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专题10 计数原理
考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律
考点01 排列与组合 2026年：全国卷、上海卷
2025年：上海卷
2024年：全国甲卷、新课标II卷、天津卷、上海卷
题型覆盖选择、填空、解答，为计数原理核心必考基础题型，常与概率综合命题 1. 核心考法固定：优先考查特殊元素、特殊位置限制类排列组合问题，包含捆绑法、插空法、分组分配等经典模型；
2. 题型综合度高：高频结合古典概型、条件概率联合出题，将计数作为概率计算的核心工具；
3. 情境贴近生活：以小组分配、队列排列、比赛出场、抽样选点、农业实践等真实场景命题，规避纯理论计算；
4. 卷型特色鲜明：全国卷侧重分组分配、方格计数等综合计算，上海卷多基础计数、限定条件选排小题，难度梯度清晰；
5. 创新融合考查：部分题型结合茎叶图、分层抽样、数据统计，实现计数与统计概率模块交汇命题。
考点02 二项式定理 2026年：北京卷、天津卷、上海卷
2025年：北京卷、天津卷、上海卷
2024年：全国甲卷、天津卷、上海卷
以选择、填空小题为主，少量结合数列出综合解答小问，属于高频基础得分点 1. 基础考点稳定：常年考查二项展开式通项、指定项系数、常数项求解，公式套路固定，是高考基础送分题型；
2. 拓展考查丰富：新增系数最值、各项系数和、参数求值、复合型二项式展开计算等延伸考法；
3. 综合创新命题：上海、天津卷偶尔结合等差数列、等比数列命题，融合数列证明、集合求和等综合设问；
4. 难度分层明确：小题以基础公式代入计算为主，压轴小题侧重复杂二项式变形、多参数求解，区分度适中；
5. 考情覆盖面广：2024-2026年各省市卷连年考查，题型稳定无断层，是高考必考高频考点。
考点01 排列与组合
1．（2026·全国II卷·高考真题）现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有（ ）
A．10种 B．12种 C．16种 D．24种
【答案】C
【分析】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可.
【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组，
安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组.
若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人；
B组已有{丁}，还差3人，
则从剩余4人中选1人进A组，方案数为.
若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为.
所以当甲、乙在A组时，方案数为种.
情况2：甲、乙两人都在 B 小组，
甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致，
安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ，
所以当甲、乙在B组时，方案数为 种.
故所有分配方案共有种.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.
【详解】解法一：画出树状图，如图，
由树状图可得，出场次序共有24种，
其中符合题意的出场次序共有8种，
故所求概率；
解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种；
当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种；
于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意；
基本事件总数显然是，
根据古典概型的计算公式，所求概率为.
故选：C
3．（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法.
【答案】6
【分析】结合组合知识求解即可.
【详解】由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可，
则一共有种选法.
故答案为：6.
4．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种．
【答案】288
【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.
【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，
故有种排法.
故答案为：288
5．（2024·上海·高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为__________．
【答案】329
【分析】确定奇数最多1个，再分个位数为0和不为0，结合排列、组合求解即可.
【详解】由题意可知，集合中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，（若有2个以上奇数，则不满足任意两者之积皆为偶数），剩余全是偶数.
先研究集合中无重复数字的三位偶数；
（1）若个位为0，这样的偶数有个；
（2）若个位不为0，这样的偶数有个；
所以集合元素个数最大值为个．
故答案为：329
6．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______．
【答案】
【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空.
【详解】解法一：列举法
给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有：
,共10种情况，
其中甲选到有6种可能性：，
则甲参加“整地做畦”的概率为：；
乙选活动有6种可能性：，
其中再选择有3种可能性：，
故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为.
解法二：
设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，
则甲选到的概率为；
乙选了活动，他再选择活动的概率为
故答案为：；
7．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______．
【答案】
【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.
【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，
设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，
故，故，
故，
若，则，则为：，故有2种，
若，则，则为：，
，故有10种，
当，则，则为：
，
，
故有16种，
当，则，同理有16种，
当，则，同理有10种，
当，则，同理有2种，
共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，
故所求概率为.
故答案为：
8．（2024·新课标II卷·高考真题） 在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．
【答案】 24 112
【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.
【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，
第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，
所以共有种选法；
每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为：
，
，
，
，
所以选中的方格中，的4个数之和最大，为.
故答案为：24；112
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.
9．（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．

(1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；
(2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；
(3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？
【答案】(1)甲组第60百分位数为173 厘米，乙组第60百分位数为厘米；
(2)；
(3)把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组.
【分析】（1）直接利用百分位数计算公式即可；
（2）根据组合公式和古典概率公式计算即可；
（3）求出两者平均数，则所调的人员身高应该两平均数之间（不包括两平均数）.
【详解】（1）甲队：，
所以甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米；
乙队：，
所以乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，为厘米．
（2）记甲乙两队各选取一名组员，两人身高均在170厘米以上为事件，
.
（3），
要使两组平均身高都增大，
则从甲组调到乙组的组员身高应在两平均数之间（不包括端点平均数），所以把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组即可．
10．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
【答案】(1)
(2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱
(3)方差克，平均数克，预估平均质量为克
【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案；
（2）利用分层抽样的定义进行求解；
（3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量.
【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，
样本空间的样本点的个数，
A事件的样本点的公式，
所以；
（2）因为一级果箱数：二级果箱数，
所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱；
（3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为，
总体样本平均质量为，方差为，
因为，，，，
所以克，
克．
预估平均质量为克．
考点02 二项式定理
1．（2026·北京·高考真题）已知的展开式中的的系数是280，则（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】A
【详解】二项式的展开式的通项为，其中.
令，解得，则项的系数为.
∵ ，，且已知的系数为，
∴ ，即，解得.
2．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解.
【详解】的二项展开式为，
令，解得，
故所求即为.
故选：A.
3．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________．
【答案】
【分析】写出二项式的通项，令的次数为，即可求出展开式中的系数.
【详解】由题意，
在中，通项，
当即时，，
∴展开式中的系数为.
4．（2026·天津·高考真题）展开式中的系数为__________．
【答案】
【分析】根据二项式定理得到展开式的通项公式即可求解.
【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为，
当时，，因此的系数为.
5．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________.
【答案】
【分析】写出二项展开式的通项公式，令，解出，代入即可得到答案.
【详解】二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以的系数为.
故答案为：.
6．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________．
【答案】
【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值.
【详解】令，则，
又，
故，
令，则，
令，则，故
故答案为：.
7．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________．
【答案】
【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.
【详解】展开式的通项公式为，
当时，，
即展开式中的系数为.
故答案为：
8．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为_________．
【答案】
【分析】利用通项公式求解可得.
【详解】由通项公式，
令，得，
可得项的系数为.
故答案为：.
9．（2025·上海·高考真题）已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______．
【答案】1
【分析】根据二项式展开式的通项特征可得，进而可求解.
【详解】展开式的通项为，令解得，∴．
∴．
故答案为：1
10．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________．
【答案】10
【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数.
【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得，
所以的展开式项的系数为.
故答案为：10
11．（2024·上海·高考真题） 展开式中的系数为______.
【答案】15
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果.
【详解】 展开式中令的项为，
所以 展开式中的系数为15.
故答案为：15
12．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为______．
【答案】5
【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解.
【详解】由题展开式通项公式为，且，
设展开式中第项系数最大，则，
，即，又，故，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为.
故答案为：5.
13．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为______．
【答案】20
【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.
【详解】因为的展开式的通项为，
令，可得，
所以常数项为.
故答案为：20.
14．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)，，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
【答案】(1)；
(2)（i）证明：由（1）或，，
当时，
设，
所以，
所以，
所以，为中的最大元素，
此时恒成立，
所以对，均有.
（ii）
【分析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解；
（2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明；
（ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解；
法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解.
【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为，
则由题得，
所以；
（2）（i）略
（ii）法一：由（i）得对任意实数，均有，
所以，，
所以取值随着的取值不同各不相同，
又为中的最大元素，
由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成：
当均为1时：此时该系列元素只有即个；
当中只有一个为0，其余均为1时：
此时该系列的元素有共有个，
则这个元素的和为；
当中只有2个为0，其余均为1时：
此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
…
当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
当均为0时：此时该系列的元素为即个，
综上所述，中的所有元素之和为
；
法二：由（i）得，为中的最大元素，
由题意可得，
所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次，
所以中的所有元素之和为.
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考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律
考点01 排列与组合 2026年：全国卷、上海卷
2025年：上海卷
2024年：全国甲卷、新课标II卷、天津卷、上海卷
题型覆盖选择、填空、解答，为计数原理核心必考基础题型，常与概率综合命题 1. 核心考法固定：优先考查特殊元素、特殊位置限制类排列组合问题，包含捆绑法、插空法、分组分配等经典模型；
2. 题型综合度高：高频结合古典概型、条件概率联合出题，将计数作为概率计算的核心工具；
3. 情境贴近生活：以小组分配、队列排列、比赛出场、抽样选点、农业实践等真实场景命题，规避纯理论计算；
4. 卷型特色鲜明：全国卷侧重分组分配、方格计数等综合计算，上海卷多基础计数、限定条件选排小题，难度梯度清晰；
5. 创新融合考查：部分题型结合茎叶图、分层抽样、数据统计，实现计数与统计概率模块交汇命题。
考点02 二项式定理 2026年：北京卷、天津卷、上海卷
2025年：北京卷、天津卷、上海卷
2024年：全国甲卷、天津卷、上海卷
以选择、填空小题为主，少量结合数列出综合解答小问，属于高频基础得分点 1. 基础考点稳定：常年考查二项展开式通项、指定项系数、常数项求解，公式套路固定，是高考基础送分题型；
2. 拓展考查丰富：新增系数最值、各项系数和、参数求值、复合型二项式展开计算等延伸考法；
3. 综合创新命题：上海、天津卷偶尔结合等差数列、等比数列命题，融合数列证明、集合求和等综合设问；
4. 难度分层明确：小题以基础公式代入计算为主，压轴小题侧重复杂二项式变形、多参数求解，区分度适中；
5. 考情覆盖面广：2024-2026年各省市卷连年考查，题型稳定无断层，是高考必考高频考点。
考点01 排列与组合
1．（2026·全国II卷·高考真题）现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有（ ）
A．10种 B．12种 C．16种 D．24种
2．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法.
4．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种．
5．（2024·上海·高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为__________．
6．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______．
7．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______．
8．（2024·新课标II卷·高考真题） 在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．
9．（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．

(1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；
(2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；
(3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？
10．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
考点02 二项式定理
1．（2026·北京·高考真题）已知的展开式中的的系数是280，则（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
2．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________．
4．（2026·天津·高考真题）展开式中的系数为__________．
5．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________.
6．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________．
7．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________．
8．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为_________．
9．（2025·上海·高考真题）已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______．
10．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________．
11．（2024·上海·高考真题） 展开式中的系数为______.
12．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为______．
13．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为______．
14．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)，，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
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