE上，则∠AFD 等于　 　度.
【答案】75
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵，四边形为矩形，
∴，
又∵，，
∴，，
∴.
故答案为：75.
【分析】根据矩形性质可得，求出∠FAD和∠D=FDA的度数，利用三角形内角和解答即可．
15．已知实数p，q满足 则(p-1)(q-1)的值为　 　.
【答案】1
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1.
【分析】将变形可得，然后根据多项式乘以多项式展开，再整体代入计算即可．
16．由于水对物体的浮力作用，实心的纯金和纯银浸没水中称重时，弹簧测力计的示数分别约为原来的 和 一件重80克的实心金银饰品，浸没水中称重，弹簧测力计的示数为原来的 若实心的纯金和纯银浸没水中称重，弹簧测力计的示数分别按原来的 和 计算，则这件金银饰品中含金　 　克.
【答案】60
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这件金银饰品中含金 克，则含银克，
根据题意列方程得：
去括号，得
移项合并同类项，得
系数化为，得．
故答案为：60.
【分析】设这件金银饰品中含金 克，则含银克，根据“浸没水中后弹簧测力计总示数等于金、银的示数之和”列方程求出x的值解答即可．
17．计算：
【答案】解：
=2+3-4
=1.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算算术平方根、绝对值和乘方，然后加减解答即可.
18．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥BC，CE⊥BC，BD=CE.
求证：AD=AE.
【答案】证明：
∵△ABC 是等边三角形，
在△ABD 和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE.
∴AD=AE.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据垂直的定义和等边三角形的性质得到，然后根据SAS得到△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等证明即可.
19．解不等式组：
【答案】解：解不等式①，得x>3.
解不等式②，得x<7.
所以，原不等式组的解集为3【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
20．如图，四边形ABCD 是矩形，AB（1）求作点 F，使点 F在AD 边上，且∠AFB=2∠EBC；(要求： 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在(1)的条件下，若AB=4，BC=6， DE=2，求AF 的长.
【答案】（1）解：如图，F是所求作的点.
（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，BC=6，
∵DE=2，
∴AE=AD+DE=8.
设AF=x，则BF=EF=8-x.
在 Rt△ABF中，∠A=90°，AB=4，
由勾股定理得
解得x=3.
∴AF=3.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）作，边 与 的交点F即为所求 ；
（2）根据矩形的性质可得、进而可得∠FBE=∠E，利用等角对等边可得，即可求得的长；设，则，在中，根据勾股定理求出x的值解答即可．
21．一个不透明的盒子中有1个标号为0的黄球a0，2个标号分别为1，2的红球b1，b2，1个标号为3 的白球c3，这些球除颜色和标号外无其他差别.
（1）从盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黄球的概率；
（2）从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球.求摸出的2个球颜色不同且标号之和小于4 的概率.
【答案】（1）解：从盒子中随机摸出1个球共有4种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出的球是黄球(记为事件A)的结果有1种，
所以
（2）解：从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球，列表如下：
第二次 第一次 黄球a0 红球b1 红球b2 白球c3
黄球a0 　 (a0，b1)
红球b1 (b1，a0) 　
红球b2 (b2，a0) (b2，b1) 　
白球c3 (c3，a0) (c3，b1) 　
共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出2个球的颜色不同且标号之和小于4(记为事件 B)的结果共有6种： (b1，a0)，(b2，a0)，(c3，a0)，所以
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式直接求解；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数， 找到符合条件的结果数，根据概率计算公式解答即可．
22．如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AB 上的一点， CE=DE.四边形A'B'CD由四边形ABCD沿CD 翻折得到，点A，B，E的对应点分别为A'，B'，E'. F是AD 延长线上的一点，且
（1）求证：E'A'=E'F；
（2）若 求A'F的长.
【答案】（1）证明：∵FE'∥AB，
∴∠A+∠F=180°.
∵四边形A'B'CD 由四边形ABCD 翻折得到，点 E 的对应点为 E'，
∴∠A=∠DA'E'.
∵∠DA'E'+∠FA'E'=180°，
∴∠F=∠FA'E'.
（2）解：过点 E'作 E'G⊥A'F，垂足为G.
∵CE=DE，∠CED=90°，
∴∠EDC=∠ECD=45°.
∵∠ADC=90°，
∴∠ADE=45°.
∵四边形A'B'CD 由四边形ABCD 翻折得到，点 E 的对应点为E'，
在 Rt△DE'G中，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得到∠A+∠F=180°，再根据折叠的性质可得 ∠A=∠DA'E' ，利用等角的补角相等得到∠F=∠FA'E'，根据等角对等边证明即可；
（2）过点 E'作 E'G⊥A'F，垂足为G，根据等腰直角三角形的性质和翻折的性质可得，然后根据余弦的定义求出DG长，再利用三线合一解答即可．
23．阅读下列材料，回答问题.
主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征
提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式√p为为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即 其中m 为整数，0探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： 据此，小华提出并证明了以下命题. 命题：若整数a，b满足且 的整数部分为m，小数部分为n，则m必为奇数，且
命题证明 证明：因为 所以 即 又因为 且0拓展延伸 问题1 若整数a，b满足 那么 的整数部分m是否仍为奇数 证明你的结论； 问题2 若整数a，b满足 其中k为整数，且 ，试探究： 的整数部分m是奇数还是偶数 直接写出结论，不必证明.
（1）补全①②③④所缺的内容；
（2）解决问题1；
（3）解决问题2.
【答案】（1）解：①5；②8 -11；③4a2+2b2-1；④1-( a-b)2.
（2）解：m不是奇数，证明如下：
因为
所以 即
又因为 且0所以
又根据 可得
所以
故
又因为a，b均为整数，所以 为偶数，故m不是奇数.
（3）当为偶数，且时， 为奇数；当为奇数，且时， 为偶数
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解： ，
①；
，
②；
，
，
，即③
，即④；
故答案为：①5；②8 -11；③4a2+2b2-1；④1-( a-b)2.
（3）由（1）知，，
，其中为整数，且，
，
，
，
，
当为偶数，且时，为奇数，
为偶数，
为奇数，即 为奇数；
当为奇数，且时，为偶数，
为偶数，
为偶数，即 为偶数，
综上，当为偶数，且时， 为奇数；当为奇数，且时， 为偶数，
故答案为：当为偶数，且时， 为奇数；当为奇数，且时， 为偶数.
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求出①②，把多项式展开合并，根据对应系数相等求出③④即可；
（2）仿照命题证明过程解答即可；
（3）仿照命题的证明过程解答即可．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是DC延长线上的一点，EB的延长线交⊙O于点F，AB=BD， ∠CBE=∠ABD=60°.
（1）求∠E的度数；
（2）求证：四边形AFEC 是平行四边形；
（3）设CF交BD 于点G，且 求 的值.
【答案】（1）解：∵AB=BD，∠ABD=60°，
∴△ABD 是等边三角形.
∴∠BAD=∠BDA=60°.
∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
又∵∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠BCE=∠BAD=60°.
∵∠CBE=60°，
（2）证明：∵∠ACD=∠ABD=60°，
∴∠ACD=∠E.
∴AC∥EF.
∵四边形AFBD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠AFB+∠ADB=180°.
∴∠AFB=120°.
∴∠AFB+∠E=180°.
∴AF∥CE.
∴四边形AFEC 是平行四边形.
（3）解：过点 C作 CH⊥BE，垂足为H，连接DF，设CD=a.
∵∠E=∠CBE=∠BCE=60°，
∴△BCE 是等边三角形.
∴BE=CE.
又∵∠CFB=∠CDB，∠E=∠E，
∴EF=ED.
∴△DEF 是等边三角形.
∴∠FDE=∠BCE=60°.
∴BC∥DF.
∴△BCG∽△DFG.
∵BC∥DF，
∴△BCE∽△FDE.
∴BE=2a，EF=3a.
∵四边形AFEC 是平行四边形，
∴AC=EF=3a.
∵△BCE 是等边三角形，CH⊥BE，
在 Rt△BCH中，
∵FH=BF+BH=2a，
∵△CFE≌△BDE，
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆与三角形的综合；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）先得到△ABD 是等边三角形，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到∠BCE=∠BAD=60°，然后根据三角形的内角和定理解答即可；
（2）根据同位角相等，两直线平行得到AC∥EF，然后根据圆内接四边形的性质求出∠AFB=120°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得到AF∥CE，即可得到结论；
（3）过点 作，垂足为 ，连接，设，根据等边三角形的性质，然后根据AAS得到△CFE≌△BDE，即可得到EF=ED，进而可得△DEF 是等边三角形，然后根据平行线可得△BCG∽△DFG，△BCE∽△FDE，根据对应边成比例设BE=2a，EF=3a，然后根据解直角三角形求出CF长解答即可.
25．已知抛物线
（1）若b=1，c=2，求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线上存在一点 P(x0，y0)在x轴上方，求证：抛物线与x轴有两个交点；
（3）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C(0，2)，直线y= bx+2与y=-bx-1相交于点 D，E是y轴上不与点C重合的点.若坐标平面内存在点M满足 MA=MB=MC=ME，试探究 CD和DE的数量关系，并证明.
【答案】（1）解：因为b=1，c=2，
所以
所以抛物线的顶点坐标为
（2）证明：因为抛物线上的点 P(x0，y0)在x轴上方，
所以
所以
所以
即方程 有两个不相等的实数根，
所以抛物线与x轴有两个交点.
（3）解：CD和DE的数量关系是 CD=DE，理由如下：
因为抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C(0，2)，
故可设A(x1，0)，B(x2，0)，x1>x2.
则x1，x2是方程 的两根，
由求根公式可得
又坐标平面内存在点 M 满足MA=MB=MC，
由对称性可设
由勾股定理可得
所以 解得
所以点M 的坐标为
因为直线y= bx+2与y=-bx-1相交于点 D，所以b≠0.
联立 解得
所以点 D 的坐标为
由 可知MD⊥CE，
又因为MC=ME，所以MD垂直平分CE，
所以CD=DE.
【知识点】公式法解一元二次方程；线段垂直平分线的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）根据题意得到，即可得到，
进而得得到一元二次方程根的判别式为，即可得到方程根的情况判断即可；
（3）设，，，根据对称性可设，解方程求出、的值，根据两点间距离公式可得，，利用求出点的坐标，在联立直线与求出点 的坐标，进而得，由可得垂直平分，进而得到结论即可．
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