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初高衔接点--一元二次方程与系数的关系 强化练
22026-2027学年新高一暑期初高中数学衔接
一、单选题
1．关于的一元二次方程的解的情况，下列说法错误的是（ ）
A．方程必定有两个不相等的实数根
B．若方程有解，则两个解必定异号
C．若，则两根之和为
D．若方程有解，则两个解的和为负数
2．已知关于的一元二次方程满足，那么下列四个判断中正确的是（ ）
A．该方程一定有两个相等的实数根； B．该方程一定有两个不相等的实数根：
C．该方程一定有一个实数根为； D．该方程一定有一个实数根为．
3．在同一平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．且 B．
C． D．且
4．关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知关于的一元二次方程的两实数根之积等于，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
7．已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．175 B．210 C．245 D．365
8．如图，电路中有三个定值电阻，，，且，的阻值（单位:Ω）满足方程，．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是（ ）
A． B． C． D．
9．关于的一元二次方程（，，为常数，且，），下列说法：
①若方程有两个不相等的实数根，则方程也有两个不相等的实数根；
②若方程的一个根为，则必为方程的一个根；
③若方程的两根之积为1，则．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．对于关于的方程，有下列说法：
①若，则方程必有一个根为1；
②当时，方程无实数解；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④一元二次方程有两个相等的实根，则；
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．④
11．已知方程的一根为，则方程的另一根为（ ）
A． B． C． D．3
12．关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C． D．且
二、填空题
13．对于实数a，b定义新运算：．例如：，若关于x的方程没有实数根，则c的取值范围是________．
14．关于的方程的两个根分别为，，若，则___________．
15．已知关于的一元二次方程的两个根互为倒数，则____________
16．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
17．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______．
18．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是______．
19．已知a，b是方程的两个根，则的值______
20．设，是方程的两个实数根，则的值为________．
21．若，且一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________．
三、解答题
22．用适当的方法解下列方程：
(1)（公式法）；
(2)（因式分解法）；
(3)（配方法）．
23．一道作业题，要求用多种方法解方程．
有一位同学出现了如下解法：
解：观察方程可知，是这个方程的一个解，
所以可设原方程为，
即，
所以，，，
求得，，
即原方程为，
可得方程的两个根是，．
请分析这位同学的解法，写出方程所有的根．
24．已知：关于的方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值．
25．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”
(1)通过计算，判断 是否是“倍根方程”．
(2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值．
(3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值．
26．已知关于的方程．
（1）求证：无论取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根满足，求的值及相应的．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D B C A B D D
题号 11 12
答案 A C
1．D
【详解】由，可知，，，
对于A：因 ，
∴方程必有两个不相等的实数根，故A正确；
对于B：因两根之积为，且，∴方程有两异号根，故B正确；
对于C：因为，当时，两根之和为， 故C正确；
对于D： 因为，当时，两根之和为，故D错误．
2．C
【详解】由，显然是方程的一个根，
无法确定是否为方程的根，因此C正确，D错误；
由，得，则，
说明方程可能有两个相等实数根，也可能有两个不相等实数根，因此A、B错误．
3．A
【详解】联立可得，
∵直线与反比例函数的图象有两个公共点，
∴ ，，解得：且 ，
∴实数的取值范围是且 ．
4．D
【分析】已知关于的方程有4个不同的实数解，可以分三种情况讨论：，方程有2个根；且，方程有两个正根；且时，方程有两个负根；分别求出实数a的取值范围即可完成求解.
【详解】时，方程为有两个不同的实数根，不符合题意；
当且时，方程 有个不同的实数根，
∴方程一定有2个不同的正实数根，
∴，
解得：；
当且时，方程 有个不同的实数根，
∴方程 一定有2个不同的负实数根，
∴，
解得：，
的取值范围是．
5．B
【分析】将方程变形为，对照已知方程及其根得出或，即可求解.
【详解】∵关于的方程的根是，
∴关于的方程，即满足或.
解得．
6．C
【详解】∵ 一元二次方程两根之积为，
由题意得，整理得，解得，
又∵ 方程有两个实数根，∴，
当时，，此时方程无实数根，舍去；
当时，，符合题意.
∴的值为．
7．A
【详解】∵，是方程的两个实数根，
∴由一元二次方程根的性质得，整理得，
由根与系数的关系得，
∴．
8．B
【详解】解：∵，的阻值（单位:Ω）满足方程，
∴由一元二次方程根与系数的关系可得：，
则有，
∴，
∴电路中的总电阻为，
∴．
9．D
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断①，将原方程的根取倒数并变号后代入新方程，其等式关系不变即可判断②，根据韦达定理即可判断③.
【详解】①∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，则，
∵ 是一元二次方程，∴，
∴方程 也有两个不相等的实数根，①正确；
②∵是 的根，∴，
两边同除以 （），整理得： ，即 ，
∴ 是方程，的根，②正确；
③根据韦达定理，方程 的两根之积 ，即，故 ③正确．
10．D
【详解】对于①：将代入得，
若，则满足方程，即方程的根为，不是，故①错误；
对于②：当时，方程变为，若，方程有实数解，故②错误；
对于③：是方程的一个根，代入得，整理得，
或，不是一定有，故③错误；
对于④：一元二次方程有两个相等的实根，
，且判别式，即，
对，两边同乘，得，
代入，得，，故④正确.
11．A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求解另一根.
【详解】设方程的两根为，
由根与系数的关系得：.
∵，
∴.
因此方程的另一根为．
12．C
【分析】分类讨论和两种情况，利用根的判别式解决一元二次方程根的问题.
【详解】当，即时，关于的方程可化为，有一个实数根，满足题意；
当时，关于的方程有实数根，
，解得，故且.
综上，的取值范围是．
故选：C.
13．
【详解】∵，
∴，
可得关于的方程为，
整理为标准一元二次方程形式得，
∵方程没有实数根，
∴，解得．
14．10
【详解】解：∵ ，其中 ，，，
∴ ，，
∵ ，即 ，
∴，
∴ ．
15．
【详解】设关于的一元二次方程的两个根分别为，
由根与系数的关系可得 ，
因为方程的两个根互为倒数，
所以，即．
16．
【分析】根据韦达定理得和，再将通分化简即得.
【详解】∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴.
17．
【详解】将原方程整理为一般形式得，
方程的两个实数根为，，
根据根与系数的关系可得，，
已知，
∴，
解得，
∴，
是方程的根，将代入原方程得，
整理得，
将代入得，
将，，代入所求代数式得
，
．
18．
【分析】当时，该方程为一元一次方程；当时，该方程为一元二次方程，根据判别式计算即可.
【详解】当时，方程为，解得：，此时方程有一个实数根；
当时，整理可得：，
由方程有实数根，可得，
解得：且.
综上所述，当时，方程有实数根．
19．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及二次根式的化简求解.
【详解】，是方程的两个根，
由根与系数的关系得，．
，，，．
∴
．
20．0
【分析】根据韦达定理和方程的性质代入计算即可.
【详解】是方程的两个实数根，
，
．
故答案为：0.
21．且
【分析】由题设易得，进而结合一元二次方程根的判别式求解即可.
【详解】由，
则，即，
即一元二次方程有实数根，
所以，解得且.
故答案为：且.
22．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】（1）利用公式法计算求解；
（2）利用因式分解法计算求解；
（3）利用配方法计算求解．
【详解】（1）方程中，
，，，
，
，
解得，．
（2），
则或，
解得，．
（3）已知，
则，
则，
故，
故，
解得，．
23．，，
【详解】将代入方程左边 ，得 ，
因此是原方程的一个根.
设原方程可写为 ，展开得： 对比原方程 的系数，
根据多项式相等对应系数相等，可得，
解得，
因此原方程可化为 ，
可得或，
解得，
对于一元二次方程，判别式 ，由求根公式得：，
综上，方程的所有根为，，.
24．(1)证明：，
∴方程是关于的一元二次方程，
，
∴方程总有两个实数根．
(2)1或3
【分析】（1）通过证明判别式即可求证；
（2）利用求根公式求出两根，再根据根为整数即可求解．
【详解】（1）略
（2）由（1）知，，
则方程的根为，，，
为正整数，且方程的两个根均为整数，
或3．
25．(1)是
(2)0或3
(3)6，4
【分析】（1）解一元二次方程，利用“倍根方程”的定义判断即可；
（2）解一元二次方程，利用“倍根方程”的定义可求的值．
（3）设两根为、，由题意得，进而利用根与系数的关系求解即可.
【详解】（1）∵ ，∴，
∴或，解得，，
，∴方程 是“倍根方程”．
（2）∵，∴，
，，．
若，则，解得 ；
若，则，解得 ；
或 ．
（3）设两根为、，则，
解得，∴，∴方程的两根为2和4．
由根与系数的关系知，，
解得，经检验符合要求.
26．（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【解析】（1）计算根的判别式Δ＝，可得证；
（2）由韦达定理得x1x2＝－≤0，得x1≤0，x2≥0，或x1≥0，x2≤0．分两种情况分别求解可得答案．
【详解】解：（1）因为Δ＝，所以无论取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）∵x1x2＝－≤0，∴x1≤0，x2≥0，或x1≥0，x2≤0．
①若x1≤0，x2≥0，则x2＝－x1＋2，∴x1＋x2＝2，∴m－2＝2，∴m＝4．此时，方程为x2－2x－4＝0，∴，．
②若x1≥0，x2≤0，则－x2＝x1＋2，∴x1＋x2＝－2，∴m－2＝－2，
∴m＝0．此时，方程为x2＋2x＝0，∴x1＝0，x2＝－2．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判断式，根的韦达定理的应用，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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