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初高衔接点--分式与不等式 强化练
2026-2027学年新高一暑期初高中数学衔接
一、单选题
1．解分式方程，去分母后的结果是（ ）
A． B．
C． D．
2．用换元法解方程时，最适宜的做法是（ ）
A．设 B．设 C．设 D．设
3．关于的方程产生增根，则的值及增根的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
4．关于的方程的根为，则应取值（ ）
A．1 B．3 C． D．
5．方程可能产生的增根是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．或2
6．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
7．不等式的解是（ ）
A． B． C． D．
8．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．若关于的不等式组的解是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式的正整数解有一个
B．是不等式的一个解
C．不等式的解是
D．不等式的整数解有无数个
11．对于不等式组，下列说法正确的是（ ）
A．此不等式组的正整数解为1，2，3
B．此不等式组的解为
C．此不等式组有5个整数解
D．此不等式组无解
12．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知是方程一个根，求的值_________．
14．去分母解分式方程，分母的最简公分母是_________．
15．不等式的解为______.
三、解答题
16．解不等式：
(1)；
(2).
17．解方程：．
18．试确定实数的值，使关于的方程有增根．
19．解不等式组：并在数轴上表示出不等式组的解.
20．关于，的方程组的解，满足，求的取值范围.
21．已知不等式组的解集是，则的值是多少？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C C B C B B C
题号 11 12
答案 A D
1．B
【分析】结合分式方程去分母的特征求解即可.
【详解】左右同乘以最简公分母，得.
故选：B.
2．D
【分析】结合题设条件特征，分析可得.
【详解】由，
利用换元法，使之变为的方程，故可设，
方程变为，即可求解.
故选：D.
3．A
【分析】应用已知方程化简求解.
【详解】方程两边都乘，得，
∵方程有增根，
∴最简公分母，即增根是，把代入整式方程，得．
故选：A.
4．C
【分析】根据方程的根代入计算求解.
【详解】关于的方程的根为，
则，所以，
则.
故选：C.
5．C
【分析】根据增根的定义求解即可.
【详解】由题意得或，
则原方程可能产生的增根是1或2.
故选：C.
6．B
【分析】求出方程的根，再列式求解.
【详解】解方程，得，且，
而原方程的解为负数，因此，且，
解得，且，
所以的取值范围是且.
故选：B
7．C
【分析】将不等式移项变形后求解即可.
【详解】不等式移项得，，
再两边同时乘以，得.
所以不等式的解为.
故选：C
8．B
【分析】分别求出各不等式的解，然后求出其公共解并在数轴上表示出来即可.
【详解】，由①得：，由②得：.
根据“小大大小中间找”的原则可知不等式组的解集为：.
在数轴上可表示为.
故选：B
9．B
【解析】先求出的解，再与取交集，利用已知条件即可得出结果.
【详解】由题意得：
，
又，且不等式组的解是，
则.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了利用不等式组的解集求参数的问题.属于容易题.
10．C
【分析】根据不等式的解集和不等式的解逐项判断即可.
【详解】不等式的正整数解只有1，故A正确；
不等式的解为，
因为，所以是不等式的一个解，故B正确；
不等式即的解是，故C错误；
不等式的整数解有无数个，故D正确.
故选：C
11．A
【分析】求出不等式组的解，再求出不等式组的整数解，逐项判断即可.
【详解】，解①得，解②得，
所以不等式组的解为，
所以不等式组的整数解为共4个，不等式组的正整数解为1，2，3.
故选：A
12．D
【分析】根据集合的关系可得的范围.
【详解】因为，不等式（1）的解集是：；
不等式（2）的解集是：，
因为，不等式组的解集是，
所以，不等式组的解集在数轴上的大致范围，如图所示，

仔细观察数轴，要想保证有公共部分，不等式的解集的部分，必须在的左边或与3相等，因此，的范围应该是：，所以的范围是.
故选：D.
13．
【分析】把代入方程可得答案.
【详解】因为是方程一个根，
所以，解得.
故答案为：.
14．
【分析】将分式方程的分母分解因式，易得各分母的最简公分母.
【详解】由可得，
故该方程的分母的最简公分母是.
故答案为：.
15．或
【分析】分，和三种情况去绝对值符号，即可求解.
【详解】当时，原不等式可变形为，即，解得；
当时，原不等式可变形为，即，不等式无解；
当时，原不等式可变形为，即，解得；
综上所述：原不等式的解为或.
16．(1)
(2)
【分析】（1）法一：分和两种情况去绝对值符号求解即可；法二，利用绝对值的几何意义即可求解；
（2）法一：分和两种情况，结合绝对值的几何意义求解即可.法二：分和两种情况求解即可.
【详解】（1）解法一：当，即时，原不等式可化为，解得；
当，即时，原不等式可化为，解得；
综上所述，原不等式的解为.
解法二：原不等式可化为，解得.
（2）解法一：当，即时，原不等式显然无解；
当，即时，原不等式等价于，解得.
故原不等式的解为
解法二：
或
解得或
故原不等式的解为.
17．．
【分析】先确定最简公分母为，然后方程两边同时乘最简公分母变为整式方程．求解并检验即可.
【详解】原方程可化为，两边同乘以，得，
即整理得，解得或．
检验：把代入，其值不等于0，所以是原方程的解；
把代入，其值等于0，所以是增根．故原方程的解是．
18．或
【分析】方程化为整式方程后求得的根，若使原方程的分母为零，则为增根.
【详解】原方程去分母，两边同时乘以，得，
去括号、移项、合并同类项得，解方程得．
若使方程有增根，只要或即可，故或，即或．
∴当或时，关于的方程有增根．
19．，作图见解析
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解，表示在数轴上即可.
【详解】
解①得：，
解②得：.
则不等式组的解是：.
20．
【分析】解不等式可得，，进而可得，求解即可.
【详解】解方程组，得，；
因为，所以，解得.
所以的取值范围为.
21．
【分析】解不等式①，②，结合不等式组的解集可得，，求解即可.
【详解】不等式组，
不等式①的解集是：；
不等式②的解集是：；
因为不等式组的解集是，
所以且，解得：，；
所以.
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