资源简介

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专题11 统计与概率
考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律
考点01 概率 2026年：上海卷、天津卷、全国卷
2025年：上海卷、北京卷、全国II卷
2024年：上海卷、全国甲卷、天津卷、新课标I/II卷
题型覆盖选择、填空、解答大题，年年必考，为概率模块核心题型 1. 基础概念必考：对立事件、互斥事件、相互独立事件辨析，以上海卷选择填空高频考查；
2. 古典概型为主流：结合排列组合、方格选点、比赛出场、抽样取球等场景计算概率，题型经典稳定；
3. 条件概率高频考查：有放回抽样、情境嵌套条件概率为填空常考题型；
4. 解答大题综合化：结合比赛规则、淘汰机制、独立重复试验命题，考查概率公式、最值分析、不等式证明，区分度较高；
5. 情境生活化：贴合体育比赛、产品检验、日常实践等真实场景，弱化纯理论考查。
考点02 统计 2026年：全国II卷、天津卷、北京卷、上海卷
2025年：全国II卷、上海卷
2024年：天津卷、新课标II卷、上海卷、全国甲卷
覆盖选择、填空、解答，是高考数学基础得分核心模块 1. 基础统计量常态化：平均数、中位数、极差、百分位数、分层抽样为小题必考点，计算简单、分值稳定；
2. 图表分析为核心载体：频率分布直方图、茎叶图、频数分布表、散点图综合考查数据解读与分析；
3. 相关性与回归分析必考：相关系数正负、相关性强弱判断，线性回归方程求值、预测、误差对比；
4. 独立性检验高频大题：依托列联表，结合小概率值完成独立性检验，固定设问、套路性极强；
5. 综合创新设问：结合分层抽样、平均数方差计算、事件独立性判断综合命题，上海卷多创新拓展题型。
考点03 随机变量及其分布 2026年：全国II卷、上海卷
2025年：天津卷、上海卷、全国I卷
2024年：上海卷、新课标I卷
以填空、多选、解答压轴小问为主，侧重综合应用 1. 核心考查内容：离散型随机变量分布列、数学期望、方差计算，二项分布、正态分布性质与应用；
2. 题型特色鲜明：多选侧重正态分布性质判断，填空聚焦期望方差基础计算，解答结合实际场景求分布列、证明最值结论；
3. 创新命题趋势：结合投篮、跑圈、抽样、题库答题等动态情境，设计复合型随机变量问题；
4. 能力考查升级：不再单纯公式代入，侧重结合概率模型分析变量规律、求解最值、证明恒等结论，逻辑要求更高。
考点01 概率
1．（2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据事件的独立性及对立定义求解.
【详解】根据已知至少有一个发生，
则对立事件为都不发生，所以的对立事件为.
2．（2025·上海·高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可.
【详解】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，
共有种情况，
要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，
若保留两条边，则可保留也可擦去，
共有种情况；
若保留两条边，则可保留也可擦去，
共有种情况（其中有一种情况与上面重复），
则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况，
所以可以到达C点的概率为.
故选：B.
3．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（ ）
A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立
C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立
【答案】B
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可．
【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误；
选项B，，，，
，B正确；
选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误；
选项D，，，，
，
与不独立，故D错误．
故选：B．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.
【详解】解法一：画出树状图，如图，
由树状图可得，出场次序共有24种，
其中符合题意的出场次序共有8种，
故所求概率；
解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种；
当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种；
于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意；
基本事件总数显然是，
根据古典概型的计算公式，所求概率为.
故选：C
5．（2026·天津·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________．
【答案】
【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出至少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论.
【详解】由题意，
第一空：
箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。
设事件表示没取到黄球，事件表示三次都没取到黄球，
有放回抽取，每次取到非黄球的概率为，
三次都没取到黄球的概率：.
第二空：
设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球，
，
∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：，
，
∴，
∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是.
6．（2026·上海·高考真题）已知事件，互斥，，，则__________．
【答案】/
【详解】因为互斥，所以.
7．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______．
【答案】
【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.
【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，
设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，
故，故，
故，
若，则，则为：，故有2种，
若，则，则为：，
，故有10种，
当，则，则为：
，
，
故有16种，
当，则，同理有16种，
当，则，同理有10种，
当，则，同理有2种，
共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，
故所求概率为.
故答案为：
8．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______．
【答案】
【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空.
【详解】解法一：列举法
给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有：
,共10种情况，
其中甲选到有6种可能性：，
则甲参加“整地做畦”的概率为：；
乙选活动有6种可能性：，
其中再选择有3种可能性：，
故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为.
解法二：
设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，
则甲选到的概率为；
乙选了活动，他再选择活动的概率为
故答案为：；
9．（2024·新课标II卷·高考真题） 在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．
【答案】 24 112
【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.
【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，
第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，
所以共有种选法；
每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为：
，
，
，
，
所以选中的方格中，的4个数之和最大，为.
故答案为：24；112
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.
10．（2024·新课标I卷·高考真题） 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.
【答案】/0.5
【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.
【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为.
对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率，所以.
从而.
记.
如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以；
如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以.
而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.
所以，，两式相减即得，故.
所以甲的总得分不小于2的概率为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.
11．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）.
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）用频率估计概率即可求解；
（2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及的分布列，从而可求其期望；
（3）根据题设可得关于的方程，求出其解后可得它们的大小关系.
【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率.
（2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，，
设为“从乙校抽取1人做对”，则，，
设为“恰有1人做对”，故
依题可知，可取，
，，，
故的分布列如下表：
故.
（3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”，
因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目，
未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，
故，即，故，
同理有，，故，
故.
12．（2025·全国II卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率．
(1)求（用p表示）．
(2)若，求p．
(3)证明：对任意正整数m，．
【答案】(1)，
(2)
(3)
设打完个球，甲的得分为，乙的得分为，，
所以，，，
，，，
要证明，
即证明①，②，
先证明①，
，
同理可得，
所以①，故成立；
证明②：
，
同理可得，
所以②，故成立；
综上，不等式成立.
【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解；
（2）由题意，联立，即可求解；
（3）首先，，同理有，，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得证.
【详解】（1）为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场，
故所求为，
为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场，
故所求为；
（2）由（1）得，，同理，
若，，
则，
由于，所以，解得；
（3）略
13．（2025·全国I卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
超声波检查结果组别 正常 不正常 合计
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1000
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；
(2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)
(2)有关
【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；
（2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断.
【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为；
（2）零假设为：超声波检查结果与患病无关，
根据表中数据可得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过.
14．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值
【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;
（2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求.
（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解.
【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得.
（2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，
由题设中的统计数据可得，
，，
，
故
故（万元）.
（ⅱ）由题设保费的变化为，
故（万元），
从而.
15．（2024·全国甲卷·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
(2)可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算，并与临界值对比分析；
（2）用频率估计概率可得，根据题意计算，结合题意分析判断.
【详解】（1）根据题意可得列联表：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
可得，
因为，
所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，
用频率估计概率可得，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，
可知，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
16．（2024·新课标II卷·高考真题） 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【答案】(1)
(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.
【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
比赛成绩不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为，则，，
则，
应该由甲参加第一阶段比赛.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.
考点02 统计
1．（2026·全国II卷·高考真题）样本数据的中位数为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】结合中位数定义可得.
【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为.
2．（2026·天津·高考真题）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（ ）
A．与负相关 B．当时，一定为1359
C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系
【答案】A
【详解】因为相关系数，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域，
所以y与x负相关，所以A正确，D错误；
当时，，所以约为，
所以B，C错误.
3．（2025·全国II卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．18
【答案】C
【分析】由平均数的计算公式即可求解.
【详解】样本数据的平均数为.
故选：C.
4．（2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由点的分布特征可直接判断
【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.
故选：A
5．（2024·新课标II卷·高考真题） 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
【答案】C
【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.
【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, ,
所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误；
对于B，亩产量不低于的频数为，
所以低于的稻田占比为，故B错误；
对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确；
对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误.
故选；C.
6．（2026·北京·高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下：
成绩分组
人数 40 60 60 32 8
以频率估计概率，完成下列问题：
(1)求数学成绩低于120分的概率；
(2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率；
(3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求样本中数学成绩低于分的频率，再由频率估计概率；
（2）先分别求事件成绩不低于分的概率和事件成绩小于分的概率，再由独立事件概率乘法公式求结论；
（3）根据方差公式分别求，比较大小可得结论.
【详解】（1）由已知样本中数学成绩低于分的频率为，
所以数学成绩低于分的概率为，
（2）从学校随机抽取一人，该学生成绩不低于分的概率为，
小于分的概率为，
所以从学校随机抽取人，人不低于且人小于的概率为，
（3）每组数据取左端的值记为，，
每组数据取中间的值记为，，
每组数据取右端的值记为，，
由已知，，，，，
所以，
由已知，，，，，
所以，
，，，，，
所以，
，
所以.
7．（2026·全国II卷·高考真题）某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图：
(1)求第一四分位数和中位数；
(2)设为首次故障时间小于365天的概率估计值．
（ⅰ）求；
（ⅱ）已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若，求和．
【答案】(1)第一四分位数为 ，中位数为 ；
(2)（ⅰ）；（ⅱ），．
【分析】（1）根据百分位数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解；
（2）根据直方图，先求出小于365天的频率，作为概率的估计值，然后利用二项分布的期望和方差求解.
【详解】（1）由直方图可知，的频率为，
的频率为，
故第一四分位数在上，设为，则，解得；
的频率为，
的频率为，
故中位数在上，设为，则，解得.
故第一四分位数为370，中位数为381；
（2）由直方图可知，小于365天的频率为，故，
根据二项分布的期望和方差公式，
，
8．（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下：
颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86
二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86
(1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论）
(3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？
参考数据：
【答案】(1)；
(2)散点图；
(3)的预测值与实际值之差的绝对值更小.
【分析】（1）结合古典概型概率公式求解即可；
（2）根据图表数据可以判断用散点图分析；结合相关系数的性质判断区间；
（3）根据题意分别求解两种方程下的预测值与实际值的差值绝对值即可.
【详解】（1）9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为.
（2）统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现.
随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正，
又因为相关系数，故相关系数在区间上.
（3）采用方程时，2023年预测值为，
预测值与实际值差值绝对值为；
因为
，
所以，可得.
故采用方程时，
2023年预测值为，
预测值与实际值差值绝对值为；
因为，故方程对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小.
9．（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：
年龄 剪纸 摄影 画画 人数
8 45
10 55
6 50
(1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？
(2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？
(3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由.
【答案】(1)9；
(2)；
(3)不相互独立，理由见解析.
【分析】（1）由题意，计算年龄段占总体比例，据此可得答案.
（2）利用年龄区间中点作为该区间年龄平均值，再由各年龄段人数占总体比例可得答案；
（3）验证，是否等于可得答案.
【详解】（1）年龄段占总体比例为： ，则抽取人数为：；
（2）由题可得人的平均年龄为：；
（3）由题可得，，，
注意到，则事件A与事件B不相互独立.
10．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
(1)求这组数据的极差与中位数；
(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．
【答案】(1)；；
(2)
(3)
【分析】（1）由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数；
（2）由古典概型概率公式可得；
（3）先求成绩平均数，再由在回归直线上，代入方程可得，再代入年份预测可得.
【详解】（1）由题意，数据的最大值为，最小值为，
则极差为；
数据中间两数为与，
则中位数为.
故极差为，中位数为；
（2）由题意，数据共个，以上数据共有个，
故设事件“恰有个数据在以上”，
则，
故恰有个数据在以上的概率为；
（3）由题意，成绩的平均数
，
由直线过，
则，
故回归直线方程为.
当时,.
故预测年冠军队的成绩为秒.
11．（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．

(1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；
(2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；
(3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？
【答案】(1)甲组第60百分位数为173 厘米，乙组第60百分位数为厘米；
(2)；
(3)把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组.
【分析】（1）直接利用百分位数计算公式即可；
（2）根据组合公式和古典概率公式计算即可；
（3）求出两者平均数，则所调的人员身高应该两平均数之间（不包括两平均数）.
【详解】（1）甲队：，
所以甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米；
乙队：，
所以乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，为厘米．
（2）记甲乙两队各选取一名组员，两人身高均在170厘米以上为事件，
.
（3），
要使两组平均身高都增大，
则从甲组调到乙组的组员身高应在两平均数之间（不包括端点平均数），所以把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组即可．
12．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围学业成绩
优秀 5 44 42 3 1
不优秀 134 147 137 40 27
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
(3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
（附：其中，．）
【答案】(1)
(2)
(3)有
【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；
（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；
（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.
【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，
则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．
（2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为
．
则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.
（3）由题列联表如下：
其他 合计
优秀 45 50 95
不优秀 177 308 485
合计 222 358 580
提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．
其中．
．
则零假设不成立，
即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．
13．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
【答案】(1)
(2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱
(3)方差克，平均数克，预估平均质量为克
【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案；
（2）利用分层抽样的定义进行求解；
（3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量.
【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，
样本空间的样本点的个数，
A事件的样本点的公式，
所以；
（2）因为一级果箱数：二级果箱数，
所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱；
（3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为，
总体样本平均质量为，方差为，
因为，，，，
所以克，
克．
预估平均质量为克．
考点03 随机变量及其分布
1．（2026·全国II卷·高考真题）设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】由题意可知.解法一：根据古典概型求相应的概率，进而可得期望；解法二：可得，，根据对称性运算求解；解法三：根据点的特征结合古典概型运算求解.
【详解】由题意可知：，且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6.
解法一：依题意，可得，
，
，，
，，
所以；
解法二：根据对称性可知：，，，，，
又，，
所以；
解法三：因为，，
对于任意一点，均存在与之对应，可知这两点的坐标和为0，
因为，样本空间，
可知样本空间中存在唯一点与点对应，
所以中所有点的坐标和的总和为，
故.
2．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．越接近1，相关性越强
D．越接近0，相关性越弱
【答案】B
【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可.
【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确；
对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误；
对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确.
故选：B
3．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】根据独立事件的概率公式可求.
【详解】因为相互独立，故，
故选：B.
4．（2024·新课标I卷·高考真题）（多选） 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出.
【详解】依题可知，，所以，
故，C正确，D错误；
因为，所以，
因为，所以，
而，B正确，A错误，
故选：BC．
5．（2026·上海·高考真题）已知随机变量的分布为，且，则__________．
【答案】/
【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解.
【详解】因为随机变量的分布为，且，
所以，且，
解得.
6．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______
【答案】
【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解.
【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件，
则；
设运动量达标为事件，，
所以，；
故答案为：；
7．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望_________．
【答案】
【分析】根据分布列结合期望公式可求期望.
【详解】由题设有.
故答案为：.
8．（2025·全国I卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________.
【答案】/
【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得.
【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3，
总的选取可能数为，
其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，
故，
：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），
选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，
其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种，
故，
：三种不同球被取出，
由排列数可知事件的可能情有况种，
故，
所以
.
故答案为：.
法二：依题意，假设随机变量，其中：
其中，则，
由于球的对称性，易知所有相等，
则由期望的线性性质，得，
由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为，
由于抽取独立，三次均未取出球的概率为，
因此球至少被取出一次的概率为：，
故，
所以.
故答案为：.
9．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．
【答案】0.85
【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.
【详解】由题意知，题库的比例为：，
各占比分别为，
则根据全概率公式知所求正确率．
故答案为：0.85．
10．（2026·全国II卷·高考真题）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数．
(1)当，时，求的分布列；
(2)设，均为自然数．
（i）当时，求；
（ii）当时，证明：．
【答案】(1)的分布列如下图所示：
1 2 3 4
(2)（i）
（ii）由题意及（2）（i）证明如下：
即.
【分析】（1）求出的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列.
(2)（i）等价于前次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出.
（ii）利用条件概率公式，结合 (i) 的结论与事件的包含关系即可证明结论.
【详解】（1）由题意，
整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次，
当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习，
∴的可能取值为1，2，3，4，
当时，表示第一次就投进球，，
当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，，
当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，，
当时，表示在第次停止，此事件等价于前次投篮均未投中，，
作出的分布列如下图所示：
1 2 3 4
（2）（i）由题意及（1）得，
整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次，
当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习，
当时，表示前次均未投中，
∴.
（ii）略.
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专题11 统计与概率
考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律
考点01 概率 2026年：上海卷、天津卷、全国卷
2025年：上海卷、北京卷、全国II卷
2024年：上海卷、全国甲卷、天津卷、新课标I/II卷
题型覆盖选择、填空、解答大题，年年必考，为概率模块核心题型 1. 基础概念必考：对立事件、互斥事件、相互独立事件辨析，以上海卷选择填空高频考查；
2. 古典概型为主流：结合排列组合、方格选点、比赛出场、抽样取球等场景计算概率，题型经典稳定；
3. 条件概率高频考查：有放回抽样、情境嵌套条件概率为填空常考题型；
4. 解答大题综合化：结合比赛规则、淘汰机制、独立重复试验命题，考查概率公式、最值分析、不等式证明，区分度较高；
5. 情境生活化：贴合体育比赛、产品检验、日常实践等真实场景，弱化纯理论考查。
考点02 统计 2026年：全国II卷、天津卷、北京卷、上海卷
2025年：全国II卷、上海卷
2024年：天津卷、新课标II卷、上海卷、全国甲卷
覆盖选择、填空、解答，是高考数学基础得分核心模块 1. 基础统计量常态化：平均数、中位数、极差、百分位数、分层抽样为小题必考点，计算简单、分值稳定；
2. 图表分析为核心载体：频率分布直方图、茎叶图、频数分布表、散点图综合考查数据解读与分析；
3. 相关性与回归分析必考：相关系数正负、相关性强弱判断，线性回归方程求值、预测、误差对比；
4. 独立性检验高频大题：依托列联表，结合小概率值完成独立性检验，固定设问、套路性极强；
5. 综合创新设问：结合分层抽样、平均数方差计算、事件独立性判断综合命题，上海卷多创新拓展题型。
考点03 随机变量及其分布 2026年：全国II卷、上海卷
2025年：天津卷、上海卷、全国I卷
2024年：上海卷、新课标I卷
以填空、多选、解答压轴小问为主，侧重综合应用 1. 核心考查内容：离散型随机变量分布列、数学期望、方差计算，二项分布、正态分布性质与应用；
2. 题型特色鲜明：多选侧重正态分布性质判断，填空聚焦期望方差基础计算，解答结合实际场景求分布列、证明最值结论；
3. 创新命题趋势：结合投篮、跑圈、抽样、题库答题等动态情境，设计复合型随机变量问题；
4. 能力考查升级：不再单纯公式代入，侧重结合概率模型分析变量规律、求解最值、证明恒等结论，逻辑要求更高。
考点01 概率
1．（2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025·上海·高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（ ）
A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立
C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立
4．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·天津·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________．
6．（2026·上海·高考真题）已知事件，互斥，，，则__________．
7．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______．
8．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______．
9．（2024·新课标II卷·高考真题） 在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．
10．（2024·新课标I卷·高考真题） 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.
11．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）.
12．（2025·全国II卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率．
(1)求（用p表示）．
(2)若，求p．
(3)证明：对任意正整数m，．
13．（2025·全国I卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
超声波检查结果组别 正常 不正常 合计
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1000
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；
(2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
14．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
15．（2024·全国甲卷·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
16．（2024·新课标II卷·高考真题） 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
考点02 统计
1．（2026·全国II卷·高考真题）样本数据的中位数为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
2．（2026·天津·高考真题）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（ ）
A．与负相关 B．当时，一定为1359
C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系
3．（2025·全国II卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．18
4．（2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·新课标II卷·高考真题） 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
6．（2026·北京·高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下：
成绩分组
人数 40 60 60 32 8
以频率估计概率，完成下列问题：
(1)求数学成绩低于120分的概率；
(2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率；
(3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系．
7．（2026·全国II卷·高考真题）某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图：
(1)求第一四分位数和中位数；
(2)设为首次故障时间小于365天的概率估计值．
（ⅰ）求；
（ⅱ）已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若，求和．
8．（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下：
颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86
二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86
(1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论）
(3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？
参考数据：
9．（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：
年龄 剪纸 摄影 画画 人数
8 45
10 55
6 50
(1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？
(2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？
(3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由.
10．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
(1)求这组数据的极差与中位数；
(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．
11．（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．

(1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；
(2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；
(3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？
12．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围学业成绩
优秀 5 44 42 3 1
不优秀 134 147 137 40 27
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
(3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
（附：其中，．）
其他 合计
优秀 45 50 95
不优秀 177 308 485
合计 222 358 580
13．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
考点03 随机变量及其分布
1．（2026·全国II卷·高考真题）设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．越接近1，相关性越强
D．越接近0，相关性越弱
3．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．0
4．（2024·新课标I卷·高考真题）（多选） 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A． B．
C． D．
5．（2026·上海·高考真题）已知随机变量的分布为，且，则__________．
6．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______
7．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望_________．
8．（2025·全国I卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________.
9．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．
10．（2026·全国II卷·高考真题）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数．
(1)当，时，求的分布列；
(2)设，均为自然数．
（i）当时，求；
（ii）当时，证明：．
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