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初高衔接点--绝对值和重整式 强化练
2026-2027学年新高一暑期初高中数学衔接
一、单选题
1．不论为何实数，的值为（ ）
A．总是正数 B．总是负数 C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数
2．若是一个完全平方式，则（ ）
A． B． C． D．
3．方程解的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若是一个完全平方式，则（ ）
A． B． C． D．
5．若，则的值为（ ）
A．13 B．26 C．28 D．37
二、填空题
6．方程的解的个数是______个.
7．不等式的解集是_________.
8．若关于的不等式的解集是，则的值是_____．
9．对任意实数，若不等式恒成立，则的取值范围是_______．
10．计算：___．
11．已知，则 ______.
12．已知，则 ___.
13．若，则的值为______.
14．计算：______.
15．如果，且，那么 _____；如果，那么 ______
16．当时，则代数式______.
17．设，如果可取任意实数值，那么的最小值是_____.
18．已知，则 __________.
三、解答题
19．解方程：.
20．解关于的不等式：
21．已知，求的值．
22．已知，，求的值.
23．不等式组恰好有个正整数解，求的取值范围.
24．设， ，试求的值.
25．证明：能被整除.
26．计算
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 A D D C A
1．A
【解析】先将配方可得，即可判断.
【详解】因为，
即的值总是正数，
故选：A.
2．D
【分析】由完全平方式的定义求解
【详解】因为为完全平方式，
所以，得，
故选：D
3．D
【分析】去绝对值解方程即可得到答案.
【详解】当时，方程化为，解得或，均符合；
当时，方程化为，解得或，均符合；
故方程的解是，或，有个解，
故选：D.
4．C
【分析】由条件可得，即可得到答案.
【详解】若是一个完全平方式，
则，所以
故选：C
5．A
【分析】由条件可得，然后可得答案.
【详解】依题意得，则，
故选：A
6．无数
【分析】分和两种情况讨论，去绝对值符号，分别求出所对应的方程的解即可；
【详解】解：当时，方程化为，解得，符合；
当时，方程化为，该方程有无数个解；
故方程的解是，有无数个.
故答案为：无数
7．
【分析】利用绝对值或其几何意义解不等式即可.
【详解】解：，
所以
故不等式的解集是.
从几何的角度，如下图也可得.
故答案为：.
8．-2
【分析】去绝对值，再分类讨论解不等式.
【详解】，
当时，，由于解集是，不满足；
当时， ，由于解集是，
，无解，不满足；
当时， ，由于解集是，
，解得，满足.
所以.
故答案为：-2.
9．
【分析】构造函数y＝|x+1|﹣|x﹣2|，根据绝对值的几何意义，得函数的值域，根据不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞k恒成立，则ymin＞k，构造关于k的不等式，进而得到k的取值范围．
【详解】对任意实数，若不等式恒成立，而表示数轴上的对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，
其最小值为-3，故有，
故答案为．
【点睛】本题考查的知识点是绝对值不等式，其中熟练掌握绝对值的几何意义，并分析出绝对值函数的值域是解答此类问题的关系，本题也可以用零点分段法，将构造的函数表示为分段函数，然后求出值域，但过程较为复杂．
10．/0.5
【分析】应用有理指数幂的运算法则化简求值即可.
【详解】原式.
故答案为：
11．/
【分析】由指数的运算可得答案.
【详解】.
故答案为：.
12．144
【分析】根据给定条件，利用整数指数幂的运算法则变形，再代入计算作答.
【详解】因，所以.
故答案为：144
13．16
【分析】根据平方差公式化简右式即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
所以.
故答案为：16.
14．/
【分析】利用立方差的公式和平方差的公式解答即可.
【详解】解：原式
故答案为：
15． 或.
【分析】去绝对值解方程即可得到答案.
【详解】，且，可得，即；
，则或，解得或，
故答案为：；或.
16．
【分析】解方程可求得的值，然后代值计算可得结果.
【详解】当时，，方程无解；当时，可得，解得.
因此，.
故答案为：.
17．4
【分析】利用绝对值的几何意义即得.
【详解】根据绝对值的几何意义可知，可转化为在数轴上有四点，其对应的值分别为，求一点，使得最小，
当在线段上时，的最小值为，当在线段上时，的最小值为，
故当在线段上时，的最小值是.
故答案为：4.
18．
【分析】先将分解因式，然后带值计算即可.
【详解】
.
故答案为：
19．或
【分析】利用零点分段法将绝对值符号去掉，再解一元一次方程即可；
【详解】解： 当时，方程化为，解得，符合条件；
当时，方程化为，解得，不满足，舍去；
当时，方程化为，解得，符合条件；
综上，原方程的解为或.
20．或
【分析】对绝对值符号里的式子分两种情况讨论，将不等式化为两个不等式组，分别求出各不等式组的解，即可得到原不等式的解集；
【详解】解：原不等式可化为下面两个不等式组来解
①或② ，
不等式组①的解为，
不等式组②的解为，
原不等式的解集为或.
21．1
【分析】由立方和公式计算即可.
【详解】∵，
∴
＝1﹣3xy+3xy＝1；
故答案为：1
【点睛】本题考查化简求值问题，解题的关键是明确题意，会利用公式进行问题的解答．
22．
【分析】首先求出的值，然后可得答案.
【详解】
.
23．
【分析】解出绝对值不等式，通过观察数轴可得答案.
【详解】解不等式得，画数轴可知在与之间，
两个不等式才有个正整数解，的取值范围是.
24．140
【分析】利用立方和公式计算即可.
【详解】.
25．证明见解析
【分析】将化成两个数相乘即可.
【详解】
能被整除.
26．
【分析】，然后利用平方差公式可求解.
【详解】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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