资源简介

江西省2026年中考数学真题
1．下列图书馆标志不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．2025年是“十四五”规划收官之年，是中国式现代化进程中具有重要意义的一年.我国经济顶压前行、向新向优发展，民生保障更加有力，社会大局保持稳定，第二个百年奋斗目标新征程实现良好开局.经初步核算，2025年国民总收入为1393700亿元.
1393700亿用科学记数法表示为(　　)
A． B．1.3937×106
C． D．
3．如图，已知a∥b，∠1＝40°，则∠2的度数为(　　)
A．40° B．100° C．120° D．140°
4．下列运算正确的是(　　)
A．m＋2m＝3m B． C． D．
5．如图是2020—2024年全国城市声环境功能区昼间、夜间达标率统计图，则下列说法正确的是(　　)
A．2024年夜间达标率较2020年提高了1.2%
B．夜间达标率逐年上升
C．2022年昼间达标率最高
D．昼间达标率逐年上升
6．如图，观察函数. 的图象，可以发现方程. 在0，1之间有根.取0，1的平均数0.5，当x＝0.5时， y＜0，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程.另一根更接近的是
A．－4.5 B．－4 C．－3.5 D．－3
7．有理数－的倒数为　 　.
8．在平面直角坐标系中，将点(2，1)向左平移3个单位长度后得到的对应点的坐标为　 　
9．我国智能制造蓬勃发展，某工厂引进A，B两种型号智能机器来加工某种零件.已知A每小时比B多加工50个零件，A加工1640个零件所用时间与 B加工1230个零件所用时间相等，求A，B每小时各加工多少个零件.设B每小时加工x个零件，可列分式方程为　 　.
10．生活中的剪刀蕴含着数学知识.如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刃、剪柄和指圈.当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刃所在直线与指圈所在半圆相切.已知AC与BD相交于点O， CE为半圆的直径， OC＝9， CE＝6，则此时张角∠AOB的大小为　 　°.
11．如图，在矩形ABCD中， AB＝3， BC＝4， E是边AD上的动点，连接BE，过点C作CF⊥BE 于点F.当△BFC面积最大时， DE 的长为　 　.
12．如图，点P在直线y＝－x＋b(b＞0)上，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB 的面积为1(O为坐标原点).若满足条件的点P有且仅有三个，则点P 的横坐标为　 　.
13．（1）计算：
（2）解不等式：
14．如图，D，E分别在△ABC的边BA，A的延长线上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE＝5，求BC的长.
15．先化简：再从0，1，2中选择一个合适的数作为x代入求值.
16．如图，在8×4的正方形网格中，△ABC的顶点B，C均在格点上， MN 为△ABC的中位线.
（1）请仅用无刻度直尺作∠ABC的平分线，交MN 于点P；(保留作图痕迹)
（2）若网格中小正方形的边长为1，则(1)中BP的长为　 　.
17．如图，AD为⊙O的直径， AD＝4，B， C是⊙O上的点，四边形OABC为菱形.
（1）求的长；
（2）延长AD到点P，使得DP＝2，求证：PC是⊙O的切线.
18．如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽(xùn)、坎、离、艮(gèn)、兑”八个卦象.每个卦象由三个爻(yáo)组成，其中“一”表示阳爻，“－－”表示阴爻.
（1）若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是　 　；
（2）现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率.
19．如图，四边形ABCD是平行四边形， A(－2， m)， B(2，0)， C(0，－1)， 点D在x轴上，反比例函数 的图象经过点A.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）P为边BC上的一点，直线AP交双曲线另一支于点Q，当△ABP 的面积等于□ABCD的面积的时，求点Q的坐标.
20．“以球之名，为城而战”，2025年江西省城市足球超级联赛于7月12日在南昌八一体育场拉开帷幕.赛事的成功举办极大激发了参赛球员和群众的城市归属感，推动了文旅等相关产业的发展.在常规赛阶段，分南北两个赛区，采取赛区内主客场双循环积分制(每两队之间进行两场比赛)，北区共20场比赛，南区共30场比赛.赛制规定：每队胜一场得x分，平一场得y分，负一场得0分.以下是常规赛结束时积分及进/失球个数部分数据.
积分表
北区 胜/平/负 积分 南区 胜/平/负 积分
九江队 4/3/1 15 宜春队 */*/* *
上饶队 */*/* * 赣州队 6/2/2 20
南昌队 3/*/2 m 抚州队 */*/* *
景德镇队 */*/* * 新余队 */*/* *
鹰潭队 */*/* * 萍乡队 */*/* 　
/ / / 吉安队 */*/* 　
根据以上信息解答下列问题：
（1）x＝　 　，y＝　 　，m＝　 　；
（2）分别求两个赛区平均每场比赛进球个数；
（3）现收集了7名球员每个人的进球个数(最多的进7个球)，甲乙两位同学对这组数据进行分析，得到如下结果：甲：平均数为3，极差为4；乙：众数为2，平均数为4.
试分别判断甲乙两人的分析是否有一定的可信度，并说明理由.
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点P在BC的延长线上，将AP绕点A按逆时针方向旋转30°得到AQ，连接CQ，PQ.
（1）求证：BP＝CQ；
（2）若，求BP的长.
22．为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表：
具体问题 利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度
主要工具 无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺
截面示意图
操作步骤 1.在水平地面上选定一个激光发射点A，使A位于土坑上底面直径DE所在的直线上； 2.操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； 3.调整反射镜与水平线的夹角θ，使得从A处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最右端F 处； 4.在线段AD上确定一点B，使得从B处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最左端G 处. (以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内)
测量数据 AB＝18m，DE＝12m，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，θ＝22.5°.
参考数据 sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，≈1.732.
根据以上信息，完成下列任务.(结果精确到0.01m)
（1）：计算点C离水平地面的高度；
（2）：计算∠GCF＝　 　°， ∠BCG＝　 　°；
（3）：计算土坑的深度.
23．如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”.
（1）试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由：
（2）如图1，若与互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为A1，A2，记C1，C2组成的图形为C.
①试猜想a1与a2的数量关系，并证明；
②进一步探究可知C为中心对称图形，请确定C的对称中心的位置；(直接写出结果)
③如图2，若分别为上的点，且四边形.为正方形，求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
A，C，D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故答案为：B.
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此解答即可．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 亿 ．
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】D
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
够答案为：D.
【分析】根据邻补角的定义求得 ，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：选项A： ，A运算正确；
选项B： ，B运算错误；
选项C：，C运算错误；
选项D： ，D运算错误．
故答案为：A.
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘、除法法则逐项判断即可．
5．【答案】B
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】解：A. 2024年夜间达标率较2020年提高了 ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 夜间达标率逐年上升，故该选项正确，符合题意；
C. 2023年昼间达标率最高，故该选项不正确，不符合题意；
D. 昼间达标率先升后降，不是逐年上升，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据条形统计图提取相关信息判断即可.
6．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为，
抛物线与x轴的两交点关于对称轴对称，
令y=0，设方程 的两个根为，（x1，
即0.5<-3-x1<1，
解得-4取 ，
，
当时， ，
在与 之间，
到的距离 ，
到的距离 ，
到的距离小于到的距离，
与另一根更接近的是．
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的对称性得到另一根在-4和-3.5之间，然后去x=-3.75，求出y<0，当x-4时，y>0，即可得到另一根在-4和-3.75之间，据此解答即可．
7．【答案】-2
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：有理数的倒数为．
故答案为：-2.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数解答即可.
8．【答案】(－1，1)
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点向左平移3个单位长度后得到的对应点的坐标为 ．
故答案为： ．
【分析】根据点的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可.
9．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设B每小时加工 个零件，则A每小时加工个零件，依题意得，．
故答案为：．
【分析】设B每小时加工 个零件，则A每小时加工个零件，根据“A加工1640个零件所用时间与B加工1230个零件所用时间相等”列分式方程即可．
10．【答案】150
【知识点】切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，设右半圆的圆心为 ， 与相切于点，连接，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴，
∴ ，
∴ ．
故答案为：150°.
【分析】设右半圆的圆心为 ， 与相切于点，连接，求出圆的半径和OM长 ，根据正弦的定义求出 ，即可求出∠COD的度数．
11．【答案】1
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：如图，设的中点为 ，
∵
∴
∴ 在以为直径的 上运动
∴当 时， 到的距离最大，此时 面积最大，
∴
∴
∵四边形 是矩形，
∴，
∴ ，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
故答案为：1.
【分析】设的中点为 ，根据题意得出 在以为直径的 上，当 时， 到的距离最大，此时 面积最大，得出 ，即可得到是等腰直角三角形，进而可得 ，根据线段的和差解答即可．
12．【答案】1或或
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；平行四边形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，依题意，
∴ 或
∵ 中， ，方程有两个不等实数解，
依题意，满足条件的点有且仅有三个
∴方程 有且只有一个解，
∴
∵
∴
所以方程 ，
∴
∴
∴
解得：
解方程
∴
解得：
综上所述，点的横坐标为1或或，
故答案为：1或或.
【分析】设，根据矩形的面积可得 ，去绝对值可得 或 ，必有两个根，根据满足条件的点有且仅有三个，即可得到有两个相等实数根，利用根的判别式为0求出的值，然后代入解一元二次方程求出x的值解答即可．
13．【答案】（1）解：原式
＝1.
（2）去分母：3x－1＜2x，
移项：3x－2x＜1，
合并同类项：x＜1.
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）先运算负整数指数幂、乘方和绝对值，然后加减解答即可；
（2）利用去分母、移项、合并同类项解不等式即可.
14．【答案】∵DE∥BC，
∴∠B＝∠D，∠C＝∠E，
∴△ABC∽△ADE，
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据平行线得到∠B＝∠D，∠C＝∠E，即可得到△ABC∽△ADE，根据对应边成比例解答即可.
15．【答案】解：原式＝
＝x＋1.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算括号内分式的通分，然后把除法化为乘法，因式分解约分，然后根据分式方程有意义的条件得到x的值，代入计算即可.
16．【答案】（1）作图如图所示.
（2）
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：取格点H，由网格可知，
， ，
∵ ， ，
∴
∴
∴．
【分析】（1）取线段与网格线的交点Q，连接BQ交MN于点P，则点P即为所作；
（2）取格点H，则有 ， ，根据角平分线的定义得到 ，根据余弦的定义求 的长即可．
17．【答案】（1）连接OB.

∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，AB∥OC.
又∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形.
∴∠A＝60°，∴∠AOC＝120°.
（2）证明：连接CD.
由(1)可得∠COD＝60°，
∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OD＝2，∠OCD＝∠ODC＝60°.
∵DP＝2，∴DP＝CD，∴∠DCP＝∠P＝30°.
∴∠OCP＝∠OCD＋∠DCP＝90°，
∴PC是⊙O的切线.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；切线的判定；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OB.根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形，即可得到∠A=60°，然后根据平行线的性质求出∠AOC的度数，再根据弧长公式计算即可；
（2）根据（1）可得△COD是等边三角形，即可得到∠ODC=∠OCD=60°，再根据等边对等角和三角形的外角得到∠PCD=30°，即可得到∠OCP=90°，即可证明结论.
18．【答案】（1）
（2）解：记“乾、坤、震、巽”分别为， ， ， ．
列表法：
第一卦象 第二卦象
树状图：
由表或树状图可得，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．
其中满足条件的结果有：，，，，，共6种．
所以所求概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解： 共有八个卦象，只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个，
∴从中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）记“乾、坤、震、巽”分别为， ， ， ，根据列表法或画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
19．【答案】（1）如图，过点A作AM⊥x轴于点M.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADM＝∠CBO，
∴△ADM≌△CBO(AAS).
∴AM＝CO＝1，∴A(－2，1).
∴k＝(－2)×1＝－2，
∴反比例函数的表达式为
（2）∵△ABP的面积等于 ABCD的面积的，
∴P为BC的中点，
∴P的坐标为
设直线AP 的表达式为y＝ ax＋b，
则，解得
∴直线AP的表达式为即直线AP经过坐标原点，
由中心对称可得Q(2，－1).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象的对称性；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）过点A作AM⊥x轴于点M，然后根据平行四边形的性质，利用AAS得到△ADM≌△CBO，即可得到点A的坐标，代入反比例函数的解析式求出k的值即可；
（2）根据题意得到P为BC的中点，根据中点坐标公式求出点P的坐标，然后利用待定系数法求出直线AP的解析式为即可得到点Q与点A关于原点对称，求出Q点坐标即可.
20．【答案】（1）3；1；12
（2）∵各赛区总进球数与失球数相等，∴北区总进球数为7＋4＋7＋10＋15＝43，
北区平均每场比赛进球个数为
∵南区总进球数为116＋17＋8＋8＋15＋11＝75，
南区平均每场比赛进球个数为
（3）甲的数据分析不可信，理由如下：
∵至少有1个7，极差为4，∴最小数为3，则平均数大于3，与平均数为3相矛盾.
乙的数据分析有一定的可信度，如①2，2，2，3，5，7，7；②2，2，2，3，6，6，7；③2，2，2，4，5，6，7；④2，2，2，2，6，7，7；⑤2，2，2，4，4，7，7.(只要列举其中一组数据说明即可)
【知识点】平均数及其计算；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；二元一次方程组的实际应用-积分
【解析】【解答】解：(1)依题意得解得
∵常规赛中，北区每队比赛的场次为8场，∴南昌队3胜3平2负，
∴m＝3×3＋3×1＋2×0＝12.
故x＝3，y＝1，m＝12.
故答案为：3；1；12；
【分析】（1）根据表格中九江队和赣州队的比赛胜负情况和积分情况列二元一次方程组，求得 的值，进而根据北区每队比赛的场次为场求出 的值解答即可；
（2）根据各赛区总进球数与失球数相等得出总进球数，利用平均数的定义计算即可；
（3）从平均数，极差，众数的定义分析解答即可．
21．【答案】（1）∵AP绕点A按逆时针方向旋转30°得到AQ，
∴∠PAQ＝30°，AP＝AQ.
∵∠BAC＝30°，
∴∠BAP＝∠CAQ.
∵AB＝AC，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴BP＝CQ.
（2）过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于点H.
∵AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝75°， ∠APQ＝∠AQP＝75°.
∵△ABP≌△ACQ，∴∠ACQ＝∠B＝75°.
∵∠CAP＝15°，∴∠APB＝60°，
∴∠QCH＝30°，∠QPH＝45°.
∴BP＝CQ＝2QH＝4.
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；旋转全等模型；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到∠PAQ＝30°，AP＝AQ，然后根据SAS得到△ABP≌△ACQ，利用全等三角形的对应边相等即可得到结论；
（2）过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于点H，根据等边对等角和三角形的内角和求出∠B=75°，根据全等可得∠ACQ=75°，即可求出∠QCH＝30°，∠QPH＝45°，然后根据正弦的定义求出QH的长，再利用30°的直角三角形的性质解答即可.
22．【答案】（1）如图，连接DE，过点C作CK⊥GF交GF于K，交DE于H，
则
∵∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，
∴BC＝AB＝18.
在Rt△CBH中，
即点C离水平地面的高度约为15.59m.
（2）30；15；
（3）在Rt△CBH中，
∵∠CBH＝60°，
∴∠BCH＝30°.
∴∠GCK＝∠BCH－∠BCG＝30°－15°＝15°，
∴∠CGK＝75°，
∴∠FCK＝∠GCK＝15°，
∴△CGK≌△CFK (ASA)，∴GK＝FK＝6.
在Rt△CGK中，CK＝GK·tan75°≈6×3.732＝22.392，
∴HK＝CK－CH＝22.392－15.588＝6.804≈6.80，即土坑的深度约为6.80m.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；解直角三角形的其他实际应用；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（2）解：如图，
∵ ，
∴
又∵ ，
∴
∴
同理可得 ，
∴
．
故答案为：30；15；
【分析】（1）连接 ，过点作 交 于 ，交 于，即可得到 ，根据三角形的外角求出，即可利用等角对等边得到 ，在 利用正弦的定义求得的长解答即可；
（2）根据光的反射原理得出 ，即可求出 ， ，进而根据角的和差求出∠GCF的度数即可；
（3）根据ASA得到，根据对应边相等得到 ，在中根据正切的定义求出长，然后根据线段的和差解答即可．
23．【答案】（1）解： 与 互为“伴随对称抛物线”，
理由如下：
的顶点为，
将代入 中，得 ，
即 经过．
的顶点为，
将代入 中，得 ，
即 经过．
故 与 互为“伴随对称抛物线”．
（2）① ，证明如下：
∵：与：
∴，，
∵若：与：互为“伴随对称抛物线”，
，，
两式相加得 ．
，
．
②C的对称中心为线段A1A2的中点.
③：， ，
∴ ， ，
：，
∴，，，
如图，设与相交于点，
∵四边形为正方形，
为的对称中心， ，
．
过点作直线 轴，垂足为 ，过点作 ，垂足为．
则，
∴，
∴ ， ．
设，
则，，即，．
又，
，．
∵点在上，
，化简整理得 ，
．
【知识点】因式分解的应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（2）②∵为中心对称图形，
∴的对称中心为线段的中点．
故答案为：线段的中点．
③
【解析】
【分析】（1）分别利用配方法得到 与 的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义判断即可；
（2）①先求出，，再根据“伴随对称抛物线”的定义得出，，两式相加解答即可；
②根据为中心对称图形，即可得到A1和A2两点是一对对称点，根据中心对称的性质解答即可；
③根据①可得 ，则：．设与相交于点，根据正方形的性质得到得出为的对称中心，即．过点作直线 轴于点 ，过点作 于点．利用AAS得到 ，即可得到 ， ．设，即可得到，．结合，可得 ，然后把所求代数式展开，整体代入计算即可．
1 / 1江西省2026年中考数学真题
1．下列图书馆标志不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
A，C，D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故答案为：B.
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此解答即可．
2．2025年是“十四五”规划收官之年，是中国式现代化进程中具有重要意义的一年.我国经济顶压前行、向新向优发展，民生保障更加有力，社会大局保持稳定，第二个百年奋斗目标新征程实现良好开局.经初步核算，2025年国民总收入为1393700亿元.
1393700亿用科学记数法表示为(　　)
A． B．1.3937×106
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 亿 ．
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．如图，已知a∥b，∠1＝40°，则∠2的度数为(　　)
A．40° B．100° C．120° D．140°
【答案】D
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
够答案为：D.
【分析】根据邻补角的定义求得 ，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
4．下列运算正确的是(　　)
A．m＋2m＝3m B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：选项A： ，A运算正确；
选项B： ，B运算错误；
选项C：，C运算错误；
选项D： ，D运算错误．
故答案为：A.
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘、除法法则逐项判断即可．
5．如图是2020—2024年全国城市声环境功能区昼间、夜间达标率统计图，则下列说法正确的是(　　)
A．2024年夜间达标率较2020年提高了1.2%
B．夜间达标率逐年上升
C．2022年昼间达标率最高
D．昼间达标率逐年上升
【答案】B
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】解：A. 2024年夜间达标率较2020年提高了 ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 夜间达标率逐年上升，故该选项正确，符合题意；
C. 2023年昼间达标率最高，故该选项不正确，不符合题意；
D. 昼间达标率先升后降，不是逐年上升，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据条形统计图提取相关信息判断即可.
6．如图，观察函数. 的图象，可以发现方程. 在0，1之间有根.取0，1的平均数0.5，当x＝0.5时， y＜0，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程.另一根更接近的是
A．－4.5 B．－4 C．－3.5 D．－3
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为，
抛物线与x轴的两交点关于对称轴对称，
令y=0，设方程 的两个根为，（x1，
即0.5<-3-x1<1，
解得-4取 ，
，
当时， ，
在与 之间，
到的距离 ，
到的距离 ，
到的距离小于到的距离，
与另一根更接近的是．
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的对称性得到另一根在-4和-3.5之间，然后去x=-3.75，求出y<0，当x-4时，y>0，即可得到另一根在-4和-3.75之间，据此解答即可．
7．有理数－的倒数为　 　.
【答案】-2
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：有理数的倒数为．
故答案为：-2.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数解答即可.
8．在平面直角坐标系中，将点(2，1)向左平移3个单位长度后得到的对应点的坐标为　 　
【答案】(－1，1)
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点向左平移3个单位长度后得到的对应点的坐标为 ．
故答案为： ．
【分析】根据点的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可.
9．我国智能制造蓬勃发展，某工厂引进A，B两种型号智能机器来加工某种零件.已知A每小时比B多加工50个零件，A加工1640个零件所用时间与 B加工1230个零件所用时间相等，求A，B每小时各加工多少个零件.设B每小时加工x个零件，可列分式方程为　 　.
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设B每小时加工 个零件，则A每小时加工个零件，依题意得，．
故答案为：．
【分析】设B每小时加工 个零件，则A每小时加工个零件，根据“A加工1640个零件所用时间与B加工1230个零件所用时间相等”列分式方程即可．
10．生活中的剪刀蕴含着数学知识.如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刃、剪柄和指圈.当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刃所在直线与指圈所在半圆相切.已知AC与BD相交于点O， CE为半圆的直径， OC＝9， CE＝6，则此时张角∠AOB的大小为　 　°.
【答案】150
【知识点】切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，设右半圆的圆心为 ， 与相切于点，连接，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴，
∴ ，
∴ ．
故答案为：150°.
【分析】设右半圆的圆心为 ， 与相切于点，连接，求出圆的半径和OM长 ，根据正弦的定义求出 ，即可求出∠COD的度数．
11．如图，在矩形ABCD中， AB＝3， BC＝4， E是边AD上的动点，连接BE，过点C作CF⊥BE 于点F.当△BFC面积最大时， DE 的长为　 　.
【答案】1
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：如图，设的中点为 ，
∵
∴
∴ 在以为直径的 上运动
∴当 时， 到的距离最大，此时 面积最大，
∴
∴
∵四边形 是矩形，
∴，
∴ ，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
故答案为：1.
【分析】设的中点为 ，根据题意得出 在以为直径的 上，当 时， 到的距离最大，此时 面积最大，得出 ，即可得到是等腰直角三角形，进而可得 ，根据线段的和差解答即可．
12．如图，点P在直线y＝－x＋b(b＞0)上，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB 的面积为1(O为坐标原点).若满足条件的点P有且仅有三个，则点P 的横坐标为　 　.
【答案】1或或
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；平行四边形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，依题意，
∴ 或
∵ 中， ，方程有两个不等实数解，
依题意，满足条件的点有且仅有三个
∴方程 有且只有一个解，
∴
∵
∴
所以方程 ，
∴
∴
∴
解得：
解方程
∴
解得：
综上所述，点的横坐标为1或或，
故答案为：1或或.
【分析】设，根据矩形的面积可得 ，去绝对值可得 或 ，必有两个根，根据满足条件的点有且仅有三个，即可得到有两个相等实数根，利用根的判别式为0求出的值，然后代入解一元二次方程求出x的值解答即可．
13．（1）计算：
（2）解不等式：
【答案】（1）解：原式
＝1.
（2）去分母：3x－1＜2x，
移项：3x－2x＜1，
合并同类项：x＜1.
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）先运算负整数指数幂、乘方和绝对值，然后加减解答即可；
（2）利用去分母、移项、合并同类项解不等式即可.
14．如图，D，E分别在△ABC的边BA，A的延长线上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE＝5，求BC的长.
【答案】∵DE∥BC，
∴∠B＝∠D，∠C＝∠E，
∴△ABC∽△ADE，
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据平行线得到∠B＝∠D，∠C＝∠E，即可得到△ABC∽△ADE，根据对应边成比例解答即可.
15．先化简：再从0，1，2中选择一个合适的数作为x代入求值.
【答案】解：原式＝
＝x＋1.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算括号内分式的通分，然后把除法化为乘法，因式分解约分，然后根据分式方程有意义的条件得到x的值，代入计算即可.
16．如图，在8×4的正方形网格中，△ABC的顶点B，C均在格点上， MN 为△ABC的中位线.
（1）请仅用无刻度直尺作∠ABC的平分线，交MN 于点P；(保留作图痕迹)
（2）若网格中小正方形的边长为1，则(1)中BP的长为　 　.
【答案】（1）作图如图所示.
（2）
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：取格点H，由网格可知，
， ，
∵ ， ，
∴
∴
∴．
【分析】（1）取线段与网格线的交点Q，连接BQ交MN于点P，则点P即为所作；
（2）取格点H，则有 ， ，根据角平分线的定义得到 ，根据余弦的定义求 的长即可．
17．如图，AD为⊙O的直径， AD＝4，B， C是⊙O上的点，四边形OABC为菱形.
（1）求的长；
（2）延长AD到点P，使得DP＝2，求证：PC是⊙O的切线.
【答案】（1）连接OB.

∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，AB∥OC.
又∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形.
∴∠A＝60°，∴∠AOC＝120°.
（2）证明：连接CD.
由(1)可得∠COD＝60°，
∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OD＝2，∠OCD＝∠ODC＝60°.
∵DP＝2，∴DP＝CD，∴∠DCP＝∠P＝30°.
∴∠OCP＝∠OCD＋∠DCP＝90°，
∴PC是⊙O的切线.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；切线的判定；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OB.根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形，即可得到∠A=60°，然后根据平行线的性质求出∠AOC的度数，再根据弧长公式计算即可；
（2）根据（1）可得△COD是等边三角形，即可得到∠ODC=∠OCD=60°，再根据等边对等角和三角形的外角得到∠PCD=30°，即可得到∠OCP=90°，即可证明结论.
18．如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽(xùn)、坎、离、艮(gèn)、兑”八个卦象.每个卦象由三个爻(yáo)组成，其中“一”表示阳爻，“－－”表示阴爻.
（1）若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是　 　；
（2）现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率.
【答案】（1）
（2）解：记“乾、坤、震、巽”分别为， ， ， ．
列表法：
第一卦象 第二卦象
树状图：
由表或树状图可得，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．
其中满足条件的结果有：，，，，，共6种．
所以所求概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解： 共有八个卦象，只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个，
∴从中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）记“乾、坤、震、巽”分别为， ， ， ，根据列表法或画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形， A(－2， m)， B(2，0)， C(0，－1)， 点D在x轴上，反比例函数 的图象经过点A.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）P为边BC上的一点，直线AP交双曲线另一支于点Q，当△ABP 的面积等于□ABCD的面积的时，求点Q的坐标.
【答案】（1）如图，过点A作AM⊥x轴于点M.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADM＝∠CBO，
∴△ADM≌△CBO(AAS).
∴AM＝CO＝1，∴A(－2，1).
∴k＝(－2)×1＝－2，
∴反比例函数的表达式为
（2）∵△ABP的面积等于 ABCD的面积的，
∴P为BC的中点，
∴P的坐标为
设直线AP 的表达式为y＝ ax＋b，
则，解得
∴直线AP的表达式为即直线AP经过坐标原点，
由中心对称可得Q(2，－1).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象的对称性；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）过点A作AM⊥x轴于点M，然后根据平行四边形的性质，利用AAS得到△ADM≌△CBO，即可得到点A的坐标，代入反比例函数的解析式求出k的值即可；
（2）根据题意得到P为BC的中点，根据中点坐标公式求出点P的坐标，然后利用待定系数法求出直线AP的解析式为即可得到点Q与点A关于原点对称，求出Q点坐标即可.
20．“以球之名，为城而战”，2025年江西省城市足球超级联赛于7月12日在南昌八一体育场拉开帷幕.赛事的成功举办极大激发了参赛球员和群众的城市归属感，推动了文旅等相关产业的发展.在常规赛阶段，分南北两个赛区，采取赛区内主客场双循环积分制(每两队之间进行两场比赛)，北区共20场比赛，南区共30场比赛.赛制规定：每队胜一场得x分，平一场得y分，负一场得0分.以下是常规赛结束时积分及进/失球个数部分数据.
积分表
北区 胜/平/负 积分 南区 胜/平/负 积分
九江队 4/3/1 15 宜春队 */*/* *
上饶队 */*/* * 赣州队 6/2/2 20
南昌队 3/*/2 m 抚州队 */*/* *
景德镇队 */*/* * 新余队 */*/* *
鹰潭队 */*/* * 萍乡队 */*/* 　
/ / / 吉安队 */*/* 　
根据以上信息解答下列问题：
（1）x＝　 　，y＝　 　，m＝　 　；
（2）分别求两个赛区平均每场比赛进球个数；
（3）现收集了7名球员每个人的进球个数(最多的进7个球)，甲乙两位同学对这组数据进行分析，得到如下结果：甲：平均数为3，极差为4；乙：众数为2，平均数为4.
试分别判断甲乙两人的分析是否有一定的可信度，并说明理由.
【答案】（1）3；1；12
（2）∵各赛区总进球数与失球数相等，∴北区总进球数为7＋4＋7＋10＋15＝43，
北区平均每场比赛进球个数为
∵南区总进球数为116＋17＋8＋8＋15＋11＝75，
南区平均每场比赛进球个数为
（3）甲的数据分析不可信，理由如下：
∵至少有1个7，极差为4，∴最小数为3，则平均数大于3，与平均数为3相矛盾.
乙的数据分析有一定的可信度，如①2，2，2，3，5，7，7；②2，2，2，3，6，6，7；③2，2，2，4，5，6，7；④2，2，2，2，6，7，7；⑤2，2，2，4，4，7，7.(只要列举其中一组数据说明即可)
【知识点】平均数及其计算；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；二元一次方程组的实际应用-积分
【解析】【解答】解：(1)依题意得解得
∵常规赛中，北区每队比赛的场次为8场，∴南昌队3胜3平2负，
∴m＝3×3＋3×1＋2×0＝12.
故x＝3，y＝1，m＝12.
故答案为：3；1；12；
【分析】（1）根据表格中九江队和赣州队的比赛胜负情况和积分情况列二元一次方程组，求得 的值，进而根据北区每队比赛的场次为场求出 的值解答即可；
（2）根据各赛区总进球数与失球数相等得出总进球数，利用平均数的定义计算即可；
（3）从平均数，极差，众数的定义分析解答即可．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点P在BC的延长线上，将AP绕点A按逆时针方向旋转30°得到AQ，连接CQ，PQ.
（1）求证：BP＝CQ；
（2）若，求BP的长.
【答案】（1）∵AP绕点A按逆时针方向旋转30°得到AQ，
∴∠PAQ＝30°，AP＝AQ.
∵∠BAC＝30°，
∴∠BAP＝∠CAQ.
∵AB＝AC，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴BP＝CQ.
（2）过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于点H.
∵AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝75°， ∠APQ＝∠AQP＝75°.
∵△ABP≌△ACQ，∴∠ACQ＝∠B＝75°.
∵∠CAP＝15°，∴∠APB＝60°，
∴∠QCH＝30°，∠QPH＝45°.
∴BP＝CQ＝2QH＝4.
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；旋转全等模型；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到∠PAQ＝30°，AP＝AQ，然后根据SAS得到△ABP≌△ACQ，利用全等三角形的对应边相等即可得到结论；
（2）过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于点H，根据等边对等角和三角形的内角和求出∠B=75°，根据全等可得∠ACQ=75°，即可求出∠QCH＝30°，∠QPH＝45°，然后根据正弦的定义求出QH的长，再利用30°的直角三角形的性质解答即可.
22．为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表：
具体问题 利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度
主要工具 无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺
截面示意图
操作步骤 1.在水平地面上选定一个激光发射点A，使A位于土坑上底面直径DE所在的直线上； 2.操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； 3.调整反射镜与水平线的夹角θ，使得从A处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最右端F 处； 4.在线段AD上确定一点B，使得从B处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最左端G 处. (以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内)
测量数据 AB＝18m，DE＝12m，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，θ＝22.5°.
参考数据 sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，≈1.732.
根据以上信息，完成下列任务.(结果精确到0.01m)
（1）：计算点C离水平地面的高度；
（2）：计算∠GCF＝　 　°， ∠BCG＝　 　°；
（3）：计算土坑的深度.
【答案】（1）如图，连接DE，过点C作CK⊥GF交GF于K，交DE于H，
则
∵∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，
∴BC＝AB＝18.
在Rt△CBH中，
即点C离水平地面的高度约为15.59m.
（2）30；15；
（3）在Rt△CBH中，
∵∠CBH＝60°，
∴∠BCH＝30°.
∴∠GCK＝∠BCH－∠BCG＝30°－15°＝15°，
∴∠CGK＝75°，
∴∠FCK＝∠GCK＝15°，
∴△CGK≌△CFK (ASA)，∴GK＝FK＝6.
在Rt△CGK中，CK＝GK·tan75°≈6×3.732＝22.392，
∴HK＝CK－CH＝22.392－15.588＝6.804≈6.80，即土坑的深度约为6.80m.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；解直角三角形的其他实际应用；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（2）解：如图，
∵ ，
∴
又∵ ，
∴
∴
同理可得 ，
∴
．
故答案为：30；15；
【分析】（1）连接 ，过点作 交 于 ，交 于，即可得到 ，根据三角形的外角求出，即可利用等角对等边得到 ，在 利用正弦的定义求得的长解答即可；
（2）根据光的反射原理得出 ，即可求出 ， ，进而根据角的和差求出∠GCF的度数即可；
（3）根据ASA得到，根据对应边相等得到 ，在中根据正切的定义求出长，然后根据线段的和差解答即可．
23．如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”.
（1）试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由：
（2）如图1，若与互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为A1，A2，记C1，C2组成的图形为C.
①试猜想a1与a2的数量关系，并证明；
②进一步探究可知C为中心对称图形，请确定C的对称中心的位置；(直接写出结果)
③如图2，若分别为上的点，且四边形.为正方形，求的值.
【答案】（1）解： 与 互为“伴随对称抛物线”，
理由如下：
的顶点为，
将代入 中，得 ，
即 经过．
的顶点为，
将代入 中，得 ，
即 经过．
故 与 互为“伴随对称抛物线”．
（2）① ，证明如下：
∵：与：
∴，，
∵若：与：互为“伴随对称抛物线”，
，，
两式相加得 ．
，
．
②C的对称中心为线段A1A2的中点.
③：， ，
∴ ， ，
：，
∴，，，
如图，设与相交于点，
∵四边形为正方形，
为的对称中心， ，
．
过点作直线 轴，垂足为 ，过点作 ，垂足为．
则，
∴，
∴ ， ．
设，
则，，即，．
又，
，．
∵点在上，
，化简整理得 ，
．
【知识点】因式分解的应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（2）②∵为中心对称图形，
∴的对称中心为线段的中点．
故答案为：线段的中点．
③
【解析】
【分析】（1）分别利用配方法得到 与 的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义判断即可；
（2）①先求出，，再根据“伴随对称抛物线”的定义得出，，两式相加解答即可；
②根据为中心对称图形，即可得到A1和A2两点是一对对称点，根据中心对称的性质解答即可；
③根据①可得 ，则：．设与相交于点，根据正方形的性质得到得出为的对称中心，即．过点作直线 轴于点 ，过点作 于点．利用AAS得到 ，即可得到 ， ．设，即可得到，．结合，可得 ，然后把所求代数式展开，整体代入计算即可．
1 / 1

展开更多......

收起↑