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四川省乐山市2026年中考数学真题
1．下面几何体中，是球体的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各数是不等式x-1＞0的解的是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．- 1
3．2025年，我国人工智能核心产业规模突破1.2万亿元.数据1 200 000 000 000用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×109 B． C． D．
4． 如图， 两条平行线a、b被第三条直线c所截. 若∠l＝40'， 则∠2＝（　　）
A．20° B．40° C．50° D．140°
5．一个布装甲放着3个红球和2个白球，这两种球除了膈色以外没有任何其他区别.从布装中任取1个球，取出红球的糖率是（　　）
A． B． C． D．
6．若实数a、b满足 则 ab的值是（　　）
A．1 B．-1 C．6 D．-6
7． 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连结DE、EF、DF，若S△DEF＝1、则S△ABC ＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件后，不能定四边形ABCD是要形的是（　　）
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC
9．若a、b均不为0，将下列分式中的a和b都变为原来的2倍，分式值保持不变的是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知二次函数. 有下列结论：
①二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，c）
②二次函数的顶点坐标是（，c－）
③若二次函数图象经过A（-1，y1）， B（3，y2） ī两点，且. 则b＞-2
④当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则m-n的值与c无关.
其中，正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．－3的相反数是　 　.
12．　 　.
13． 一组数据3、7、9， 12， 15的中位数是　 　.
14．已知方程 的两个根是x1和x2，则：x1x2=　 　。
15． 如图， 在Rt△ABC 中， ∠ABC＝90°、BC＝6、AB＝8，点D为斜边AC的中点，则BD＝　 　.
16．传说古希腊毕达母拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图，第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1， 4， 9， 16称为四边形数， 第三行的1， 5， 12， 22称为五边形数.
（1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有　 　（填番号）：
①1 ②25 ③36
（2） 我们将k边形数中第n个数记为N（n，k）（k≥3）.已知N（n，3） 则N（n，5）＝　 　. （用含有n的代数式表示）
17．计算：
18．解方程组：
19．化简：
20．如图， 已知AC＝AD， ∠CAB＝∠DAB. 求证：BC＝BD.
21．某校开展“典藉里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择；A. 《论语》，B. 《史记》，C. 《天工开物》、D. 《九章算术》.刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表。如图所示.
课程 内容 人数
A 《论语》 21
B 《史记》 9
C 《天工开物》 12
D 《九章算术》 m
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有　 　人，表中m的值为　 　：
（2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报履示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率.
22．如图，一次函数y＝-x+1的图象与反比例函数 的图象交于 P（-1，a）、Q（b，-1）两点， 连结OP、OQ.
（1）求a、b的值和反比例函数的表达式；
（2） 求△POQ的面积.
23．如图，AB为⊙O的直径，点C为圈上一点，点D在BA延长线上，连结CD，且∠ACD＝∠B.
（1） 求证：CD为⊙O的切线；
（2） 若 ，⊙O 的半径为3，求AD的长.
24． 在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法.
（1）【感知密铺】
同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面.
正多边形的边数 3 4 5 6 …
正多边形的内角和 180° 360° 540° …
正多边形每个内角的大小 60° 90° 108° a …
上表中a＝　 　，正六边形　 　（填“能”或“不能”）铺满地面.
（2）【探导密铺】
同学们通过动手操作，探导到了实现密铺的路径.
上图中，②号三角形可看成①号三角形通过　 　（填“平移”或“旋转”）得到：
③号三角形可看成①号三角形通过　 　（填“平移”或“旋转”）得到.
（3）【创作密铺】
最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形ABCD形状大小相同的四边形实现平面密铺，并在下面方格纸中画出点A位置的密铺设计图。
25．如图，在矩形ABCD中， 点P在线段CD上（点P不与点 D 重合）.连结AP，将△ADP 组AP翻折得到△AD’ P 、点D的对应点为D’.
（1）求AD'的长度；
（2）求证，当DP＝1时，四边形AD'PD为正方形；
（3）着点Q在线段AB上，且 连结CQ、将△BCQ组CQ翻折得到△B'CQ、点B的对应点为B'设点B'与点D'之间的距高为d，求d的取值藏围.
26．已知抛物线C： 交x轴于A、B两点（点A在点 B的左侧），顶点为点P，
（1）求A、B两点的坐标：
（2）直线l；y＝kx+b（k≠0）与抛物线C交于D，E两点.
①若A、B两点到直线l则离相等，则直线l过定点，请求出这个定点，并说明理由：
②若 试同直线l是否过定点 若过定点，请求出定点坐标：若不过定点，请说明理由。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：A、是柱体，不符合题意；
B、是锥体，不符合题意；
C、是球体，符合题意；
D、是锥体，不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据几何体的特征解答即可.
2．【答案】A
【知识点】利用不等式的性质解简单不等式
【解析】【解答】解：
不等式两边同时+1可得，
∴四个选项中只有A选项中的数是原不等式的解．
故答案为：A.
【分析】利用不等式的性质解不等式求出解集，然后逐项判断解答即可.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意可知，故 ．
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，内错角相等解答即可.
5．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： 布袋中球的总个数为 ，红球个数为，
从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 ．
故答案为：A.
【分析】根据概率公式计算即可．
6．【答案】D
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解： ， ，且 ，
， ，
解得： ，，
．
故答案为：D.
【分析】利用算术平方根和偶次方的非负性，求出a，b的值，然后代入计算即可．
7．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：点 、 分别是、 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴，
同理可证，，
∴，
由 ，
∴ ．
【分析】先根据三角形的中位线定理得到，根据面积比等于相似比的平方得到，同理得到，进而求出△ABC的面积即可．
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意；
B、，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到平行四边形为菱形，不符合题意；
C、 ，根据对角线相等的平行四边形可以得到矩形，但不是菱形，符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴，
∴平行四边形是菱形，不符合题意；
综上，故选C．
【分析】根据平行四边形的判定方法解答即可.
9．【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：将各选项中换为， 换为 ，依次化简判断：
选项A：，
替换后和原分式相等，分式值不变，符合题意；
选项B：替换后得，分式值改变，不符合题意；
选项C：替换后得，分式值改变，不符合题意；
选项D：替换后得，分式值改变，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】将替换为原来的2倍，化简后与原分式对比解答即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：对①：令，得 ，∴二次函数图象与 轴交点坐标是，①正确．
对②：对函数配方得，
∴顶点坐标为，结论中横坐标错误，②错误．
对③：代入 坐标得 ， ，∵，
∴ ，化简得 ，结论错误，③错误．
对④：二次函数开口向上，对称轴为，对区间 分情况讨论：
若 ，即 ，二次函数 随 的增大而增大， ，不含 ；
若 ，即 ，二次函数 随 的增大而减小，
，不含 ；
若 ，即 ，最小值为顶点纵坐标，最大值在离对称轴更远的端点，计算得 仍消去 ，不含 ；
因此 的值与 无关，④正确．
综上，正确结论共个．
故答案为：B.
【分析】令x=0，求出y的值得到与y轴的交点坐标判断①；配方为顶点式得到顶点坐标判断②；把点A和B 的坐标代入求出函数值，根据得到不等式，求出b的取值范围即可判断③；根据对称轴，，三种情况，根据二次函数图象的性质求出1≤x≤2时的最大值和最小值，然后求出m-n的值即可判断④ 解答即可．
11．【答案】3
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：因为-3与3只有符号不同，
所以-3的相反数是3．
故答案为：3．
【分析】只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，根据定义即可得出答案。
12．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： .
故答案为：.
【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可．
13．【答案】9
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为， ， ，，，这组数据共有 个数，个数为奇数，处在最中间的数是 ，因此这组数据的中位数是 ．
故答案为：9.
【分析】根据中位数的定义“将数据从小到大排列后，中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解答即可．
14．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程 的两个根是和，
∴ ．
故答案为：3.
【分析】对于一元二次方程 ，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案．
15．【答案】5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据题意，得 ，
由点为斜边的中点，
．
故答案为：5.
【分析】根据勾股定理求出AC长 ，再利用直角三角形斜边上中线的性质解答即可.
16．【答案】（1）①③
（2）3n2-n
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】（1）解：1既是三角形数又是四边形数，25，36都是四边形数，
根据题意，得 ，整理，得， ，
解得，
故n不是正整数，故25不是三角形数；
根据题意，得 ，整理，得， ，
解得， （边数不能为负，舍去）
故，故36是三角形数．
（2）解： ，都是n的二次函数，
也可能是n的二次函数，
不妨设 ，
根据题意，得，
解得，
故．
【分析】（1）根据定义，把数值代入，解方程逐项判断即可；
（2）设 ，利用待定系数法求出关系式即可．
17．【答案】解：原式＝2+2 ＝4.
【知识点】求有理数的绝对值的方法；求算术平方根
【解析】【分析】先运算绝对值，算术平方根，然后运算假发解答即可.
18．【答案】解： ①-②，得x＝4.
把x＝4代入②，得y＝-3，
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先根据①-②消去未知数y，求出x的值，再把x的值代入②解方程组即可.
19．【答案】解：原式：
＝-9.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先运算平方差公式，然后合并同类项即可.
20．【答案】证明：在△ABC和△ABD中，
∵AC＝AD， ∠CAB ＝∠DAB， AB ＝AB，
∴ △ABC≌△ABD.
∴BC＝BD.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据SAS得到△ABC≌△ABD，根据对应边相等解答即可.
21．【答案】（1）60；18
（2）解法一：由题可画树状图；
∴P （恰好选到课程A和课程
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得学生一共有 （人），
故表中 的值为 ．
故答案为：60；18；
【分析】（1）根据C课程人数除以占比求出样本容量，然后运用样本数量减去娶她课程人数求出m的值即可；
（2）利用树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可.
22．【答案】（1）∵一次函数y＝-x+1的图象经过点P （-1， a）、Q （b， -1），
∴ - （-1）+1＝a， - b+1＝-1.
解得a＝2， b＝2
∵反比例函数 的图象经过点P（-1，2），
∴m＝ - 2.
∵反比例函数的表达式为
（2）如图，设一次函数y＝-x+1 与x轴相交于点A. 令y＝0， 则x＝1， 即： A（1， 0）.
又∵P（-1，2）， Q（2， - 1）
∴OA＝1.
注：本题也可由 或者 得出结果
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将P，Q的坐标代入一次函数解析式求出 、 的值，然后把点P的坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可；
（2）设一次函数 与 轴相交于点 ，求出A点坐标，然后根据解答即可．
23．【答案】（1）证明： （1） 连结OC， 可得∠B＝∠BCO.
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝∠BCO.
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACO+∠BCO＝90°.
∴∠ACD +∠ACO＝90°.即∠OCD＝90°
又∵点C在⊙O 上，
∴CD 为⊙O 的切线
（2）解：由（1）得，
， 的半径为，
，即，
∴ ，
，
．
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得 ，即可得到 ，由直径所对的圆周角是直角得到 ，进而可得 ，证明结论即可；
（2）根据正切的定义求出 ，再根据勾股定理得到，利用线段的和差解答即可．
24．【答案】（1）120°；能
（2）平移；旋转
（3）解：点 位置的密铺设计图如图：

【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；多边形的内角和公式；利用轴对称、旋转、平移设计图案
【解析】【解答】（1）解：正六边形的内角和，则正六边形每个内角的大小 ，
∵ ，即三个正六边形内角恰好组成一个周角，
∴正六边形能铺满地面．
故答案为：120°；能；
（2）解：②号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线平行，则②号三角形可看成①号三角形通过平移得到；
③号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线不平行，则③号三角形可看成①号三角形通过旋转得到；
故答案为：平移；旋转；
【分析】（1）根据正六边形的内角和定理求出内角度数即可，再根据三个正六边形内角恰好组成一个周角解答即可．
（2）根据平移、旋转的特征解答即可；
（3）先画和为公共边的四边形，然后画出第四个四边形即可．
25．【答案】（1）解： 沿AP 翻折得到
又∵AD＝1，
（2）证明：如图
∵ △ADP 沿AP 翻折得到，
∴ 四边形AD'PD 是菱形.
又∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°
∴ 四边形AD'PD 是正方形
（3）解：①当与重合时，
此时．
②当点与点 重合（点与点 重合）时，
∵四边形是矩形，、，
∴ ，， ，
∴ ，
由折叠可得 ，，， ， ， ，
∴ ，，
∴四边形是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形是矩形，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【分析】（1）根据翻折的性质解答即可 ；
（2）根据翻折可得 推出四边形 是菱形，然后根据有一个角是直角的菱形是正方形得到结论即可；
（3）分为两种情况：①当与重合时，此时最小．②当点与点 重合（点与点 重合）时，根据折叠的性质可得四边形是矩形，即可得到 ，此时最大，进而求出d的取值范围即可．
26．【答案】（1）解：令 ，解得 ，
∵抛物线 交 轴于A、两点（点 在点的左侧），
∴，．
（2）解：①定点；
如图，设直线与 轴交于点 ，过点 作 ，过点作 ，垂足分别为、．
∴ ．
又∵A、两点到直线的距离相等，
∴．
又∵ ，
∴．
∴ ，
即：点 为中点．
∵，，
∴中点，
即直线过定点；
②∵ 的对称轴为 ，当时， ，
∴顶点，
如图，过点作直线 轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、 ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴，
设，，
∴， ，，，
∴．
整理得 ．
∵直线与抛物线 交于，两点．
∴联立，
可得 ，
∴ ， ．
代入 可得 ，
∴ ．
∴ ，
∴当时，固定不变，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）令y=0 解方程求出x的值即可得到抛物线与x轴交点的坐标．
（2）①设直线与 轴交于点 ，过点 作 ，过点作 ，垂足分别为、．根据AAS得到．根据对应边相等得到 ，根据中点公式求出点F的坐标即可；
②先得到顶点P的坐标，过点作直线 轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、 ，根据两角相等得到 ，根据对应边成比例得到，设，，表示出，，，的长，代入比利时可得 ，然后联立直线和抛物线的解析式，利用根与系数的关系可得 ， ．代入求出 ，即可得到直线解析式 ，求出定点坐标即可．
1 / 1四川省乐山市2026年中考数学真题
1．下面几何体中，是球体的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：A、是柱体，不符合题意；
B、是锥体，不符合题意；
C、是球体，符合题意；
D、是锥体，不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据几何体的特征解答即可.
2．下列各数是不等式x-1＞0的解的是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．- 1
【答案】A
【知识点】利用不等式的性质解简单不等式
【解析】【解答】解：
不等式两边同时+1可得，
∴四个选项中只有A选项中的数是原不等式的解．
故答案为：A.
【分析】利用不等式的性质解不等式求出解集，然后逐项判断解答即可.
3．2025年，我国人工智能核心产业规模突破1.2万亿元.数据1 200 000 000 000用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×109 B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4． 如图， 两条平行线a、b被第三条直线c所截. 若∠l＝40'， 则∠2＝（　　）
A．20° B．40° C．50° D．140°
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意可知，故 ．
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，内错角相等解答即可.
5．一个布装甲放着3个红球和2个白球，这两种球除了膈色以外没有任何其他区别.从布装中任取1个球，取出红球的糖率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： 布袋中球的总个数为 ，红球个数为，
从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 ．
故答案为：A.
【分析】根据概率公式计算即可．
6．若实数a、b满足 则 ab的值是（　　）
A．1 B．-1 C．6 D．-6
【答案】D
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解： ， ，且 ，
， ，
解得： ，，
．
故答案为：D.
【分析】利用算术平方根和偶次方的非负性，求出a，b的值，然后代入计算即可．
7． 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连结DE、EF、DF，若S△DEF＝1、则S△ABC ＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：点 、 分别是、 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴，
同理可证，，
∴，
由 ，
∴ ．
【分析】先根据三角形的中位线定理得到，根据面积比等于相似比的平方得到，同理得到，进而求出△ABC的面积即可．
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件后，不能定四边形ABCD是要形的是（　　）
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意；
B、，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到平行四边形为菱形，不符合题意；
C、 ，根据对角线相等的平行四边形可以得到矩形，但不是菱形，符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴，
∴平行四边形是菱形，不符合题意；
综上，故选C．
【分析】根据平行四边形的判定方法解答即可.
9．若a、b均不为0，将下列分式中的a和b都变为原来的2倍，分式值保持不变的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：将各选项中换为， 换为 ，依次化简判断：
选项A：，
替换后和原分式相等，分式值不变，符合题意；
选项B：替换后得，分式值改变，不符合题意；
选项C：替换后得，分式值改变，不符合题意；
选项D：替换后得，分式值改变，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】将替换为原来的2倍，化简后与原分式对比解答即可.
10．已知二次函数. 有下列结论：
①二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，c）
②二次函数的顶点坐标是（，c－）
③若二次函数图象经过A（-1，y1）， B（3，y2） ī两点，且. 则b＞-2
④当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则m-n的值与c无关.
其中，正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：对①：令，得 ，∴二次函数图象与 轴交点坐标是，①正确．
对②：对函数配方得，
∴顶点坐标为，结论中横坐标错误，②错误．
对③：代入 坐标得 ， ，∵，
∴ ，化简得 ，结论错误，③错误．
对④：二次函数开口向上，对称轴为，对区间 分情况讨论：
若 ，即 ，二次函数 随 的增大而增大， ，不含 ；
若 ，即 ，二次函数 随 的增大而减小，
，不含 ；
若 ，即 ，最小值为顶点纵坐标，最大值在离对称轴更远的端点，计算得 仍消去 ，不含 ；
因此 的值与 无关，④正确．
综上，正确结论共个．
故答案为：B.
【分析】令x=0，求出y的值得到与y轴的交点坐标判断①；配方为顶点式得到顶点坐标判断②；把点A和B 的坐标代入求出函数值，根据得到不等式，求出b的取值范围即可判断③；根据对称轴，，三种情况，根据二次函数图象的性质求出1≤x≤2时的最大值和最小值，然后求出m-n的值即可判断④ 解答即可．
11．－3的相反数是　 　.
【答案】3
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：因为-3与3只有符号不同，
所以-3的相反数是3．
故答案为：3．
【分析】只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，根据定义即可得出答案。
12．　 　.
【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： .
故答案为：.
【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可．
13． 一组数据3、7、9， 12， 15的中位数是　 　.
【答案】9
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为， ， ，，，这组数据共有 个数，个数为奇数，处在最中间的数是 ，因此这组数据的中位数是 ．
故答案为：9.
【分析】根据中位数的定义“将数据从小到大排列后，中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解答即可．
14．已知方程 的两个根是x1和x2，则：x1x2=　 　。
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程 的两个根是和，
∴ ．
故答案为：3.
【分析】对于一元二次方程 ，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案．
15． 如图， 在Rt△ABC 中， ∠ABC＝90°、BC＝6、AB＝8，点D为斜边AC的中点，则BD＝　 　.
【答案】5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据题意，得 ，
由点为斜边的中点，
．
故答案为：5.
【分析】根据勾股定理求出AC长 ，再利用直角三角形斜边上中线的性质解答即可.
16．传说古希腊毕达母拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图，第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1， 4， 9， 16称为四边形数， 第三行的1， 5， 12， 22称为五边形数.
（1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有　 　（填番号）：
①1 ②25 ③36
（2） 我们将k边形数中第n个数记为N（n，k）（k≥3）.已知N（n，3） 则N（n，5）＝　 　. （用含有n的代数式表示）
【答案】（1）①③
（2）3n2-n
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】（1）解：1既是三角形数又是四边形数，25，36都是四边形数，
根据题意，得 ，整理，得， ，
解得，
故n不是正整数，故25不是三角形数；
根据题意，得 ，整理，得， ，
解得， （边数不能为负，舍去）
故，故36是三角形数．
（2）解： ，都是n的二次函数，
也可能是n的二次函数，
不妨设 ，
根据题意，得，
解得，
故．
【分析】（1）根据定义，把数值代入，解方程逐项判断即可；
（2）设 ，利用待定系数法求出关系式即可．
17．计算：
【答案】解：原式＝2+2 ＝4.
【知识点】求有理数的绝对值的方法；求算术平方根
【解析】【分析】先运算绝对值，算术平方根，然后运算假发解答即可.
18．解方程组：
【答案】解： ①-②，得x＝4.
把x＝4代入②，得y＝-3，
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先根据①-②消去未知数y，求出x的值，再把x的值代入②解方程组即可.
19．化简：
【答案】解：原式：
＝-9.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先运算平方差公式，然后合并同类项即可.
20．如图， 已知AC＝AD， ∠CAB＝∠DAB. 求证：BC＝BD.
【答案】证明：在△ABC和△ABD中，
∵AC＝AD， ∠CAB ＝∠DAB， AB ＝AB，
∴ △ABC≌△ABD.
∴BC＝BD.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据SAS得到△ABC≌△ABD，根据对应边相等解答即可.
21．某校开展“典藉里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择；A. 《论语》，B. 《史记》，C. 《天工开物》、D. 《九章算术》.刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表。如图所示.
课程 内容 人数
A 《论语》 21
B 《史记》 9
C 《天工开物》 12
D 《九章算术》 m
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有　 　人，表中m的值为　 　：
（2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报履示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率.
【答案】（1）60；18
（2）解法一：由题可画树状图；
∴P （恰好选到课程A和课程
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得学生一共有 （人），
故表中 的值为 ．
故答案为：60；18；
【分析】（1）根据C课程人数除以占比求出样本容量，然后运用样本数量减去娶她课程人数求出m的值即可；
（2）利用树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可.
22．如图，一次函数y＝-x+1的图象与反比例函数 的图象交于 P（-1，a）、Q（b，-1）两点， 连结OP、OQ.
（1）求a、b的值和反比例函数的表达式；
（2） 求△POQ的面积.
【答案】（1）∵一次函数y＝-x+1的图象经过点P （-1， a）、Q （b， -1），
∴ - （-1）+1＝a， - b+1＝-1.
解得a＝2， b＝2
∵反比例函数 的图象经过点P（-1，2），
∴m＝ - 2.
∵反比例函数的表达式为
（2）如图，设一次函数y＝-x+1 与x轴相交于点A. 令y＝0， 则x＝1， 即： A（1， 0）.
又∵P（-1，2）， Q（2， - 1）
∴OA＝1.
注：本题也可由 或者 得出结果
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将P，Q的坐标代入一次函数解析式求出 、 的值，然后把点P的坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可；
（2）设一次函数 与 轴相交于点 ，求出A点坐标，然后根据解答即可．
23．如图，AB为⊙O的直径，点C为圈上一点，点D在BA延长线上，连结CD，且∠ACD＝∠B.
（1） 求证：CD为⊙O的切线；
（2） 若 ，⊙O 的半径为3，求AD的长.
【答案】（1）证明： （1） 连结OC， 可得∠B＝∠BCO.
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝∠BCO.
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACO+∠BCO＝90°.
∴∠ACD +∠ACO＝90°.即∠OCD＝90°
又∵点C在⊙O 上，
∴CD 为⊙O 的切线
（2）解：由（1）得，
， 的半径为，
，即，
∴ ，
，
．
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得 ，即可得到 ，由直径所对的圆周角是直角得到 ，进而可得 ，证明结论即可；
（2）根据正切的定义求出 ，再根据勾股定理得到，利用线段的和差解答即可．
24． 在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法.
（1）【感知密铺】
同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面.
正多边形的边数 3 4 5 6 …
正多边形的内角和 180° 360° 540° …
正多边形每个内角的大小 60° 90° 108° a …
上表中a＝　 　，正六边形　 　（填“能”或“不能”）铺满地面.
（2）【探导密铺】
同学们通过动手操作，探导到了实现密铺的路径.
上图中，②号三角形可看成①号三角形通过　 　（填“平移”或“旋转”）得到：
③号三角形可看成①号三角形通过　 　（填“平移”或“旋转”）得到.
（3）【创作密铺】
最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形ABCD形状大小相同的四边形实现平面密铺，并在下面方格纸中画出点A位置的密铺设计图。
【答案】（1）120°；能
（2）平移；旋转
（3）解：点 位置的密铺设计图如图：

【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；多边形的内角和公式；利用轴对称、旋转、平移设计图案
【解析】【解答】（1）解：正六边形的内角和，则正六边形每个内角的大小 ，
∵ ，即三个正六边形内角恰好组成一个周角，
∴正六边形能铺满地面．
故答案为：120°；能；
（2）解：②号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线平行，则②号三角形可看成①号三角形通过平移得到；
③号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线不平行，则③号三角形可看成①号三角形通过旋转得到；
故答案为：平移；旋转；
【分析】（1）根据正六边形的内角和定理求出内角度数即可，再根据三个正六边形内角恰好组成一个周角解答即可．
（2）根据平移、旋转的特征解答即可；
（3）先画和为公共边的四边形，然后画出第四个四边形即可．
25．如图，在矩形ABCD中， 点P在线段CD上（点P不与点 D 重合）.连结AP，将△ADP 组AP翻折得到△AD’ P 、点D的对应点为D’.
（1）求AD'的长度；
（2）求证，当DP＝1时，四边形AD'PD为正方形；
（3）着点Q在线段AB上，且 连结CQ、将△BCQ组CQ翻折得到△B'CQ、点B的对应点为B'设点B'与点D'之间的距高为d，求d的取值藏围.
【答案】（1）解： 沿AP 翻折得到
又∵AD＝1，
（2）证明：如图
∵ △ADP 沿AP 翻折得到，
∴ 四边形AD'PD 是菱形.
又∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°
∴ 四边形AD'PD 是正方形
（3）解：①当与重合时，
此时．
②当点与点 重合（点与点 重合）时，
∵四边形是矩形，、，
∴ ，， ，
∴ ，
由折叠可得 ，，， ， ， ，
∴ ，，
∴四边形是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形是矩形，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【分析】（1）根据翻折的性质解答即可 ；
（2）根据翻折可得 推出四边形 是菱形，然后根据有一个角是直角的菱形是正方形得到结论即可；
（3）分为两种情况：①当与重合时，此时最小．②当点与点 重合（点与点 重合）时，根据折叠的性质可得四边形是矩形，即可得到 ，此时最大，进而求出d的取值范围即可．
26．已知抛物线C： 交x轴于A、B两点（点A在点 B的左侧），顶点为点P，
（1）求A、B两点的坐标：
（2）直线l；y＝kx+b（k≠0）与抛物线C交于D，E两点.
①若A、B两点到直线l则离相等，则直线l过定点，请求出这个定点，并说明理由：
②若 试同直线l是否过定点 若过定点，请求出定点坐标：若不过定点，请说明理由。
【答案】（1）解：令 ，解得 ，
∵抛物线 交 轴于A、两点（点 在点的左侧），
∴，．
（2）解：①定点；
如图，设直线与 轴交于点 ，过点 作 ，过点作 ，垂足分别为、．
∴ ．
又∵A、两点到直线的距离相等，
∴．
又∵ ，
∴．
∴ ，
即：点 为中点．
∵，，
∴中点，
即直线过定点；
②∵ 的对称轴为 ，当时， ，
∴顶点，
如图，过点作直线 轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、 ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴，
设，，
∴， ，，，
∴．
整理得 ．
∵直线与抛物线 交于，两点．
∴联立，
可得 ，
∴ ， ．
代入 可得 ，
∴ ．
∴ ，
∴当时，固定不变，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）令y=0 解方程求出x的值即可得到抛物线与x轴交点的坐标．
（2）①设直线与 轴交于点 ，过点 作 ，过点作 ，垂足分别为、．根据AAS得到．根据对应边相等得到 ，根据中点公式求出点F的坐标即可；
②先得到顶点P的坐标，过点作直线 轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、 ，根据两角相等得到 ，根据对应边成比例得到，设，，表示出，，，的长，代入比利时可得 ，然后联立直线和抛物线的解析式，利用根与系数的关系可得 ， ．代入求出 ，即可得到直线解析式 ，求出定点坐标即可．
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