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初高衔接点--数与式 强化练
2026-2027学年新高一暑期初高中数学衔接
一、单选题
1．在数轴上，点P表示的数为x，点Q表示的数为，且 ，则所有满足条件的x的和为（ ）
A． B． C．0 D．1
2．若 则等于（ ）
A． B． C． D．
3．几何直观如图，从腰长为的等腰直角三角形纸片中剪掉一个腰长为的等腰直角三角形，得到一个直角梯形，上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若使分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．估计的值在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
7．若、均不为0，将下列分式中的、的值都变为原来的2倍，则分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
8．若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（ ）．
A．扩大2倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的
9．已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64
二、填空题
10．若，则_____．
11．如图，现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为10；将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为8，则图1的阴影部分面积为___________________ ．
12．已知的值为_____．
13．已知 的两条直角边分别为 ，斜边为 ，若，则 的面积为______．
14．函数中自变量的取值范围是__________．
15．若分式的值为零，则______．
16．已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的值为______．
17．我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积．若，，，则的值为________________．
三、解答题
18．已知，求x的取值范围．
19．先化简，再求值：，其中为方程的解．
20．已知：，，求代数式的值．
21．先化简，再求值：，其中．
22．已知，．
(1)化简；
(2)若，求的值．
23．已知关于x的一元二次方程的两根，满足，求m的值．
24．在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用三种不同的长方形纸片拼成如图①所示的大正方形．
（1）【观察发现】请用两种不同的方法表示出中阴影部分的面积，可得到的等量关系为______；
（2）【问题解决】
①已知，，则xy的值为______；
②已知，求的值；
（3）【拓展应用】将正方形 和正方形 按如图②所示摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分的面积．
25．将两数和（差）的完全平方公式，通过适当的变形，可以解决很多数学问题．
(1)已知 ，，则______；
(2)两块完全相同的直角三角板（）如图所示放置，其中 ， ， 在一条直线上，连接 ， ．若，，求一块三角板的面积；
(3)若 满足，求的值；
26．观察下列等式：
……
(1)①根据以上等式的规律，填空：；
②根据以上等式的规律，填空：，并证明等式成立．
(2)一个水平放置的长方体容器，其容积为，底面积为，装满水的高度为，求 的值．
27．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分解因式的过程如下：
甲： （分成两组） （直接运用公式）． 乙： （分成两组） （提公因式）．
请在他们解法的启发下，分解因式：
(1)；
(2)．
28．图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1可以得到，请解答下列问题：
(1)根据图2，直接写出一个代数恒等式：____ ；
(2)小明同学用图3中张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形，9张边长为的正方形纸片，拼成一个面积最小的正方形，则的值为____；这个正方形的边长为____；(用含、的式子表示)
(3)如图4，是4个边长分别为、、的直角三角形和1个边长为的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系可推导出、、的数量关系式为____；
(4)如图5，直角 中，，，，点是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段 的最小值．
29．某校科技节将举办机器人表演展示活动，学校购置的小型智能机器人可按预设程序排列成各种方阵表演，数学科技社团需要从数学角度研究方阵的排列规律和优化设计．机器人排成一个正方形方阵进行展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式．
【项目启动·基础探究】
机器人第一环节排成实心方阵，已知最外层每边有 个机器人．
（1）当时，这个方阵共有机器人 个；
（2）用含 的代数式表示实心方阵中机器人的总数为 个；
【项目深入·规律探究】
第二环节是“空心方阵”造型．空心方阵是指最外层每边有 个机器人，中间留出一个空心区域．
（3）当空心区域为，且 时，空心方阵的机器人总数为 个；
（4）当空心区域为，且 时，用含 的代数式表示空心方阵机器人总数为 个；
【项目拓展·实际应用】
学校共有 个机器人，现要排出一个空心方阵（中间留出的空心区域），要求：
（i）最外层每边机器人数必须是偶数（便于对称排列），
（ii）最外层每边机器人数不少于 个且不超过 个，
（5）满足条件的方阵方案共有 种，其中使用机器人数量最多的方案需要 个机器人．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A B C C A C A C B
1．A
【详解】∵数轴上两点的距离等于两点所表示数的差的绝对值，
点P表示的数为x，点Q表示的数为，且 ，
∴，整理得，
分两种情况讨论：
当时，解得 ，
当时，解得 ，
则所有满足条件的 的和为 ．
2．B
【详解】∵，
根据完全平方公式展开得 ：，
∴，
移项化简得： .
3．C
【分析】分别计算，和梯形的面积，由此可得，化简可得结论.
【详解】和均为等腰直角三角形，且腰长分别为，
，
，
又阴影部分为直角梯形，，
上底，下底，高，
，
，即．
4．C
【分析】由完全平方公式、立方和公式、立方差公式、两数差立方公式逐项分析即可.
【详解】因为完全平方公式．
立方和公式；
立方差公式；
两数差立方公式．故C正确.
故选：C.
5．A
【详解】 分式有意义的条件是分母不为，
， 解得．
6．C
【分析】由根式的定义求解即可.
【详解】，
∵，
∴，
∴，即原式的值在5到6之间．
7．A
【详解】对于A，，A是；
对于B，，B不是；
对于C，，C不是；
对于D，，D不是．
8．C
【分析】根据分式的性质即可求解．
【详解】将分式中的和都扩大2倍可得，
原分式缩小到原来的．
9．B
【分析】利用平方差公式分解因式，即可得解.
【详解】
，
∴能被65和63整除，
∴这两个整数是63和65．
10．或
【详解】因为，所以，
即，
解得或．
11．/15.5
【分析】利用已知的以及图2得到的可算出，再把图1的阴影部分分割成两部分即可求解.
【详解】解：设正方形甲的边长为a，正方形乙的边长为b.
由题意得，，.
∵，即，
∴.
图1中阴影部分的面积为
．
12．1
【分析】由完全平方公式求解即可.
【详解】
．
13．8
【分析】根据勾股定理结合完全平方公式求得的值，从而求解.
【详解】∵ 中，a，b为直角边，c为斜边，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
由完全平方公式展开得，
∴，
整理得，
∴ 的面积为.
14．且
【详解】由题意得且，解得且．
15．
【详解】∵分式的值为零，
∴，且，
解得，
由得，
∴．
16．
【详解】，
.
的整数部分，小数部分.
将代入，
可得.
17．/
【详解】将，，代入得：
．
18．
【分析】利用绝对值的性质进行求解即可.
【详解】∵，
∴，
解得．
19．，
【分析】根据完全平方公式对原式进行化简变形，再根据已知条件计算求解．
【详解】原式
为方程的解，
，
原式
．
20．
【分析】将分母作有理化处理，再由并代入求值即可.
【详解】由，
且，
∴，
，
，
∴．
21．；
【详解】原式；
当时，原式．
22．(1)
(2)
【详解】（1）；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴．
23．4或
【分析】由，变形为，再利用韦达定理求解.
【详解】∵一元二次方程有两个实数根，
∴且，
即且，解得：且；
∵，
∴，
，
∵，，
∴，
解得：或，
∵且，
∴或．
24．（1）；（2）① ；②；（3）．
【分析】（1）根据阴影部分面积求解；
（2）①应用完全平方公式计算；②换元应用完全平方公式计算求解；
（3）应用面积公式及完全平方公式计算.
【详解】（1）解：如图①中阴影部分的一种表示为：；另一种为：，则．
（2）解：①由（1）可得：，
所以，
∴，
∵，，
∴．
②设，，则，
由（1）知，
∴．
（3）解：由图②可知，阴影部分的面积为
∵，
∴
∵
∴
∴
∴，
∴．
25．(1)100
(2)17
(3)10
【分析】（1）利用完全平方公式即可求解；
（2）利用完全平方公式并结合三角形面积公式即可求解；
（3）利用换元法并结合完全平方公式
【详解】（1），，
；
（2）根据题意得： ， ，且与均为等腰直角三角形，
设，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，即一块三角板的面积为17；
（3）设，，则，
，
，
，
，
，即．
26．(1)①；
②根据以上等式的规律可得，
证明：
；
(2)
【分析】（1）①根据以上等式的规律求解即可；
②根据以上等式的规律求解即可；
（2）根据求解即可.
【详解】（1）①根据以上等式的规律可得；
②略
（2）由题意可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
27．(1)
(2)
【详解】（1）原式
（2）原式
28．(1)；
(2)，；
(3)；
(4).
【分析】（1）图2中大正方形边长为，其面积既可整体表示为，也可分割为3个正方形与6个矩形面积之和，据此建立恒等式；
（2）拼成的正方形总面积为，设边长为展开后比较系数，由项得，取最小正整数，确定及边长；
（3）大正方形面积用两种方法表示：整体得，分割得4个直角三角形与中间小正方形面积之和，联立即得的数量关系；
（4）先由勾股定理求斜边，再根据垂线段最短知当时，取最小值，利用面积法列方程求解.
【详解】（1）由图2可知，大正方形的边长为，
所以大正方形的面积为，
又因为大正方形的面积等于各小图形面积之和，
所以；
（2）设拼成的正方形边长为（，为正整数），
所以正方形的面积为，
又因为正方形面积为，
所以，解得，
所以，，
所以正方形面积最小，所以，所以，，
所以，正方形边长为．
（3）由图4可知，大正方形的边长为，
所以大正方形的面积为，
又因为大正方形的面积等于4个直角三角形与中间小正方形的面积之和，
所以面积，
所以，所以.
（4）在中，，
因为，，所以，
所以点是边上的一动点，
所以当时，最小，
因为，
又，
所以，所以.
29．（1） ；（2）；（3） ；（4）；（5） ； ．
【详解】（1）解：当 时，这个方阵共有机器人 个；
（2）解： 阶实心方阵中机器人的总数为个；
（3）解：当 时，空心方阵的机器人总数为 个；
（4）解：当 时，空心方阵机器人总数为个；
（5）解：根据题意得， 为偶数且 ，
学校共有 个机器人，
，解得，
满足条件的 ， ， ， ， ，
当 时， 个，
当 时， 个，
当 时， 个，
当 时， 个，
当 时， 个，
满足条件的方阵方案共有 种，其中使用机器人数量最多的方案需要 个机器人．
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