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初高衔接点--因式分解 强化练 2026-2027学年新高一暑期初高中数学衔接
一、单选题
1．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．无法确定
4．将分解因式，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．分解因式时，李想同学看错了的值，分解的结果是，王敏同学看错了的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
6．多项式 可因式分解成，其中 ， 均为整数，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2023
7．若多项式可因式分解为，其中 、 、 均为整数，则的值是（ ）
A．1 B．7 C．11 D．13
8．若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
9．若分解因式，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．2
10．已知甲、乙、丙均为的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是（ ）
A． B．5 C．1 D．
11．已知两个不为零的实数，满足，其中．则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
12．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，有、、三种不同规格型号的卡片若干张．型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中．从这些卡片中取出张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则的值可以是（ ）
A．20 B．24 C．25 D．28
二、填空题
14．分解因式：___________．
15．若，则的值为______．
16．用因式分解法求得方程的根为______.
17．若多项式，则的值为________．
18．如果，其中，都是正整数，则称为“双数”，为的最佳拆分点．例如：，8为“双数”，2为8的最佳拆分点．若“双数”的最佳拆分点为，“双数”的最佳拆分点为，且，则的值为______．
19．《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式进行改写：按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当时，多项式的值为1008．请参考上述方法，将多项式改写为：__________，当时，这个多项式的值为__________．
三、解答题
20．先化简，再求代数式的值，其中．
21．对于多项式“”我们可以进行如下分解：
方法一： ． 方法二： ．
参考示例中的方法回答下列问题：
(1)有五张卡片，卡片①为正方形，边长为 ，卡片②为长方形，长为 ，宽为 ，卡片③为长方形，长为 ，宽为 ，卡片④为长方形，长为 ，宽为 ，卡片⑤为长方形，长为，若卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，求卡片⑤的宽．
(2)分解因式：；
(3)若都是正整数，且，求的值．
22．小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法．
(1)请结合小逸同学的方法分解因式：．
(2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由．
23．已知算式“”．
(1)当时，计算该算式的结果；
(2)若将算式中的数字“”改为“”，求此时代数式因式分解的结果．
24．数学课上，老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
习题1：因式分解：． 解： ………………第一步 ……………第二步 ……第三步 习题2：因式分解：． 解： ………………第一步 ……第二步 ………………………第三步
(1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的；
(2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．
25．某数学兴趣小组研究发现“十位数之和为10，个位数相等的两个两位数相乘，所得的积具有一定的规律”，并写出了如下等式：
第1组：；
第2组：
第3组：；
……
(1)根据上述运算规律，请将等式补充完整：____________ ______；
(2)设一个两位数的十位数字为整数a（），个位数字为整数b（），请你用含a，b的等式表示上述规律，并进行证明．
26．小陆提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数 ， ，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方．
【举例验证】当 ， ，则．
【推理证明】小陆同学做了如下的证明：
设，
∵ ，是连续的正整数，
∴．
∵，
∴(__________)．
∴一定是正整数的平方数·请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容：
【类比探究】
(1)请你补上小陆同学证明过程的空格所缺内容__________．
(2)小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方，请证明该结论．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B D B B B C D D
题号 11 12 13
答案 A C C
1．B
【详解】因为，所以提取的公因式是，故B正确.
2．B
【详解】根据题意可得．
3．B
【详解】∵，∴，即，
∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，
∴，，解得，．
分两种情况讨论：
①若腰长为，底边为，则三边长为，，．
而，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立．
②若腰长为，底边为，则三边长为，，．
而，，满足三角形三边关系．
故的周长为．
4．D
【详解】解：.
5．B
【分析】利用因式分解性质分别判断、即可得.
【详解】李想同学看错了的值，分解的结果是，
但是正确，则；
王敏同学看错了的值，分解的结果是，
但是正确，则，
∴.
6．B
【详解】，
又 多项式可因式分解成，
， 或，，
，
7．B
【分析】用十字相乘法分解因式，确定a、b、c的值求解即可．
【详解】因为，
所以，
所以.
8．C
【分析】根据因式分解的“十字相乘法”，二次项的系数分解为，常数项分解为，，，，，共6种情况，从而求出的值.
【详解】根据“十字相乘法”得，
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
所以的值一共有6个．
9．D
【分析】展开等式，比对系数，列出等式求解即可.
【详解】已知等式整理得：，
可得，，解得：，，
即的值为.
10．D
【详解】∵甲与乙相乘的积为，
乙与丙相乘的积为，
甲、乙、丙均为的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数，
∴甲为，乙为，丙为，
则甲与丙相减的差为：；
11．A
【详解】∵ ，且，
∴两边同乘，得 ，
展开整理得 ，
因式分解得 ，即
∵ ，
∴ ，可得，
∴，
∴ ；
将代入 得 ，
∵ ，
∴ ，即 ．
12．C
【分析】先对因式分解得到个最简因式，即，代入算出各因式取值后求和，结果就是解码值.
【详解】因为.
所以分解得到个整式，根据定义取.
分别计算各整式的值：，，.
所以解码值为．
13．C
【详解】设取型卡片张，型卡片张，型卡片张，
则所有卡片面积之和为，
设拼成的正方形面积为，
由正方形性质可知，（其中和为正整数），
所以，
即，
又，，均为正整数，
所以，，
故，
即为完全平方数，因此只有符合题意.
14．
【分析】分组因式分解
【详解】．
15．10
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
16．或
【分析】将因式分解为，进而求解方程的根即可.
【详解】方程可化为，
所以或，解得或，
所以方程的根为或.
故答案为：或
17．
【分析】根据因式分解及任意有理数的平方都是非负数求解即可.
【详解】因为，所以，
即，
又，，所以，，
解得，，
故．
18．
【分析】结合最佳拆分点的定义得到，结合p和q均为正整数得到和均为整数，且，两者同时为奇数或同时为偶数，结合12的因数对罗列方程组求解即可.
【详解】由题意，“双数”的最佳拆分点为，故；
“双数”的最佳拆分点为，故．
因为，所以，即，
整理得：，
由于p和q均为正整数，故和均为整数，且，两者同时为奇数或同时为偶数，
又12的正整数因数对有：或或，只有同为偶数，
所以，解得，
所以．
19．
【详解】由秦九韶算法的改写方法可得：
，
当时，．
20．，
【详解】
，
当时，原式
21．(1)
(2)
(3)8
【分析】（1）先求卡片①②③④的面积之和，再对因式分解即可；
（2）直接因式分解即可；
（3）对变形为，再根据整数的性质求解.
【详解】（1）由已知得卡片①②③④的面积之和为
因为卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，且卡片⑤的长为，
所以卡片⑤的宽为．
（2）
．
（3）∵，，
∴ ．
∵ 为正整数，且，
∴，
∴即，
∴．
22．(1)
(2)
的形状为等腰三角形，理由如下：
．
由 的三边长关系，
可知，
即 ，
所以 ，即，因此为等腰三角形．
【详解】（1）．
（2）略
23．(1)
(2)
【分析】（1）将代入得解；
（2）通过提取公因数法求解.
【详解】（1）当 时，
；
（2）根据题意，
．
24．(1)习题1：第二步出现错误；习题2：第一步提出负号出现错误.
(2)
习题1的正确解答过程：；
习题2的正确解答过程：．
【详解】（1）习题1：第二步出现错误，应为；习题2：第一步提出负号出现错误，应为.
（2）选择习题1，正确解答过程如下：
；
选择习题2，正确解答过程如下：
．
25．(1)，3264
(2)
证明：左边
右边，故规律成立．
【分析】（1）根据条件知运算规律为：两个数的十位数字相乘，加上个位数字的值再乘以100，所得值加上个位数值的平方，因此得等式；
（2）将两个两位数表示为和，根据所述规律写出两个数的积，然后两数相乘证明所得结论成立.
【详解】（1）根据前3组的规律可知；
（2）由题意，这两个两位数为，，
用含a，b的等式表示上述规律为．
证明：略
26．(1) （或）
(2)设,是连续的正整数，且，
，
，
，
一定是平方数，即任意两个连续正整数的乘积与较小数的差为平方数．
【详解】（1）空格所缺内容为或，理由如下：
设，
∵,是连续的正整数，
∴，
∵，
∴或，
∴一定是正整数的平方数．
（2）略
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