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天津市2026年中考数学真题
1．计算5+(-2)的结果等于(　　)
A．– 7 B．7 C．– 3 D．3
2．下图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(　　)
A． B．
C． D．
3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
4．2026年5月28日，2026世界智能产业博览会在天津开幕，展览面积达130 000平方米，创历年之最.将数据130 000用科学记数法表示应为(　　)
A． B． C． D．
5．估计 的值在(　　)
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
6．若点A(x1，-2)， B(x2，4)， C(x3，8)都在反比例函数 的图象上，则x1， x2，x3的大小关系是(　　)
A． B． C． D．
7．的值等于(　　)
A． B．0 C． D．
8．《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何 ”意思是：现有几个人共同买羊，每人出5钱，少45钱；每人出7钱，少3钱.那么人数、羊价各是多少 若设人数为x，则可以列出的方程为(　　)
A．5x+45=7x+3 B．5x+3=7x+45 C．5x+45=7x-3 D．5x-45=7x+3
9． 计算 的结果等于(　　)
A．2a+2b B． C． D．
10． 如图， 在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=100°，BD是△ABC的角平分线. 按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两弧 (所在圆的半径相等)相交于点G；③作直线DG，与边BC相交于点H.则∠CDH的大小为(　　)
A．25° B．30° C．35° D．40°
11． 如图， 在△ABC中，AB=8， AC=6， 将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点C的对应点E落在边AB上，点B的对应点为D，连接CE并延长，与BD相交于点F，若BF=3，则△ABF 的面积为(　　)
A． B． C． D．
12． 矩形ABCD中，AB=5cm，AD=7cm.动点P从点A出发， 以1cm/s的速度沿边AD、边DC向终点C运动；动点Q从点A同时出发，以1cm/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动.设运动的时间为 ts.当t=3s时，点P，Q的位置如图所示.给出下面三个结论：
①当t=6s时，四边形APCQ是平行四边形；
② △APQ的最大面积为
③ 当△APQ的面积为10cm2时， 或t=10s.上述结论中，所有正确结论的序号是(　　)
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
13．不透明袋子中装有15个球，其中有2个红球、6个黄球、7个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为　 　.
14． 计算 的结果为　 　.
15． 计算 的结果为　 　.
16．将直线y=-x+b(b为常数)向上平移2个单位长度，若平移后的直线经过第二、第一、第四象限，则b的值可以是　 　(写出一个即可).
17． 如图， 在菱形ABCD中，BC=5，∠B=60°， 连接AC.
⑴ 线段AC 的长为　 　；
⑵点E在边AB上，点F在BC的延长线上，EF与AC相交于点G， H为CD的中点. 若AE=CF=1， 则线段GH 的长为　 　.
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上，点C在网格线上，以AC 为直径的半圆经过点B.
⑴线段AB的长为　 　；
⑵点M 在线段BC上，点N在线段AM 上，满足∠BNM =∠CNM =∠ACB. 请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的(不要求证明)　 　.
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答.
（1） 解不等式①， 得　 　；
（2） 解不等式②， 得　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　 　.
20．某校为强化学生低碳生活的环保理念，随机调查了该校a名学生周末绿色出行的次数，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为　 　，图①中m的值为　 　，统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的众数和中位数分别为　 　和　 　；
（2）求统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校共有1200名学生，估计该校学生周末绿色出行的次数是6的人数约为多少
21．已知点A，B在⊙O上，∠AOB=120°，点C在 上，点D在以A，B为端点的优弧上.
（1） 如图①， 当C为 的中点时，若DB=DC， 求∠OBC和∠OBD的大小；
（2）如图②， 当∠AOC=90°时， 过点D作⊙O的切线EF，且EF∥OB， CD与OB相交于点G，若⊙O的半径为3，求BD和DG的长.
22．综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑AB的高度(如图①).
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，BC∥DE，AB的延长线与水平线DE相交于点O.从地面C处沿步道CD(看作斜坡)前行，至平台DE， CD=22m； 在平台D处测得纪念碑顶部A的仰角(∠ODA)为42°， 斜坡CD的倾斜角 (∠ODC)为12°； 在平台E处测得纪念碑顶部A的仰角 (∠OEA)为35°，DE=9m.根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑AB的高度(结果取整数).
参考数据：
23． 已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家1km，体育公园离家2km.小杰从家出发，先匀速骑行了10min到体育公园，在体育公园停留了40 min，之后匀速骑行了5min到民俗文化馆，在民俗文化馆停留20min后，再匀速骑行了5min回到家.下面图中x表示时间，y表示离家的距离.图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息，回答下列问题：
（1） 填表：
小杰离开家的时间/ min 6 20 50 65
小杰离家的距离/km 　 　 2 　 　 　 　
（2）当50≤x≤80 时，请直接写出小杰离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（3）当小杰离开家40min时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了50min直接回到家.在50≤x≤80 的时段内，对于同一个x的值，小杰离家的距离为y1，小杰的爷爷离家的距离为y2，当 时，求x的值(直接写出结果即可).
24． 将一个四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上， 点A，C分别在第一、第四象限， 且关于x轴对称， OA=6，∠A=90°， ∠AOC=120°.
（1）填空：如图①，点B 的坐标为　 　，点C的坐标为　 　；
（2）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O'落在x轴的正半轴上.设OP=t.
① 如图②，若直线l分别与边AB，CB相交于点D，E，当折叠后重叠部分为五边形时，点A，C的对应点分别为A'，C'，A'O'与DB相交于点F， C'O'与EB相交于点G. 试用含有t的式子表示线段DF的长，并直接写出t的取值范围；
② 设折叠后重叠部分的面积为S，当2≤t≤8时，求S的取值范围(直接写出结果即可).
25． 已知抛物线(a，b，c为常数，a<0，c>0)的顶点为 P.
（1） 当a=-1， b=-2， c=3时， 求点P的坐标；
（2）点A(-c，0)和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点.
① 当 时，若∠PCA=90°， 求c的值；
② 若点B(m，0)，∠ACB=75°，D为线段BC的中点，点M在线段AC上(不与点A，C重合)，点N在线段AB上，且 当MN+ND取得最小值为5时，求c的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：3.
【分析】根据有理数的加法法则计算即可.
2．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：它的主视图是，
．
故答案为：B.
【分析】根据从正面看到的图形是主视图解答即可.
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A选项：汉字“奋”沿竖直中线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，是轴对称图形，故A选项符合题意；
B选项：汉字“楫”左右结构不同，不是轴对称图形，故B选项不符合题意；
C选项：汉字“争”笔画不对称，不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D选项：汉字“先”笔画不对称，不是轴对称图形，故D选项不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形”逐项判断即可．
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：
，即
不等式两边同时加1，得，即
因此的值在和之间．
故答案为：C.
【分析】先根据估算出的取值范围，根据不等式的性质解答即可．
6．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵把 A(x1，-2)， B(x2，4)， C(x3，8) 代入反比例函数解析式，
解得x1=-4，x2=2，x3=1，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】把三点坐标代入反比例函数解析式求出x1，x2，x3的值，比较大小即可．
7．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B.
【分析】代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可.
8．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设人数为，列方程为．
故答案为：A.
【分析】设人数为，根据“ 每人出5钱，少45钱；每人出7钱，少3钱 ”列方程即可.
9．【答案】D
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：D.
【分析】根据异分母分式的加法，先通分，然后分母不变，分子相加减计算，然后约分化简解答即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；尺规作图-垂线；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
由作图知，
∴，
∴．
故答案为：30°.
【分析】根据等边对等角可得，再根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角得到，再根据作图kede，根据角的和差解答即可．
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；旋转的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知：，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作，如图所示：
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据旋转可得，根据两边成比例且夹角相等得到，即可得到，然后根据两角相等得到，即可得道，过点作，根据勾股定理求出BH长，再根据三角形的面积公式计算即可．
12．【答案】D
【知识点】分段函数；平行四边形的判定；矩形的性质；二次函数-动态几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：①当时，如图2，
，，
∴，
∴，
∵矩形 ，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，①正确；
②当点在上，点在上，此时时，如图1，
，，
∴当时，的最大面积为；
当点在上，点在 上，此时时，如图3，
，，，
∴当时，的最大面积为；
当点在上，点在 上，此时时，如图4，
，，，，
∴
，
∵，当时，随的增大而减少，
∴不存在最大值，
综上，的最大面积为，②正确；
③当点在上，点在上，此时时，
又②可知：，，
由题意得，
∴（负值已舍）；
当点在上，点在 上，此时时，
由②可知：，
由题意得，
∴（不符合题意，舍去）；
当点在上，点在 上，此时时，
，
由题意得，
∴（不符合题意，舍去）或；
综上，当的面积为时，或，③正确．
故答案为：D.
【分析】根据运动过程把t=6代入得到点P和Q的位置，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断①；分，，三种情况画图，利用三角形面积公式列函数关系式，根据二次函数的性质得到最值判断②；③同②分三种情况，利用三角形面积的公式列方程求出t的值判断③解答即可．
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：所有可能的结果数为，取出红球的可能结果数为 ，则取出红球的概率为．
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可．
14．【答案】3x4y
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：
．
故答案为：3x4y.
【分析】根据单项式乘以单项式法则“系数和相同字母分别相乘，再把幂相乘”解答即可.
15．【答案】7
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：7．
【分析】根据平方差公式计算即可．
16．【答案】1 (答案不唯一)
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，将直线向上平移 个单位长度后，得到新直线的解析式为，
∵平移后的直线经过第一、二、四象限，
∴，，
解得，
的值可以取 ，符合题意（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】先得到平移后直线的解析式，再根据一次函数的图象经过的象限得到的取值范围，写出符合要求的值即可．
17．【答案】5；
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1） 菱形，
．
又，
是等边三角形，
．
故答案为：5.
（2）过点作，交于点， 过作于点，如图：
是等边三角形，
，
，
，，
是等边三角形，
．
，
，
又，
，
．
，
．
已知是中点，，
，
由菱形性质得，即．
在中，，
， ，
．
在中，由勾股定理： ，
（负值已舍去）．
故答案为：.
【分析】（1）根据菱形的性质得到，即可得到是等边三角形，求出的长解答即可．
（2）过点作，交于点， 过作于点，即可得到是等边三角形，再根据AAS得到，即可求出的长，在中，解直角三角形求出的长，再根据勾股定理求出的长即可．
18．【答案】；如图，取格点D，连接DC，与网格线相交于点E；连接AE，与BC相交于点M，与半圆相交于点F；连接BF，与网格线相交于点G；取BC与网格线的交点H，连接GH 并延长，与网格线相交于点I；连接CI并延长，与AM 相交于点N，则点M，N即为所求.
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆内接四边形的性质；四点共圆模型；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1）由网格的特点和勾股定理可得；
故答案为：；
（2）如图所示，连接，取格点P、Q，
可证明，得到，则点O为的中点，即点O为半圆的圆心，
同理可得点D为 的中点，点D为的中点，点G为的中点，点G为的中点，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴， ，
∴；
同理可证明四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴．
故答案为：取格点D，连接DC，与网格线相交于点E；连接AE，与BC相交于点M，与半圆相交于点F；连接BF，与网格线相交于点G；取BC与网格线的交点H，连接GH 并延长，与网格线相交于点I；连接CI并延长，与AM 相交于点N，则点M，N即为所求.
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）得到点O为的中点，点D为 、的中点，点G为、的中点，即可得到四边形是菱形，进而可得；然后得到是平行四边形，即可得到四边形是平行四边形，进而可得；根据圆内接四边形的性质得到，即可得到，进而得到，可得四点共圆，即可得到，即．
19．【答案】（1）x≥-3
（2）x≤2
（3）解：
（4）-3≤x≤2
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：，
移项，得，
合并，得；
故答案为：；
（2）解：，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得；
故答案为：；
（4）解：由数轴可知，不等式组的解集为．
故答案为：．
【分析】（1）利用移项，合并同类项解不等式即可；
（2）利用移项、合并同类项、系数化为1解不等式即可；
（3）在数轴上表示两个不等式的解集；
（4）根据数轴上表示的解集得到公共部分解答即可．
20．【答案】（1）50；30；5；5
（2）解：根据加权平均数公式： （人）
答：这组数据的平均数为．
（3）解：样本中绿色出行次数为6次的人数占比为，因此估计全校1200名学生中： （人）
答：估计该校周末绿色出行次数为6次的人数约为人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：因为出行3次共6人，占比，
所以，
因为百分比总和为，
所以，
因为出行次数为5次的人数最多（15人），因此众数是．
因为总共有50个数据，中位数为排序后第25、26个数据的平均数，排序后第25、26个数据都是5，因此中位数是．
故答案为：50；30；5；5；
【分析】（1）根据3次的人数除以占比求出 的值；再根据5次的人数除以考查人数乘以100%求出m的值，然后根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）利用加权平均数公式解答即可；
（3）根据样本中出行6次的人数占比乘以总人数1200解答即可．
21．【答案】（1）解：如图， 连接OC.
∵ C为 的中点，
又∠AOB=120°，
∴ ∠BOC =∠AOC =60°. 又OB=OC，
∴ △BOC为等边三角形. 得∠OBC =60°.
由 得∠BDC=30°.
∵ DB=DC，
∴ ∠DCB=∠DBC. 得
∴ ∠OBD=∠DBC-∠OBC=15°.
（2）解：如图， 连接OD.
∵ EF 与⊙O相切于点D，
∴ OD⊥EF. 即∠EDO=90°.
∵ EF∥OB，
∴ ∠BOD=∠EDO=90°. 又OB=OD=3，
∴ ∠ODB=∠OBD=45°.
在Rt△OBD中， 由 得
∵ ∠AOC=90°，
∴ ∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°. 得
∴ ∠ODG=∠ODB-∠BDC=30°.
在Rt△ODG中， 由 得
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1） 连接OC，根据等弧所对的圆心相等得到∠BOC =∠AOC =60°，即可得到 △BOC为等边三角形 ，即可求出∠BDC的度数，再根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠DBC的度数，然后根据角的和差解答即可；
（2） 连接OD，根据切线的性质得到∠EDO=90°，再根据平行线的性质的等边对等角得到∠ODB=∠OBD=45°，然后求出BD长，再根据角的和差求出∠ODG的度数，利用余弦的定义解答即可.
22．【答案】解：根据题意， 有∠AOE=90°.
在Rt△AOD中， 得
在Rt△AOE 中， 得
∵ EO-DO=DE， DE=9，
如图，过点C作CH⊥DE，垂足为H.
在Rt△CDH中，
∴ CH=CD·sin∠CDH=22×sin12°≈22×0.2=4.4.
∵ ∠CBO=∠BOH =∠OHC=90°，
∴ 四边形BCHO是矩形. 得BO=CH .
∴ AB=AO-BO≈28.35-4.4≈24.
答：引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】分别在和中，根据正切的定义求出DO和EO长，再根据DE长列方程求出求出，过点C作，垂足为H，在中根据正切的定义求出 ，然后根据线段的和差解答即可．
23．【答案】（1）1.2；2；1
（2）；
（3）解：52.5， 65， 77.5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：小杰骑行到体育公园的速度为，
∴当小杰离开家时，离家的距离为；
由图象得，当小杰离开家时，离家的距离为；
当小杰离开家时，离家的距离为；
故答案为：1.2；2；1；
（2）解：当时，小杰离家的距离与时间的满足一次函数关系，
设，
代入和得，，
解得，
∴；
当时，由图象得， ，
∴；
当时，小杰离家的距离与时间的满足一次函数关系，
设，
代入和得，，
解得，
∴；
综上，小杰离家的距离关于时间的函数解析式为；
故答案为：；
（3）解：当小杰的爷爷回到家时，小杰离开家时间为，
由题意得，与满足一次函数关系，设，
代入和得，，
解得，
∴；
当时，
∵，
∴，
解得；
当时，
∵，
∴，
解得；
当时，
∵，
∴，
解得；
综上，当时，的值为或或．
故答案为：或或．
【分析】（1）借助图象得到，先根据路程÷时间=速度求出小杰骑行到体育公园的速度，进而求出小杰时离家的距离；再根据图象得到50min和65min时的速度即可；
（2）分三种情况讨论：、、，利用待定系数法分别求出函数解析式即可；
（3）根据利用待定系数法求出，再分、、三种情况，令，求出的值解答即可．
24．【答案】（1）(12，0)；(3，-3)
（2）解：① 根据折叠可得△AOB≌△COB.
在Rt△AOB 中， ∠ABO=30°， OB=12，
由折叠知， A'O'=AO=6，O'P=OP=t，∠A'=∠A=90°，∠A'O'P=∠AOP=60°.
∴O'B=OB-OP-O'P=12-2t，∠O'FB=∠A'O'P-∠ABO=30°.
∴ ∠O'BF =∠O'FB.得O'F=O'B=12-2t.
∴A'F=A'O'-O'F=6-(12-2t)=2t-6.
由∠A'FD=∠O'FB，得∠A'FD=30°.
在Rt△A'DF 中， 得
其中t的取值范围是3【知识点】轴对称的性质；二次函数-动态几何问题；几何图形的面积计算-割补法；二次函数y=ax²+bx+c的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）连接交 轴于点，
∵，，．
∴由对称可得，，，
∴，，，
∴，，
∵点A，C关于x轴对称，
∴；
故答案为：(12，0)；(3，-3)；
（2）②当时，如图，记直线 与交于点，重叠部分为，
此时，
在中，，
∴由对称可得，，，
∴，
∵，对称轴为直线
∴当时，随着的增大而增大
∴时，；时，，
∴时，；
当，重叠部分为五边形，延长交直线于点，
在中，，
∴
∴，
∵
∴
∴，
∴，
在中，
∴
∴
∴，
即
∵，，对称轴为直线，
∴当时，取得最大值为，
当时，可求；当时，可求，
∴当时，；
当时，重叠部分为，
此时，
在中，，
∴，
∴由对称可得，，
∴，
即，
∵，对称轴为直线，
∴当时，随着的增大而减小，
∴当时，可求；时，可求，
∴当时，
综上：．
故答案为：．
【分析】（1）连接交 轴于点，根据对称得到∠AOB=∠COB=60°，然后解直角三角形求出OR，AR，OB长，即可得到点B和C的坐标；
（2）①根据30° 的直角三角形的性质和折叠的性质得到 A'O'=AO=6，O'P=OP=t，即可得到O'F=O'B=12-2t，进而得到，然后在中根据余弦的定义求出DF长，解答即可；
②分，，三种情况分别画出图形，根据重叠部分的形状利用三角形的面积公式和割补法求出函数关系式，再利用二次函数的增减性求出的取值范围即可．
25．【答案】（1）解：∵ a=-1， b=-2， c=3，
∴ 该抛物线的解析式为
∴ 该抛物线顶点 P 的坐标为(-1，4).
（2）解：① 由 得
∴ 该抛物线顶点 P 的坐标为
∵ 点A(-c，0)，点C(0， c)，
∴ OA=OC.得∠ACO=45°.
根据题意，点P在第二象限，过点P作PH⊥y轴于点E.有∠PCH=45°.
∴ PH=CH.有 解得 (舍).
∵ 点A(-c，0)在抛物线 上，
又c>0，
得c=2-2b.
∴ c=6.
②∵点，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为线段 的中点，，
作轴于点 ，则是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，
∴四边形是平行四边形，
∴，
过点作，且，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当共线时，有最小值，即有最小值，
∵，，，且取得最小值为，
∴，即，
解得，
∴的值为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）把二次函数配方为顶点式求出顶点坐标即可；
（2）①配方为顶点式求出点P的坐标，求出点A和C的坐标，得到∠ACO=45°，即可得到PH=CH，进而列方程求出b的值，再把A(-c，0)代入求出c的值即可；
②求出∠OCB=30°，∠OBC=60°，即可根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BC和OC长，即可得到，作轴于点 ，即可得到是等腰直角三角形，进而可得四边形是平行四边形，再过点作，且，证明△NBF≌△ECB，即可得到，进而可得共线时，有最小值，即有最小值为5，然后根据勾股定理求出c的值解答即可.
1 / 1天津市2026年中考数学真题
1．计算5+(-2)的结果等于(　　)
A．– 7 B．7 C．– 3 D．3
【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：3.
【分析】根据有理数的加法法则计算即可.
2．下图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：它的主视图是，
．
故答案为：B.
【分析】根据从正面看到的图形是主视图解答即可.
3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A选项：汉字“奋”沿竖直中线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，是轴对称图形，故A选项符合题意；
B选项：汉字“楫”左右结构不同，不是轴对称图形，故B选项不符合题意；
C选项：汉字“争”笔画不对称，不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D选项：汉字“先”笔画不对称，不是轴对称图形，故D选项不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形”逐项判断即可．
4．2026年5月28日，2026世界智能产业博览会在天津开幕，展览面积达130 000平方米，创历年之最.将数据130 000用科学记数法表示应为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
5．估计 的值在(　　)
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：
，即
不等式两边同时加1，得，即
因此的值在和之间．
故答案为：C.
【分析】先根据估算出的取值范围，根据不等式的性质解答即可．
6．若点A(x1，-2)， B(x2，4)， C(x3，8)都在反比例函数 的图象上，则x1， x2，x3的大小关系是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵把 A(x1，-2)， B(x2，4)， C(x3，8) 代入反比例函数解析式，
解得x1=-4，x2=2，x3=1，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】把三点坐标代入反比例函数解析式求出x1，x2，x3的值，比较大小即可．
7．的值等于(　　)
A． B．0 C． D．
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B.
【分析】代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可.
8．《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何 ”意思是：现有几个人共同买羊，每人出5钱，少45钱；每人出7钱，少3钱.那么人数、羊价各是多少 若设人数为x，则可以列出的方程为(　　)
A．5x+45=7x+3 B．5x+3=7x+45 C．5x+45=7x-3 D．5x-45=7x+3
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设人数为，列方程为．
故答案为：A.
【分析】设人数为，根据“ 每人出5钱，少45钱；每人出7钱，少3钱 ”列方程即可.
9． 计算 的结果等于(　　)
A．2a+2b B． C． D．
【答案】D
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：D.
【分析】根据异分母分式的加法，先通分，然后分母不变，分子相加减计算，然后约分化简解答即可.
10． 如图， 在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=100°，BD是△ABC的角平分线. 按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两弧 (所在圆的半径相等)相交于点G；③作直线DG，与边BC相交于点H.则∠CDH的大小为(　　)
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；尺规作图-垂线；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
由作图知，
∴，
∴．
故答案为：30°.
【分析】根据等边对等角可得，再根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角得到，再根据作图kede，根据角的和差解答即可．
11． 如图， 在△ABC中，AB=8， AC=6， 将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点C的对应点E落在边AB上，点B的对应点为D，连接CE并延长，与BD相交于点F，若BF=3，则△ABF 的面积为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；旋转的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知：，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作，如图所示：
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据旋转可得，根据两边成比例且夹角相等得到，即可得到，然后根据两角相等得到，即可得道，过点作，根据勾股定理求出BH长，再根据三角形的面积公式计算即可．
12． 矩形ABCD中，AB=5cm，AD=7cm.动点P从点A出发， 以1cm/s的速度沿边AD、边DC向终点C运动；动点Q从点A同时出发，以1cm/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动.设运动的时间为 ts.当t=3s时，点P，Q的位置如图所示.给出下面三个结论：
①当t=6s时，四边形APCQ是平行四边形；
② △APQ的最大面积为
③ 当△APQ的面积为10cm2时， 或t=10s.上述结论中，所有正确结论的序号是(　　)
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】分段函数；平行四边形的判定；矩形的性质；二次函数-动态几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：①当时，如图2，
，，
∴，
∴，
∵矩形 ，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，①正确；
②当点在上，点在上，此时时，如图1，
，，
∴当时，的最大面积为；
当点在上，点在 上，此时时，如图3，
，，，
∴当时，的最大面积为；
当点在上，点在 上，此时时，如图4，
，，，，
∴
，
∵，当时，随的增大而减少，
∴不存在最大值，
综上，的最大面积为，②正确；
③当点在上，点在上，此时时，
又②可知：，，
由题意得，
∴（负值已舍）；
当点在上，点在 上，此时时，
由②可知：，
由题意得，
∴（不符合题意，舍去）；
当点在上，点在 上，此时时，
，
由题意得，
∴（不符合题意，舍去）或；
综上，当的面积为时，或，③正确．
故答案为：D.
【分析】根据运动过程把t=6代入得到点P和Q的位置，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断①；分，，三种情况画图，利用三角形面积公式列函数关系式，根据二次函数的性质得到最值判断②；③同②分三种情况，利用三角形面积的公式列方程求出t的值判断③解答即可．
13．不透明袋子中装有15个球，其中有2个红球、6个黄球、7个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：所有可能的结果数为，取出红球的可能结果数为 ，则取出红球的概率为．
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可．
14． 计算 的结果为　 　.
【答案】3x4y
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：
．
故答案为：3x4y.
【分析】根据单项式乘以单项式法则“系数和相同字母分别相乘，再把幂相乘”解答即可.
15． 计算 的结果为　 　.
【答案】7
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：7．
【分析】根据平方差公式计算即可．
16．将直线y=-x+b(b为常数)向上平移2个单位长度，若平移后的直线经过第二、第一、第四象限，则b的值可以是　 　(写出一个即可).
【答案】1 (答案不唯一)
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，将直线向上平移 个单位长度后，得到新直线的解析式为，
∵平移后的直线经过第一、二、四象限，
∴，，
解得，
的值可以取 ，符合题意（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】先得到平移后直线的解析式，再根据一次函数的图象经过的象限得到的取值范围，写出符合要求的值即可．
17． 如图， 在菱形ABCD中，BC=5，∠B=60°， 连接AC.
⑴ 线段AC 的长为　 　；
⑵点E在边AB上，点F在BC的延长线上，EF与AC相交于点G， H为CD的中点. 若AE=CF=1， 则线段GH 的长为　 　.
【答案】5；
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1） 菱形，
．
又，
是等边三角形，
．
故答案为：5.
（2）过点作，交于点， 过作于点，如图：
是等边三角形，
，
，
，，
是等边三角形，
．
，
，
又，
，
．
，
．
已知是中点，，
，
由菱形性质得，即．
在中，，
， ，
．
在中，由勾股定理： ，
（负值已舍去）．
故答案为：.
【分析】（1）根据菱形的性质得到，即可得到是等边三角形，求出的长解答即可．
（2）过点作，交于点， 过作于点，即可得到是等边三角形，再根据AAS得到，即可求出的长，在中，解直角三角形求出的长，再根据勾股定理求出的长即可．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上，点C在网格线上，以AC 为直径的半圆经过点B.
⑴线段AB的长为　 　；
⑵点M 在线段BC上，点N在线段AM 上，满足∠BNM =∠CNM =∠ACB. 请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的(不要求证明)　 　.
【答案】；如图，取格点D，连接DC，与网格线相交于点E；连接AE，与BC相交于点M，与半圆相交于点F；连接BF，与网格线相交于点G；取BC与网格线的交点H，连接GH 并延长，与网格线相交于点I；连接CI并延长，与AM 相交于点N，则点M，N即为所求.
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆内接四边形的性质；四点共圆模型；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1）由网格的特点和勾股定理可得；
故答案为：；
（2）如图所示，连接，取格点P、Q，
可证明，得到，则点O为的中点，即点O为半圆的圆心，
同理可得点D为 的中点，点D为的中点，点G为的中点，点G为的中点，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴， ，
∴；
同理可证明四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴．
故答案为：取格点D，连接DC，与网格线相交于点E；连接AE，与BC相交于点M，与半圆相交于点F；连接BF，与网格线相交于点G；取BC与网格线的交点H，连接GH 并延长，与网格线相交于点I；连接CI并延长，与AM 相交于点N，则点M，N即为所求.
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）得到点O为的中点，点D为 、的中点，点G为、的中点，即可得到四边形是菱形，进而可得；然后得到是平行四边形，即可得到四边形是平行四边形，进而可得；根据圆内接四边形的性质得到，即可得到，进而得到，可得四点共圆，即可得到，即．
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答.
（1） 解不等式①， 得　 　；
（2） 解不等式②， 得　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　 　.
【答案】（1）x≥-3
（2）x≤2
（3）解：
（4）-3≤x≤2
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：，
移项，得，
合并，得；
故答案为：；
（2）解：，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得；
故答案为：；
（4）解：由数轴可知，不等式组的解集为．
故答案为：．
【分析】（1）利用移项，合并同类项解不等式即可；
（2）利用移项、合并同类项、系数化为1解不等式即可；
（3）在数轴上表示两个不等式的解集；
（4）根据数轴上表示的解集得到公共部分解答即可．
20．某校为强化学生低碳生活的环保理念，随机调查了该校a名学生周末绿色出行的次数，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为　 　，图①中m的值为　 　，统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的众数和中位数分别为　 　和　 　；
（2）求统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校共有1200名学生，估计该校学生周末绿色出行的次数是6的人数约为多少
【答案】（1）50；30；5；5
（2）解：根据加权平均数公式： （人）
答：这组数据的平均数为．
（3）解：样本中绿色出行次数为6次的人数占比为，因此估计全校1200名学生中： （人）
答：估计该校周末绿色出行次数为6次的人数约为人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：因为出行3次共6人，占比，
所以，
因为百分比总和为，
所以，
因为出行次数为5次的人数最多（15人），因此众数是．
因为总共有50个数据，中位数为排序后第25、26个数据的平均数，排序后第25、26个数据都是5，因此中位数是．
故答案为：50；30；5；5；
【分析】（1）根据3次的人数除以占比求出 的值；再根据5次的人数除以考查人数乘以100%求出m的值，然后根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）利用加权平均数公式解答即可；
（3）根据样本中出行6次的人数占比乘以总人数1200解答即可．
21．已知点A，B在⊙O上，∠AOB=120°，点C在 上，点D在以A，B为端点的优弧上.
（1） 如图①， 当C为 的中点时，若DB=DC， 求∠OBC和∠OBD的大小；
（2）如图②， 当∠AOC=90°时， 过点D作⊙O的切线EF，且EF∥OB， CD与OB相交于点G，若⊙O的半径为3，求BD和DG的长.
【答案】（1）解：如图， 连接OC.
∵ C为 的中点，
又∠AOB=120°，
∴ ∠BOC =∠AOC =60°. 又OB=OC，
∴ △BOC为等边三角形. 得∠OBC =60°.
由 得∠BDC=30°.
∵ DB=DC，
∴ ∠DCB=∠DBC. 得
∴ ∠OBD=∠DBC-∠OBC=15°.
（2）解：如图， 连接OD.
∵ EF 与⊙O相切于点D，
∴ OD⊥EF. 即∠EDO=90°.
∵ EF∥OB，
∴ ∠BOD=∠EDO=90°. 又OB=OD=3，
∴ ∠ODB=∠OBD=45°.
在Rt△OBD中， 由 得
∵ ∠AOC=90°，
∴ ∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°. 得
∴ ∠ODG=∠ODB-∠BDC=30°.
在Rt△ODG中， 由 得
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1） 连接OC，根据等弧所对的圆心相等得到∠BOC =∠AOC =60°，即可得到 △BOC为等边三角形 ，即可求出∠BDC的度数，再根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠DBC的度数，然后根据角的和差解答即可；
（2） 连接OD，根据切线的性质得到∠EDO=90°，再根据平行线的性质的等边对等角得到∠ODB=∠OBD=45°，然后求出BD长，再根据角的和差求出∠ODG的度数，利用余弦的定义解答即可.
22．综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑AB的高度(如图①).
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，BC∥DE，AB的延长线与水平线DE相交于点O.从地面C处沿步道CD(看作斜坡)前行，至平台DE， CD=22m； 在平台D处测得纪念碑顶部A的仰角(∠ODA)为42°， 斜坡CD的倾斜角 (∠ODC)为12°； 在平台E处测得纪念碑顶部A的仰角 (∠OEA)为35°，DE=9m.根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑AB的高度(结果取整数).
参考数据：
【答案】解：根据题意， 有∠AOE=90°.
在Rt△AOD中， 得
在Rt△AOE 中， 得
∵ EO-DO=DE， DE=9，
如图，过点C作CH⊥DE，垂足为H.
在Rt△CDH中，
∴ CH=CD·sin∠CDH=22×sin12°≈22×0.2=4.4.
∵ ∠CBO=∠BOH =∠OHC=90°，
∴ 四边形BCHO是矩形. 得BO=CH .
∴ AB=AO-BO≈28.35-4.4≈24.
答：引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】分别在和中，根据正切的定义求出DO和EO长，再根据DE长列方程求出求出，过点C作，垂足为H，在中根据正切的定义求出 ，然后根据线段的和差解答即可．
23． 已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家1km，体育公园离家2km.小杰从家出发，先匀速骑行了10min到体育公园，在体育公园停留了40 min，之后匀速骑行了5min到民俗文化馆，在民俗文化馆停留20min后，再匀速骑行了5min回到家.下面图中x表示时间，y表示离家的距离.图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息，回答下列问题：
（1） 填表：
小杰离开家的时间/ min 6 20 50 65
小杰离家的距离/km 　 　 2 　 　 　 　
（2）当50≤x≤80 时，请直接写出小杰离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（3）当小杰离开家40min时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了50min直接回到家.在50≤x≤80 的时段内，对于同一个x的值，小杰离家的距离为y1，小杰的爷爷离家的距离为y2，当 时，求x的值(直接写出结果即可).
【答案】（1）1.2；2；1
（2）；
（3）解：52.5， 65， 77.5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：小杰骑行到体育公园的速度为，
∴当小杰离开家时，离家的距离为；
由图象得，当小杰离开家时，离家的距离为；
当小杰离开家时，离家的距离为；
故答案为：1.2；2；1；
（2）解：当时，小杰离家的距离与时间的满足一次函数关系，
设，
代入和得，，
解得，
∴；
当时，由图象得， ，
∴；
当时，小杰离家的距离与时间的满足一次函数关系，
设，
代入和得，，
解得，
∴；
综上，小杰离家的距离关于时间的函数解析式为；
故答案为：；
（3）解：当小杰的爷爷回到家时，小杰离开家时间为，
由题意得，与满足一次函数关系，设，
代入和得，，
解得，
∴；
当时，
∵，
∴，
解得；
当时，
∵，
∴，
解得；
当时，
∵，
∴，
解得；
综上，当时，的值为或或．
故答案为：或或．
【分析】（1）借助图象得到，先根据路程÷时间=速度求出小杰骑行到体育公园的速度，进而求出小杰时离家的距离；再根据图象得到50min和65min时的速度即可；
（2）分三种情况讨论：、、，利用待定系数法分别求出函数解析式即可；
（3）根据利用待定系数法求出，再分、、三种情况，令，求出的值解答即可．
24． 将一个四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上， 点A，C分别在第一、第四象限， 且关于x轴对称， OA=6，∠A=90°， ∠AOC=120°.
（1）填空：如图①，点B 的坐标为　 　，点C的坐标为　 　；
（2）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O'落在x轴的正半轴上.设OP=t.
① 如图②，若直线l分别与边AB，CB相交于点D，E，当折叠后重叠部分为五边形时，点A，C的对应点分别为A'，C'，A'O'与DB相交于点F， C'O'与EB相交于点G. 试用含有t的式子表示线段DF的长，并直接写出t的取值范围；
② 设折叠后重叠部分的面积为S，当2≤t≤8时，求S的取值范围(直接写出结果即可).
【答案】（1）(12，0)；(3，-3)
（2）解：① 根据折叠可得△AOB≌△COB.
在Rt△AOB 中， ∠ABO=30°， OB=12，
由折叠知， A'O'=AO=6，O'P=OP=t，∠A'=∠A=90°，∠A'O'P=∠AOP=60°.
∴O'B=OB-OP-O'P=12-2t，∠O'FB=∠A'O'P-∠ABO=30°.
∴ ∠O'BF =∠O'FB.得O'F=O'B=12-2t.
∴A'F=A'O'-O'F=6-(12-2t)=2t-6.
由∠A'FD=∠O'FB，得∠A'FD=30°.
在Rt△A'DF 中， 得
其中t的取值范围是3【知识点】轴对称的性质；二次函数-动态几何问题；几何图形的面积计算-割补法；二次函数y=ax²+bx+c的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）连接交 轴于点，
∵，，．
∴由对称可得，，，
∴，，，
∴，，
∵点A，C关于x轴对称，
∴；
故答案为：(12，0)；(3，-3)；
（2）②当时，如图，记直线 与交于点，重叠部分为，
此时，
在中，，
∴由对称可得，，，
∴，
∵，对称轴为直线
∴当时，随着的增大而增大
∴时，；时，，
∴时，；
当，重叠部分为五边形，延长交直线于点，
在中，，
∴
∴，
∵
∴
∴，
∴，
在中，
∴
∴
∴，
即
∵，，对称轴为直线，
∴当时，取得最大值为，
当时，可求；当时，可求，
∴当时，；
当时，重叠部分为，
此时，
在中，，
∴，
∴由对称可得，，
∴，
即，
∵，对称轴为直线，
∴当时，随着的增大而减小，
∴当时，可求；时，可求，
∴当时，
综上：．
故答案为：．
【分析】（1）连接交 轴于点，根据对称得到∠AOB=∠COB=60°，然后解直角三角形求出OR，AR，OB长，即可得到点B和C的坐标；
（2）①根据30° 的直角三角形的性质和折叠的性质得到 A'O'=AO=6，O'P=OP=t，即可得到O'F=O'B=12-2t，进而得到，然后在中根据余弦的定义求出DF长，解答即可；
②分，，三种情况分别画出图形，根据重叠部分的形状利用三角形的面积公式和割补法求出函数关系式，再利用二次函数的增减性求出的取值范围即可．
25． 已知抛物线(a，b，c为常数，a<0，c>0)的顶点为 P.
（1） 当a=-1， b=-2， c=3时， 求点P的坐标；
（2）点A(-c，0)和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点.
① 当 时，若∠PCA=90°， 求c的值；
② 若点B(m，0)，∠ACB=75°，D为线段BC的中点，点M在线段AC上(不与点A，C重合)，点N在线段AB上，且 当MN+ND取得最小值为5时，求c的值.
【答案】（1）解：∵ a=-1， b=-2， c=3，
∴ 该抛物线的解析式为
∴ 该抛物线顶点 P 的坐标为(-1，4).
（2）解：① 由 得
∴ 该抛物线顶点 P 的坐标为
∵ 点A(-c，0)，点C(0， c)，
∴ OA=OC.得∠ACO=45°.
根据题意，点P在第二象限，过点P作PH⊥y轴于点E.有∠PCH=45°.
∴ PH=CH.有 解得 (舍).
∵ 点A(-c，0)在抛物线 上，
又c>0，
得c=2-2b.
∴ c=6.
②∵点，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为线段 的中点，，
作轴于点 ，则是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，
∴四边形是平行四边形，
∴，
过点作，且，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当共线时，有最小值，即有最小值，
∵，，，且取得最小值为，
∴，即，
解得，
∴的值为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）把二次函数配方为顶点式求出顶点坐标即可；
（2）①配方为顶点式求出点P的坐标，求出点A和C的坐标，得到∠ACO=45°，即可得到PH=CH，进而列方程求出b的值，再把A(-c，0)代入求出c的值即可；
②求出∠OCB=30°，∠OBC=60°，即可根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BC和OC长，即可得到，作轴于点 ，即可得到是等腰直角三角形，进而可得四边形是平行四边形，再过点作，且，证明△NBF≌△ECB，即可得到，进而可得共线时，有最小值，即有最小值为5，然后根据勾股定理求出c的值解答即可.
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