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初高衔接点--函数 提升练 2026-2027学年新高一暑期初高中数学衔接
一、单选题
1．已知一次函数与的图象都经过点，且与轴分别交于点和点，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于、两点，若反比例函数的图象与有公共点，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
4．对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而减小
B．函数的图象不经过第三象限
C．函数的图象向下平移4个单位长度得的图象
D．函数的图象与轴的交点坐标是
5．已知反比例函数的图象在第一象限内的值随值的增大而减小，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，点，是图象上两个不同的点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象有公共点，则有（ ）
A． B．
C． D．
9．函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
10．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离t是（ ）
A．3.5m B．4m
C．4.5m D．4.6m
11．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知二次函数，当时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图是一次函数和反比例函数的图象，观察图象写出时，的取值范围是______.
14．一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是______.
15．函数在上的最大值为，则______.
16．如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与y轴交于负半轴．
（1）给出四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论的序号是________；
（2）给出四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论的序号是________．
17．二次函数在上的最大值是_______.
18．抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标为________．
三、解答题
19．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点和点.

(1)求反比例函数的表达式和、的值；
(2)若、两点关于直线对称，请连接，并求出直线与线段的交点坐标.
20．（1）说出函数的图象如何变换可以得到函数的图象，并作出函数的大致图象；
（2）利用（1）中函数的图象，求函数在上的最值.
21．已知一次函数，随的增大而增大.
(1)求的取值范围；
(2)如果这个一次函数又是正比例函数，求的值；
(3)如果这个一次函数的图象与轴正半轴有交点，求的取值范围.
22．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接.

(1)求的值和反比例函数的表达式；
(2)直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？
23．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线上，并且图象经过点，求二次函数的解析式；
24．如图，已知二次函数的图象经过两点．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求的面积．
25．根据下列条件，求二次函数的解析式．
(1)图象经过点，，；
(2)当时，函数有最小值5，且经过点；
(3)函数图象与x轴交于点和点，并与y轴交于点．
26．已知二次函数在上的最大值为4，求实数a的值．
27．二次函数的顶点M是直线和直线的交点．
(1)用含m的代数式表示顶点M的坐标；
(2)①当时，的值均随x的增大而增大，求m的取值范围；
②若，且x满足时，二次函数的最小值为2，求t的取值范围；
(3)试证明：无论m取任何值，二次函数的图象与直线总有两个不同的交点．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D C B B A A B
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】根据函数与y轴的交点得出坐标，再结合面积公式计算求解.
【详解】一次函数的图象经过点，则，故该一次函数为，
其图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，则，
故该一次函数为，其图象与轴交于点，所以的面积为.
故选：C.
2．B
【分析】由一次函数的图象性质可得结果.
【详解】因为正比例函数的函数值随的增大而减小，所以，
所以是逐渐上升的，且与轴交点在轴的负半轴.
只有选项B符合题意，
故选：B.
3．A
【分析】求出点、的坐标，讨论反比例函数的图象与的公共点所在的边，分别计算的取值范围，由此可得结果.
【详解】当时，，，
当时，代入可得，.
设反比例函数的图象与线段的公共点为，则，此时.
设反比例函数的图象与线段的公共点为，则，此时.
设反比例函数的图象与线段的公共点为，
则，
当时，值最小，最小值为，当时，值最大，最大值为，此时.
综上得，的取值范围是.
故选：A.
4．D
【分析】由一次函数的图象性质和图象变换逐项分析即可.
【详解】对于A，一次函数中，，函数值随自变量的增大而增大，故A错误；
对于B，一次函数中，，，函数图象经过一二三象限，故B错误；
对于C，函数的图象向下平移4个单位长度得的图象，故C错误；
对于D，令，则，此函数的图象与轴的交点坐标是，故D正确.
故选：D.
5．C
【分析】由反比例函数和一次函数的图象性质可得结果.
【详解】反比例函数的图象在第一象限内的值随值的增大而减小，
，
一次函数的图象经过一二四象限，不经过第三象限.
故选：C.
6．B
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的正比例函数的两个交点一定关于原点对称.
【详解】正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
两函数的交点关于原点对称，
一个交点的坐标是，
另一个交点的坐标是.
故选：B.
7．B
【分析】由题设易得，设，分析可得值随值的增大而减小，进而求解即可.
【详解】当时，；
当时，，
.
设，则，，
，，
，
设，，
则，即，
中值随值的增大而减小，
，
即的取值范围是.
故选：B.
8．A
【分析】由于一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像有公共点，所以可得，然后分，和三种情况讨论求解即可
【详解】要一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像有公共点，则，
（1）当时，如图所示，一次函数与反比例函数的图像在第一象限内一定有交点，所以，
（2）当时，如图所以，一次函数与反比例函数的图像在第一象限内一定有交点，所以
（3）当时，则由，得，所以，得，所以，
综上，，
故选：A
9．A
【分析】确定方程的解的个数即可得．
【详解】，，方程无实根，
∴函数函数y＝－x2＋x－1图象与x轴无交点，交点个数为0．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象与轴的交点问题，由方程的解的个数确定交点个数是基本方法．
10．B
【分析】根据二次函数的性质，代入求解即可.
【详解】篮环的纵坐标为，令，得（舍去）．
．
故选：B.
11．C
【分析】二次函数图象得到的符号，由此可知一次函数和反比例函数的图像，结合图像即可确定正确选项.
【详解】观察二次函数图象可知：，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限．
故选：C．
12．B
【分析】根据二次函数的性质求解即可.
【详解】由二次函数，开口向下，对称轴为，
则当时，y随着x的增大而减小，且时，，
所以y的取值范围是.
故选：B.
13．或
【分析】根据函数图像确定不等式的解集即可.
【详解】根据图象，可知一次函数和反比例函数的图象有两个交点，
且交点横坐标为和，
所以满足的的取值范围是或.
故答案为：或.
14．
【分析】若函数的图象经过第一、二、三象限，则，由此可以确定的取值范围.
【详解】因为一次函数的图象经过第一、二、三象限，
则，解得.
故答案是：.
15．
【分析】按照和分类判断出函数在上的单调性，即可得出函数的最值，利用最值列式求解即可.
【详解】易知，是由向左平移1个单位得到，
当时，即在上单调递减，
所以在上单调递减，
所以，解得，与矛盾；
当时，即在上单调递增，
所以在上单调递增，所以，解得.
故答案为：.
16． ①④ ②③④
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，决定抛物线的开口方向和大小；当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②和共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左侧；当与异号时，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于；
（1）根据抛物线开口向上对①进行判断；根据抛物线对称轴在轴右侧对②进行判断；根据抛物线与轴的交点在轴下方对③进行判断；根据时，对④进行判断；
（2）有（1）得到，，，则可对①进行判断；根据可对②进行判断；把点和代入解析式得，整理有，则可对③进行判断；根据，可对④进行判断．
【详解】解：（1）抛物线开口向上，
，所以①正确；
抛物线对称轴在轴右侧，
，
，所以②错误；
抛物线与轴的交点在轴下方，
，所以错误；
时，，
，所以④正确，
正确的序号为①④；
（2），，，
，所以①错误；
，
，所以②正确；
抛物线过点和，
，
，，所以③正确；
，
而，
，所以④正确．
正确的序号为②③④，
故答案为：①④；②③④．
17．19
【分析】配方，结合二次函数性质可求结论.
【详解】，其中，
所以当时，函数取最大值，最大值为.
故答案为：.
18．
【分析】把交点坐标代入抛物线解析式求的值，令可得答案．
【详解】把点代入抛物线中，得，
所以，
令，即，得，
所以抛物线与轴的另一个交点的坐标是．
故答案为：．
19．(1)，
(2)图像见解析，
【分析】（1）将点坐标代入函数解析式求出，将点坐标与点坐标代入一次函数解析式即可求得、.
（2）根据对称关系，求出、的中点即可.
【详解】（1）点在反比例函数（为常数，）的图象上，
，反比例函数解析式为.
把点、分别代入中，
有，，解得：，.
（2）连接，设线段与直线相交于点，如图所示.
、两点关于直线对称，
点为线段的中点，
点、，点的坐标为.
直线与线段的交点坐标为.
20．（1）答案见解析，图像见解析；（2），
【分析】(1)根据函数图象平移规律得到函数的图象；
(2)结合函数图象的单调性求出函数在给定区间上的最值.
【详解】（1）将函数的图象向左平移一个单位就可得到的图象，大致图象如图所示.
（2）根据（1）问所画图象知，当时取最大值，即.
当时，取最小值，即.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据一次函数的增减性求解；
（2）由正比例函数的定义求解；
（3）根据题意，得从而得解.
【详解】（1）因为随的增大而增大，所以，解得.
所以的取值范围是.
（2）如果这个一次函数是正比例函数，那么
解得.
（3）因为随的增大而增大，且一次函数的图象与轴正半轴有交点，
那么解得，
所以的取值范围是.
22．(1)，
(2)
【分析】（1）先求出点，代入反比例函数表达式即可求解；
（2）先求出点，的坐标，然后得，然后利用二次函数性质求解最大值即可.
【详解】（1）直线经过点，，，
反比例函数经过点，，，反比例函数的解析式为.
（2）由题意，在中，当时，点的坐标为，
在中，当时，点的坐标为，
，，
，
时，的面积最大.
23．
【分析】将二次函数的解析式设为顶点式，再利用二次函数的最大值以及图象的顶点在直线上，可求得顶点的坐标，再将点代入即可求解.
【详解】设二次函数解析式为，
二次函数的最大值为2，，
图象的顶点在直线上，，则，
二次函数顶点坐标为，
将其代入得，，
再将点代入解得，
所以二次函数解析式为：．
24．(1)
(2)6
【分析】（1）把、代入二次函数的解析式求得，即可得解.
（2）先求出二次函数的对称轴直线，进而求出点的坐标C，然后利用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）把、代入得：，
解得，
这个二次函数的解析式为．
（2）该抛物线的对称轴为直线，点C的坐标为．
，
．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设二次函数的解析式为，利用待定系数法即可求解；
（2）设二次函数的解析式为，代入点即可求解；
（3）设二次函数的解析式为，代入点即可求解.
【详解】（1）设二次函数的解析式为，
则，
所以二次函数的解析式为；
（2）根据题意，可设二次函数的解析式为．
因为图象过点，所以，解得．
所以二次函数的解析式为；
（3）根据题意，可设二次函数的解析式为，
因为函数图象与轴交于点，
所以，
．
26．或．
【分析】分和讨论函数的单调性，求函数的最大值，从而求的值.
【详解】函数为二次函数，．
，对称轴为．
（1）当时，由二次函数的图象可知，函数在上，随的增大而减小，函数在上，随的增大而增大，所以当时，函数有最大值，．
（2）当时，由二次函数的图象可知，函数在上，随的增大而增大，函数在上，随的增大而减小，所以当时，函数有最大值，，．
综上可得或．
27．(1)
(2)①；②
(3)证明见解析
【分析】（1）已知直线和直线，列出方程求出，，即可求出点的坐标；
（2）①根据题意得出，解不等式求出的取值；
②当时，当时，二次函数，解不等式组即可求得的取值范围；
（3）根据一元二次方程根的判别式进行判断．
【详解】（1）由题意得，解得，
；
（2）①根据题意得，解得，
的取值范围为；
②当时，顶点为，
抛物线为，函数的最小值为2，
满足时，二次函数的最小值为2，
，
解得；
（3），
得，
，
抛物线的顶点坐标既可以表示为，又可以表示为．
，，
，
，
，
无论取任何值，二次函数的图象与直线总有两个不同的交点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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