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初高衔接点--数与式 提升练 2026-2027学年新高一暑期初高中数学衔接
一、单选题
1．已知点，若点到两坐标轴的距离相等，则的值为（ ）
A．5或 B．或 C．5或 D．或
2．若 则等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若使分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．估计的值在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
6．若、均不为0，将下列分式中的、的值都变为原来的2倍，则分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64
二、填空题
8．若，则_____．
9．已知，则的值是____________．
10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为_______．
11．已知，，则_____．
12．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
三、解答题
13．先化简，再求值：，其中，．
14．已知关于x的一元二次方程的两根，满足，求m的值．
15．先化简，再求值：，其中．
16．【实践操作】
如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）．
（1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______．
【应用探究】
（2）根据（1）中的公式解决如下问题：
①简便计算： ；
②计算：．
17．将两数和（差）的完全平方公式，通过适当的变形，可以解决很多数学问题．
(1)已知 ，，则______；
(2)两块完全相同的直角三角板（）如图所示放置，其中 ， ， 在一条直线上，连接 ， ．若，，求一块三角板的面积；
(3)若 满足，求的值；
18．在计算多项式乘法时，，发现中间多项都可以消掉，进而得到，大家给这个式子起名叫作“立方和公式”，那么就可以利用“立方和公式”进行分解因式，．如果将转化为，就会得到，整理得，那么这个式子就应该叫作“立方差公式”了．
(1)请你利用“立方和公式”和“立方差公式”完成下列等式：
①分解因式：_____；②填空：（_____）；
(2)计算：_____；
(3)若，，求的值．
19．材料阅读题：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化．
例如：；．
观察上面解题过程，并回答下列问题：
(1)________；
(2)若a是的小数部分，化简；
(3)利用上面的解法，请化简：．
20．定义：任意两个数，，按规则得到一个新数，称所得的新数为数、的“传承数”．
(1)若，，求，的“传承数”；
(2)若，，且，求，的“传承数”．
21．数学活动课上，老师给每个学生准备了如图1所示的A、B、C三种纸片若干，让学生们利用这些纸片摆出不同的长方形，通过长方形面积快速得到整式乘法计算结果，从而发现某些特殊结论．
(1)嘉嘉用以上三种纸片摆出了如图2所示的图形，请根据图形直接写出的计算结果为______．
(2)琪琪想摆出一个长方形，来验证，通过计算说明她需要三种纸片各多少张．
(3)如图3，小亮从纸片A的一角裁出一张纸片B，然后将剩余部分沿虚线剪开，拼成右图所示长方形．
①请根据图形直接写出______；
②为了计算方便，我们经常把一些特定运算转化成的形式，并利用①的结论完成计算．如：．仿照上述过程计算：．
(4)拓展应用：
直接写出的结果为______．（用幂的形式表示）
22．某校科技节将举办机器人表演展示活动，学校购置的小型智能机器人可按预设程序排列成各种方阵表演，数学科技社团需要从数学角度研究方阵的排列规律和优化设计．机器人排成一个正方形方阵进行展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式．
【项目启动·基础探究】
机器人第一环节排成实心方阵，已知最外层每边有 个机器人．
（1）当时，这个方阵共有机器人 个；
（2）用含 的代数式表示实心方阵中机器人的总数为 个；
【项目深入·规律探究】
第二环节是“空心方阵”造型．空心方阵是指最外层每边有 个机器人，中间留出一个空心区域．
（3）当空心区域为，且 时，空心方阵的机器人总数为 个；
（4）当空心区域为，且 时，用含 的代数式表示空心方阵机器人总数为 个；
【项目拓展·实际应用】
学校共有 个机器人，现要排出一个空心方阵（中间留出的空心区域），要求：
（i）最外层每边机器人数必须是偶数（便于对称排列），
（ii）最外层每边机器人数不少于 个且不超过 个，
（5）满足条件的方阵方案共有 种，其中使用机器人数量最多的方案需要 个机器人．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B B C A C A B
1．B
【详解】∵点 到两坐标轴的距离相等，
∴，
分两种情况讨论：
①当 时，即，解得；
②当时，即，则，解得；
综上，的值为或．
2．B
【详解】∵，
根据完全平方公式展开得 ：，
∴，
移项化简得： .
3．C
【分析】由完全平方公式、立方和公式、立方差公式、两数差立方公式逐项分析即可.
【详解】因为完全平方公式．
立方和公式；
立方差公式；
两数差立方公式．故C正确.
故选：C.
4．A
【详解】 分式有意义的条件是分母不为，
， 解得．
5．C
【分析】由根式的定义求解即可.
【详解】，
∵，
∴，
∴，即原式的值在5到6之间．
6．A
【详解】对于A，，A是；
对于B，，B不是；
对于C，，C不是；
对于D，，D不是．
7．B
【分析】利用平方差公式分解因式，即可得解.
【详解】
，
∴能被65和63整除，
∴这两个整数是63和65．
8．或
【详解】因为，所以，
即，
解得或．
9．6
【分析】使用换元法设，代入原式结合二次函数求解即可.
【详解】设，则 ，，
则原式为，
即，
即，
整理得，即.
10．54
【详解】解：由勾股定理，得，
∵，∴，
∴，∴，
∴每个直角三角形的面积为．
11．/0.5
【分析】将已知两个等式展开，再相减，即可求出的值.
【详解】根据完全平方公式展开已知等式，得：
①，
②，
由①-②得：，整理得，
所以．
12．
【详解】∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得.
13．化简为，对应值为
【详解】
，
当，时，原式．
14．4或
【分析】由，变形为，再利用韦达定理求解.
【详解】∵一元二次方程有两个实数根，
∴且，
即且，解得：且；
∵，
∴，
，
∵，，
∴，
解得：或，
∵且，
∴或．
15．化简结果为，值为．
【分析】通分进行加减运算，因式分解进行乘除运算化简后代入未知数的值求值即可．
【详解】
，
将代入得，
原式
．
16．（1），（2）①90000； ② ．
【详解】（1）图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为：，
则阴影部分的面积可以验证的公式是；
（2）①解：
；
②解：原式
．
17．(1)100
(2)17
(3)10
【分析】（1）利用完全平方公式即可求解；
（2）利用完全平方公式并结合三角形面积公式即可求解；
（3）利用换元法并结合完全平方公式
【详解】（1），，
；
（2）根据题意得： ， ，且与均为等腰直角三角形，
设，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，即一块三角板的面积为17；
（3）设，，则，
，
，
，
，
，即．
18．(1)①；②
(2)
(3)
【详解】（1）①；②；
（2）
；
（3）由条件可知，
∴，
∵，
∴当时，；
当时，；
故的值为.
19．(1)
(2)
(3)22
【详解】（1）.
（2）∵，∴，
∴的整数部分为2，
∴，
∴.
（3）
.
20．(1)
(2)1或
【分析】（1）根据新定义列式计算即可；
（2）由条件化简可求，再结合“传承数”的定义求结论.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，的“传承数”为；
（2）因为，所以，
所以，所以．
因为是，的“传承数”，
所以．
因为或，
所以或，
所以，的“传承数”为或．
21．(1)
(2)需要A纸片6张，B纸片3张，C纸片11张
(3)①；②
(4)
【详解】（1）由题意得图2的面积为，
∴．
（2）由题意得
，
故需要A纸片6张，B纸片3张，C纸片11张．
（3）①根据图3面积公式可得出．
②．
（4）由题意得
．
22．（1） ；（2）；（3） ；（4）；（5） ； ．
【详解】（1）解：当 时，这个方阵共有机器人 个；
（2）解： 阶实心方阵中机器人的总数为个；
（3）解：当 时，空心方阵的机器人总数为 个；
（4）解：当 时，空心方阵机器人总数为个；
（5）解：根据题意得， 为偶数且 ，
学校共有 个机器人，
，解得，
满足条件的 ， ， ， ， ，
当 时， 个，
当 时， 个，
当 时， 个，
当 时， 个，
当 时， 个，
满足条件的方阵方案共有 种，其中使用机器人数量最多的方案需要 个机器人．
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