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小升初衔接点--运算与技巧 提升练 2026-2027学年新初一暑期小初中数学衔接
一、单选题
1．计算时，用（ ）计算比较简便．
A．加法结合律 B．乘法分配律
C．乘法交换律 D．乘法结合律
2．张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）．
A． B． C．
3．《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的．
A． B．
C． D．
4．有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适．
A． B． C． D．
二、填空题
5．______．
6．计算：_____．
7．计算：______．
8．计算：______．
9．计算： __________．
三、解答题
10．能简算的要简算．
(1)
(2)
(3)
(4)
11．计算：
12．计算题．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
13．看清题目，巧思妙算．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
14．用灵活而合理的方法计算．
(1)
(2)
(3)
(4)
15．脱式计算．
(1)
(2)
(3)
(4)
16．计算．
(1)
(2)
(3)
17．计算题．
(1)
(2)
(3)
(4)
18．求1+2+22+23+…+22016的值，
令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017，
因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1．
参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值．
19．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：
1，1，2，3，5，8，13，21，…
计算：这样的算式时有简便方法吗？
小桂遇到这个问题时，想到用“数形结合”的方法来探索，他以这组数中的各个数作为正方形的边长构造成正方形，再拼成图中的长方形．
图形 …
算式 …
序号 ① ② ③ ④ …
(1)观察上面的图形和算式，把下面的算式补充完整．
（ ）×（ ）．
（ ）×（ ）．
(2)按此规律继续拼长方形，序号（ ）对应的长方形的面积数是1870．
参考答案
题号 1 2 3 4
答案 D B D A
1．D
【分析】本题考查有理数的运算与技巧，观察算式中的三个分数，发现第二个分数和第三个分数相乘时，分母和分子可以约分，从而简化计算．此时需要运用乘法结合律，将后两个分数先结合相乘即可．
【详解】解：原式为，
根据乘法结合律，将后两个分数结合：，
约分后得：，
通过改变乘法的结合顺序简化了计算，因此使用乘法结合律最简便，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了乘法运算的灵活应用，以及通过分解、转化等方法解决实际问题的能力，解题的关键是在避免直接使用数字“9”的情况下，等价表示．据题意，由于计算器的“9”键损坏，需将转换为不含数字9的表达式进行计算，同时验证各选项是否与原式等价．
【详解】解：选项A、，计算正确，故此选项不符合题意；
选项B、正确拆分应为，但选项B直接减去0.1，无法得到正确答案，故此选项符合题意；
选项C、根据乘法结合律，，计算正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了分数除法的计算方法，根据《九章算术》的方法，分数除以分数需先通分使分母相同，再将分子直接相除，熟练掌握通分和分子直接相除的方法是解题的关键．通过以上知识点，逐个选项进行分析，判断是否符合此步骤．
【详解】解：选项A：将分数转化为小数后计算，未通分，不符合题意；
选项B：通过乘以倒数计算，属于常规分数除法，未通分，不符合题意；
选项C：通过分子分母同乘一个数使除数变为1，属于商不变规律的应用，未通分成同分母，不符合题意；
选项D：将和通分为和，再直接相除分子9和8，完全符合题目所述方法；
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查乘法结合律、乘法分配律，将原式变形，即可求得答案．
【详解】A．，不含数字，该选项符合题意；
B．，含数字，该选项不符合题意；
C．，方案与原式不相等，该选项不符合题意；
D．，方案与原式不相等，该选项不符合题意．
故答案为：A．
5．
【分析】本题考查了有理数四则混合运算，先算括号里面的加法和减法，发现得出来的分数正好可以约分．在分数的巧算中，乘除法最主要的简便运算就是能约分．
【详解】解：
．
6．
【分析】本题考查了分数四则运算的简算，把应用乘法分配律展开，再把、、展开成整数和分数的和，然后整数和整数一起简算，分数和分数一起简算，再结合减法的性质解答，灵活应用乘法分配律、减法性质是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
7．135
【分析】本题考查了有理数四则混合运算，可以将分成，再利用乘法的分配律，通过约分恰好是整数．同理将可以分为，可以分为，最后利用分配律得出几个整数相加．
【详解】解：
．
8．
【分析】本题考查了有理数加法运算，分数加法，先通分再计算即可．
【详解】
,
故答案为：．
9．
【分析】解答本题的关键是找出算式的特征：把分子和分母改写成两个因数相乘的形式．将分数的分子与分母分别写成两个因数相乘的形式，通过先约分再进行计算．
【详解】解：
．
故答案为：．
10．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查运算定律与简便运算，四则混合运算．
（1），将分数化成小数，将除法改写成乘法，将转化为，利用乘法分配律进行简算；
（2），将转化为，转化为，转化为，转化为，转化为，中间抵消，最后计算即可；
（3），第一个小括号先算除法，交换减数和加数的位置再计算，优先算出两个小括号里的，再算中括号里的除法，最后算括号外的除法；
（4），将拆成，根据假分数的分子＝带分数的整数部分×分母＋分子，将写成假分数的形式，先不计算，除以一个数等于乘这个数的倒数，将除法改写成乘法，利用乘法分配律进行简算，经过转化，最终左边算式结果是，右边的除法算式得到，据此进行简算；
解题的关键是掌握相应的运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
11．
【分析】本题考查了有理数的混合运算，设，，则原式，把这个式子化简即可求解，利用换元法解答是解题的关键．
【详解】解：设，，则
原式
，
，
，
．
12．(1)100
(2)90
(3)2018
(4)
(5)
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算．
（1）按照带括号的四则混合运算法则，要先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的，有中括号和小括号的要先算小括号再算中括号；
（2）按照带括号的四则混合运算法则，要先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的，有中括号和小括号的要先算小括号再算中括号；
（3）利用乘法分配律及乘法分配律的逆运算进行简便运算，注意计算过程中，根据数字40．36和20．18的特点，将40．36写成20．18×2的形式；
（4）观察数字特点结合数据之间的倍数关系，将改写成，将改写成，再利用乘法分配律的逆运算进行简便运算．
（5）观察数据，，，……，可总结出规律①；又，，……则总结出规律②；据此计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
．
13．(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（）根据有理数的加减乘除运算法则和运算顺序即可求解；
（）根据有理数的加减乘除运算法则和运算顺序即可求解；
（）小数、分数、整数的四则混合运算的法则都是有括号的先算括号，无括号的先算乘除后算加减．先将小数变成分数，带分数变成假分数，再将除法转换成乘法，除以一个数（除外）相当于乘这个数的倒数．能约分的要约分；
（）利用乘法的分配律和简便方法即可求解；
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
14．(1)
(2)100
(3)1
(4)5050
【分析】本题考查了乘法公式的有理数混合运算，含乘方有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先根据带分数化为假分数的方法，将算式变为，再将算式变为，根据乘法分配律，将算式变为，然后计算出括号里面的加法，再将除法化为乘法，约分可得，然后将2003拆分为2002＋1，根据乘法分配律，将算式变为，约分可得，再根据带符号搬家，得，然后计算出结果即可；
（2）先把带分数化为假分数，除法化为乘法，然后根据积不变性质，将算式变为，然后将化为假分数，再根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可；
（3）先把382拆分为，然后根据乘法分配律，将算式变为，，加上括号，变为，然后计算出括号里面的减法，最后可得分子和分母都是相同的算式，约分可得结果为1；
（4）两个相邻的数的平方差等于这两个数的和，也就是（n为自然数），将算式变为，然后首尾依次相加，将算式变为进行简算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
15．(1)25.4
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，计算过程中使用乘法分配律等；
（1）利用乘法的分配律，提出25.4．
（2）减法的简便计算，减去两个数的和相当于同时减这两个数．
（3）先将带分数转化为假分数．再分数的除法转化为乘法，除以一个分数等于乘这个数的倒数．能约分的要先约分．分母的数值太大，不需要算出来，可以进行化简转化，将能约分的进行约分后进行计算．
（4）对式子观察发现，可以将式子进行转化，例：发现可以利用乘法的分配律进行简便计算．
【详解】（1）
＝
＝
＝
＝25.4
（2）
＝
＝
＝
＝
（3）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
（4）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
16．(1)1
(2)9
(3)
【分析】本题考查了有理数四则混合运算，有理数乘法运算律，分数四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1），先把把带分数化成假分数，用算式表示分子和分母，即，之后把假分数的分子用乘法分配律，变为，然后计算出括号里面的加法；再根据计算分数除法的计算方法，除以一个数相当于乘这个数的倒数，将算式变为，然后将2020和分母的2020用约分消去，最后算加法即可；
（2），把4．44化成分数，带分数化假分数，再根据分数除法的计算方法，除以一个数相当于乘这个数的倒数，即原式变为，之后再根据乘法分配律即可简便运算；
（3），从第二个分数开始，每个分数的分母可以拆分成2个数相乘，而分子是这2个数的和，据此将分数变为，然后将括号去掉进行简算即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
17．(1)
(2)
(3)
(4)18
【分析】本题考查了运算与技巧：
（1）观察式子，先转化成假分数，但是不要将数的答案算出得数．这样就可以能约分的要约分；
（2）观察分子和分母，发现分子和分母经过分析和转化，可以先约分；
（3）根据式子将式子转化后进行计算；
（4）有小数、带分数、分数的计算，将小数转化为分数，带分数转化为假分数计算；
根据式子的特点进行运算是解题的关键．
【详解】（1）解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝；
（2）解：
＝
＝
＝；
（3）解：
＝
＝
＝
＝
＝；
（4）解：
＝
＝
＝
＝
＝18．
18．
【分析】仿照例题可令，从而得出，二者做差后即可得出结论．
【详解】解：令，
则，
∴
∴．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题意并能找出是解题的关键．
19．(1)5，8，8，13
(2)⑧
【分析】（1）观察图形和算式可知，每个算式的和等于其所对应的长方形的面积，把算式的每个加数去掉平方后排成一组数，它所对应的长方形的宽等于这组数的末项，长方形的长等于这组数末项和前一项的和，所以长方形面积末项数（末项数＋前一项数），据此解答；
（2）根据观察可以发现，①号长方形的面积数是题干中那组数的前2项的数的平方的和，且等于；②号长方形的面积数是题干中那组数的前3项的数的平方的和，且等于；因为，34是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34…的第9项，所以序号⑧对应的长方形的面积数是1870．
【详解】（1）解：由题意得：，
；
（2）解：规律：①号长方形的面积数是题干中那组数的前2项的数的平方的和，且等于；②号长方形的面积数是题干中那组数的前3项的数的平方的和，且等于，
观察数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，尝试计算发现：
34是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34…的第9项，所以序号⑧对应的长方形的面积数是1870；
按此规律继续拼长方形，序号⑧对应的长方形的面积数是1870．
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