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初高衔接点--函数 强化练 2026-2027学年新高一暑期初高中数学衔接
一、单选题
1．如图，正方形，，，…照如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，已知点，，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而减小
B．函数的图象不经过第三象限
C．函数的图象向下平移4个单位长度得的图象
D．函数的图象与轴的交点坐标是
3．在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
4．已知反比例函数的图象在第一象限内的值随值的增大而减小，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．若正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，点，是图象上两个不同的点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象有公共点，则有（ ）
A． B．
C． D．
8．已知二次函数的图象如图所示，以下四个结论：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
9．已知二次函数，当时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．设，二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，一条抛物线与轴相交于两点，其顶点在折线上移动，若点的坐标分别为、、，点的横坐标的最小值为，则点的横坐标的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图是一次函数和反比例函数的图象，观察图象写出时，的取值范围是______.
14．一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是______.
15．函数在上的最大值为，则______.
16．二次函数在上的最大值是_______.
17．抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标为________．
三、解答题
18．函数，，求y的最小值．
19．已知二次函数在上的最大值为4，求实数a的值．
20．已知一次函数，随的增大而增大.
(1)求的取值范围；
(2)如果这个一次函数又是正比例函数，求的值；
(3)如果这个一次函数的图象与轴正半轴有交点，求的取值范围.
21．已知一次函数的图象经过点，且与反比例函数的图象交于点.
(1)求一次函数的解析式；
(2)将直线向上平移10个单位长度后得到直线，与反比例函数的图象相交，求使得成立的的取值范围.
22．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接.

(1)求的值和反比例函数的表达式；
(2)直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？
23．二次函数的顶点M是直线和直线的交点．
(1)用含m的代数式表示顶点M的坐标；
(2)①当时，的值均随x的增大而增大，求m的取值范围；
②若，且x满足时，二次函数的最小值为2，求t的取值范围；
(3)试证明：无论m取任何值，二次函数的图象与直线总有两个不同的交点．
24．根据下列条件，求二次函数的解析式．
(1)图象经过点，，；
(2)当时，函数有最小值5，且经过点；
(3)函数图象与x轴交于点和点，并与y轴交于点．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B C B B A C B D
题号 11 12
答案 B C
1．D
【分析】首先根据待定系数法求得直线的解析式，然后求得的坐标.
【详解】的坐标为，点的坐标为，
正方形边长为1，正方形边长为2，
的坐标是，的坐标是，
代入得：，解得：，
则直线的解析式是：.
，点的坐标为，
点的坐标为，，
点的坐标为.
故选：D.
2．D
【分析】由一次函数的图象性质和图象变换逐项分析即可.
【详解】对于A，一次函数中，，函数值随自变量的增大而增大，故A错误；
对于B，一次函数中，，，函数图象经过一二三象限，故B错误；
对于C，函数的图象向下平移4个单位长度得的图象，故C错误；
对于D，令，则，此函数的图象与轴的交点坐标是，故D正确.
故选：D.
3．B
【分析】根据一次函数图像和反比例函数图像性质，判断参数的正负，分别判断各选项，找出正确函数图像.
【详解】由一次函数的图象知，函数图象应从左到右上升，所以先排除C、D；
选项A中，由一次函数的图象知，由反比例函数的图象知，矛盾，所以选项A错误；
选项B中，由一次函数的图象知，由反比例函数的图象知，正确，所以选项B正确；
故选：B.
4．C
【分析】由反比例函数和一次函数的图象性质可得结果.
【详解】反比例函数的图象在第一象限内的值随值的增大而减小，
，
一次函数的图象经过一二四象限，不经过第三象限.
故选：C.
5．B
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的正比例函数的两个交点一定关于原点对称.
【详解】正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
两函数的交点关于原点对称，
一个交点的坐标是，
另一个交点的坐标是.
故选：B.
6．B
【分析】由题设易得，设，分析可得值随值的增大而减小，进而求解即可.
【详解】当时，；
当时，，
.
设，则，，
，，
，
设，，
则，即，
中值随值的增大而减小，
，
即的取值范围是.
故选：B.
7．A
【分析】由于一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像有公共点，所以可得，然后分，和三种情况讨论求解即可
【详解】要一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像有公共点，则，
（1）当时，如图所示，一次函数与反比例函数的图像在第一象限内一定有交点，所以，
（2）当时，如图所以，一次函数与反比例函数的图像在第一象限内一定有交点，所以
（3）当时，则由，得，所以，得，所以，
综上，，
故选：A
8．C
【分析】①由抛物线开口向上可得出的正负，可对①进行判断； ②由抛物线与轴的交点在轴负半轴可得出的正负，可对②进行判断； ③由抛物线与轴有两个交点，可得出的正负，可对③进行判断； ④由抛物线的对称轴在轴右侧，可得出，可对④进行判断.
【详解】①∵抛物线开口向上，∴，结论①正确；
②∵抛物线与轴的交点在轴负半轴，∴，结论②错误；
③∵抛物线与轴有两个交点，∴，结论③正确；
④∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴，结论④错误.
故选：C.
9．B
【分析】根据二次函数的性质求解即可.
【详解】由二次函数，开口向下，对称轴为，
则当时，y随着x的增大而减小，且时，，
所以y的取值范围是.
故选：B.
10．D
【分析】根据二次函数的图象性质，分和分析判断即可.
【详解】若，二次函数图象开口向上，选项C、D与轴交点都在轴负半轴，
令，得，
又，对称轴，C错误，D正确；
若，二次函数图象开口向下，
选项A中，又，
对称轴，A错误，
选项B中，又，，
对称轴，B错误．
故选：D.
11．B
【分析】由题意可得，抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变.首先，当点横坐标取得最小值时，函数的顶点在点，根据待定系数法可确定抛物线的解析式；而点横坐标取最大值时，抛物线的顶点应移动到点，结合前面求出的二次项系数以及点坐标可确定此时抛物线的解析式，进一步能求出此时点横坐标的最大值.
【详解】由题图知：当点的横坐标为1时，抛物线顶点取，设该抛物线的解析式为：，
代入点坐标，得：，解得，
即：点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为：．
当点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取，
则此时抛物线的解析式：，
即与轴的交点为或（舍去），
点的横坐标的最大值为2．
故选：B.
12．C
【分析】二次函数图象得到的符号，由此可知一次函数和反比例函数的图像，结合图像即可确定正确选项.
【详解】观察二次函数图象可知：，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限．
故选：C．
13．或
【分析】根据函数图像确定不等式的解集即可.
【详解】根据图象，可知一次函数和反比例函数的图象有两个交点，
且交点横坐标为和，
所以满足的的取值范围是或.
故答案为：或.
14．
【分析】若函数的图象经过第一、二、三象限，则，由此可以确定的取值范围.
【详解】因为一次函数的图象经过第一、二、三象限，
则，解得.
故答案是：.
15．
【分析】按照和分类判断出函数在上的单调性，即可得出函数的最值，利用最值列式求解即可.
【详解】易知，是由向左平移1个单位得到，
当时，即在上单调递减，
所以在上单调递减，
所以，解得，与矛盾；
当时，即在上单调递增，
所以在上单调递增，所以，解得.
故答案为：.
16．19
【分析】配方，结合二次函数性质可求结论.
【详解】，其中，
所以当时，函数取最大值，最大值为.
故答案为：.
17．
【分析】把交点坐标代入抛物线解析式求的值，令可得答案．
【详解】把点代入抛物线中，得，
所以，
令，即，得，
所以抛物线与轴的另一个交点的坐标是．
故答案为：．
18．答案见解析
【分析】利用二次函数的性质，结合分段讨论，即可得到最小值.
【详解】由，其对称轴为．
（1）当即时，由图知，当时，．
（2）当，即时，由图知，当时，．
（3）当，即时，由图知，当时，．
综上可得：当时， ；当时， ；当时， ．
19．或．
【分析】分和讨论函数的单调性，求函数的最大值，从而求的值.
【详解】函数为二次函数，．
，对称轴为．
（1）当时，由二次函数的图象可知，函数在上，随的增大而减小，函数在上，随的增大而增大，所以当时，函数有最大值，．
（2）当时，由二次函数的图象可知，函数在上，随的增大而增大，函数在上，随的增大而减小，所以当时，函数有最大值，，．
综上可得或．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据一次函数的增减性求解；
（2）由正比例函数的定义求解；
（3）根据题意，得从而得解.
【详解】（1）因为随的增大而增大，所以，解得.
所以的取值范围是.
（2）如果这个一次函数是正比例函数，那么
解得.
（3）因为随的增大而增大，且一次函数的图象与轴正半轴有交点，
那么解得，
所以的取值范围是.
21．(1)
(2)或
【分析】（1）根据B点在反比例函数的图象上求，将两点坐标代入一次函数解析式求解即可；
（2）先求出直线的解析式为，然后作出图象，利用函数图象求出的取值范围.
【详解】（1）点在反比例函数的图象上，，解得，
点的坐标为，
将，两点坐标代入一次函数解析式得解得
一次函数的解析式为.
（2）如图所示，将直线向上平移10个单位长度后得直线的解析式为，

联立方程组，解得或，
由图可知，使成立的的取值范围为或.
22．(1)，
(2)
【分析】（1）先求出点，代入反比例函数表达式即可求解；
（2）先求出点，的坐标，然后得，然后利用二次函数性质求解最大值即可.
【详解】（1）直线经过点，，，
反比例函数经过点，，，反比例函数的解析式为.
（2）由题意，在中，当时，点的坐标为，
在中，当时，点的坐标为，
，，
，
时，的面积最大.
23．(1)
(2)①；②
(3)证明见解析
【分析】（1）已知直线和直线，列出方程求出，，即可求出点的坐标；
（2）①根据题意得出，解不等式求出的取值；
②当时，当时，二次函数，解不等式组即可求得的取值范围；
（3）根据一元二次方程根的判别式进行判断．
【详解】（1）由题意得，解得，
；
（2）①根据题意得，解得，
的取值范围为；
②当时，顶点为，
抛物线为，函数的最小值为2，
满足时，二次函数的最小值为2，
，
解得；
（3），
得，
，
抛物线的顶点坐标既可以表示为，又可以表示为．
，，
，
，
，
无论取任何值，二次函数的图象与直线总有两个不同的交点．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设二次函数的解析式为，利用待定系数法即可求解；
（2）设二次函数的解析式为，代入点即可求解；
（3）设二次函数的解析式为，代入点即可求解.
【详解】（1）设二次函数的解析式为，
则，
所以二次函数的解析式为；
（2）根据题意，可设二次函数的解析式为．
因为图象过点，所以，解得．
所以二次函数的解析式为；
（3）根据题意，可设二次函数的解析式为，
因为函数图象与轴交于点，
所以，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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