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初高衔接点--因式分解 提升练 2026-2027学年新高一暑期初高中数学衔接
一、单选题
1．下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．多项式可分解为,则的值分别为（ ）
A．10和-2 B．-10和2 C．10和2 D．-10和-2
3．已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数为（ ）
A．6 B．8 C．4 D．3
4．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．无法确定
5．已知 ，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
6．小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ）
A．2024，2025，2026 B．2025，2026，2027
C．2023，2024，2025 D．2026，2027，2028
7．若满足，则分解因式等于（ ）
A． B．
C． D．
8．分解因式时，李想同学看错了的值，分解的结果是，王敏同学看错了的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
9．多项式 可因式分解成，其中 ， 均为整数，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2023
10．若多项式可因式分解为，其中 、 、 均为整数，则的值是（ ）
A．1 B．7 C．11 D．13
11．以下是解一元二次方程的一种方法：二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把排列为： ，然后按斜线交叉相乘，再相加，得到，若此时满足，那么就可以因式分解为，这种方法叫做“十字相乘法”．那么按照“十字相乘法”可因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
12．若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
13．分解因式：_________．
14．已知，则________．
15．用因式分解法求得方程的根为______.
16．如果，其中，都是正整数，则称为“双数”，为的最佳拆分点．例如：，8为“双数”，2为8的最佳拆分点．若“双数”的最佳拆分点为，“双数”的最佳拆分点为，且，则的值为______．
17．《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式进行改写：按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当时，多项式的值为1008．请参考上述方法，将多项式改写为：__________，当时，这个多项式的值为__________．
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)．
19．已知，求的值．
20．（1）已知，求的值.
（2）已知，求的值.
21．分解因式：
(1)；
(2)；
(3).
22．已知有因式，把它分解因式.
23．先化简，再求代数式的值，其中．
24．对于多项式“”我们可以进行如下分解：
方法一： ． 方法二： ．
参考示例中的方法回答下列问题：
(1)有五张卡片，卡片①为正方形，边长为 ，卡片②为长方形，长为 ，宽为 ，卡片③为长方形，长为 ，宽为 ，卡片④为长方形，长为 ，宽为 ，卡片⑤为长方形，长为，若卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，求卡片⑤的宽．
(2)分解因式：；
(3)若都是正整数，且，求的值．
25．分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如
分解因式：
请你利用分组分解法分解因式：
(1)；
(2)；
(3)若 ， ， 是△ 的三边，当时，判断△ 的形状．
26．已知，，
(1)直接写答案：________；________；________．
(2)根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算下列式子的值：
27．小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法．
(1)请结合小逸同学的方法分解因式：．
(2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由．
28．小陆提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数 ， ，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方．
【举例验证】当 ， ，则．
【推理证明】小陆同学做了如下的证明：
设，
∵ ，是连续的正整数，
∴．
∵，
∴(__________)．
∴一定是正整数的平方数·请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容：
【类比探究】
(1)请你补上小陆同学证明过程的空格所缺内容__________．
(2)小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方，请证明该结论．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A B C B C B B B
题号 11 12
答案 D C
1．C
【分析】根据因式分解的定义来逐一进行判断.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，分解不彻底，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：C.
2．D
【分析】将展开,利用待定系数法可求出的值.
【详解】由题意,,
则,解得.
故选:D.
【点睛】使用待定系数法解题的一般步骤是:
（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.
3．A
【分析】利用韦达定理求解可得.
【详解】令，设其两根为，，
利用韦达定理知：，，
乘积为的两整数有12，；，1；，6；2，；，4；3，共6组.
∴符合条件的整数有6个.
故选：A.
4．B
【详解】∵，∴，即，
∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，
∴，，解得，．
分两种情况讨论：
①若腰长为，底边为，则三边长为，，．
而，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立．
②若腰长为，底边为，则三边长为，，．
而，，满足三角形三边关系．
故的周长为．
5．C
【详解】对所求代数式配方得原式，
，
将代入上式得原式.
6．B
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式可得结论.
【详解】
，
故的计算结果能被2025，2026，2027整除．
7．C
【详解】 ，
得，可得，
将代入 得，可得，
将代入得：．
8．B
【分析】利用因式分解性质分别判断、即可得.
【详解】李想同学看错了的值，分解的结果是，
但是正确，则；
王敏同学看错了的值，分解的结果是，
但是正确，则，
∴.
9．B
【详解】，
又 多项式可因式分解成，
， 或，，
，
10．B
【分析】用十字相乘法分解因式，确定a、b、c的值求解即可．
【详解】因为，
所以，
所以.
11．D
【详解】
∵
∴，故D正确.
12．C
【分析】根据因式分解的“十字相乘法”，二次项的系数分解为，常数项分解为，，，，，共6种情况，从而求出的值.
【详解】根据“十字相乘法”得，
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
所以的值一共有6个．
13．
【分析】根据平方差公式进行化简.
【详解】.
故答案为：.
14．2024
【分析】对式子提取公因式后代入已知得解.
【详解】.
故答案为：
15．或
【分析】将因式分解为，进而求解方程的根即可.
【详解】方程可化为，
所以或，解得或，
所以方程的根为或.
故答案为：或
16．
【分析】结合最佳拆分点的定义得到，结合p和q均为正整数得到和均为整数，且，两者同时为奇数或同时为偶数，结合12的因数对罗列方程组求解即可.
【详解】由题意，“双数”的最佳拆分点为，故；
“双数”的最佳拆分点为，故．
因为，所以，即，
整理得：，
由于p和q均为正整数，故和均为整数，且，两者同时为奇数或同时为偶数，
又12的正整数因数对有：或或，只有同为偶数，
所以，解得，
所以．
17．
【详解】由秦九韶算法的改写方法可得：
，
当时，．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据立方和公式化简求解；
（2）根据平方差公式及立方差公式求解.
【详解】（1）原式；
（2）原式．
19．5
【分析】根据完全平方公式进行化简计算.
【详解】，
，
，
，
（不合题意，舍去），
故．
20．（1）答案见解析；（2）3
【分析】（1）利用因式分解法用表示，再代入计算得解.
（2）利用配方法，结合恒等式求出即可.
【详解】（1）由，得，解得或，
当时，，
当时，.
（2）由，得，
即，解得，，
所以.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）利用十字相乘法或者提取公因式法进行因式分解即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）
22．
【分析】根据给定条件，利用分组分解法及十字相乘法分解因式即得.
【详解】由有因式，
得
.
23．，
【详解】
，
当时，原式
24．(1)
(2)
(3)8
【分析】（1）先求卡片①②③④的面积之和，再对因式分解即可；
（2）直接因式分解即可；
（3）对变形为，再根据整数的性质求解.
【详解】（1）由已知得卡片①②③④的面积之和为
因为卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，且卡片⑤的长为，
所以卡片⑤的宽为．
（2）
．
（3）∵，，
∴ ．
∵ 为正整数，且，
∴，
∴即，
∴．
25．(1)
(2)
(3) 是等腰三角形
【详解】（1）
；
（2）
；
（3），
，
，
，
， ， 是 的三边，
， ，
，
，
，
是等腰三角形．
26．(1)，，
(2)
【详解】（1）由，，
则，
，
；
（2），
把代入得，
原式.
27．(1)
(2)
的形状为等腰三角形，理由如下：
．
由 的三边长关系，
可知，
即 ，
所以 ，即，因此为等腰三角形．
【详解】（1）．
（2）略
28．(1) （或）
(2)设,是连续的正整数，且，
，
，
，
一定是平方数，即任意两个连续正整数的乘积与较小数的差为平方数．
【详解】（1）空格所缺内容为或，理由如下：
设，
∵,是连续的正整数，
∴，
∵，
∴或，
∴一定是正整数的平方数．
（2）略
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