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第六章
机械能
守恒定律
考情分析
生活实践类 体育运动中功和功率问题，风力发电功率计算，蹦极运动、过山车等能量问题，汽车启动问题，生活、生产中能量守恒定律的应用
学习探究类 变力做功的计算，机车启动问题，单物体机械能守恒，用绳、杆连接的系统机械能守恒问题，含弹簧系统机械能守恒问题，传送带、板块模型的能量问题
试题情境
功、功率
第26课时
1.理解功的概念，会判断功的正负，会计算功的大小。
2.理解功率的概念，掌握功率的两个公式，会计算平均功率和瞬时功率。
目标要求
考点一　功的分析及计算
考点二　变力做功的计算
内容索引
课时精练
考点三　功率的分析和计算
功的分析及计算
考点一
1.做功的两个要素
(1)作用在物体上的 。
(2)物体在力的方向上发生 。
2.公式：W= 。
(1)α是力与 方向之间的夹角，l为 的位移。
(2)该公式只适用于 做功。
3.功的正负
(1)当0≤α<90°时，W>0，力对物体做 。
(2)当90°<α≤180°时，W<0，力对物体做 ，或者说物体 这个力做了功。
(3)当α=90°时，W=0，力对物体 。
力
位移
Flcos α
位移
力的作用点
恒力
正功
负功
克服
不做功
4.计算恒力做功的方法
(1)直接用W=Flcos α计算。
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合=F合lcos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合=W1+W2+W3+
…求合外力做的功。
方法三：利用动能定理W合=Ek2-Ek1。
(2024·江苏扬州市检测)如图所示，斜面体放在水平面上，其光滑斜面上用固定的竖直挡板挡住一个光滑的小球。当整个装置沿水平面向左做减速运动的过程中，关于小球所受各力做功情况的说法中正确的是
A.重力做功
B.斜面对球的弹力一定做负功
C.挡板对球的弹力一定做负功
D.球所受的合力对球一定做正功
√
　　　对小球进行受力分析如图所示，重力方向与位移方向垂直，重力不做功，故A错误；
FN2方向与位移方向的夹角为锐角，斜面对小球的弹力一定做正功，故B错误；
FN1的方向与位移方向相反，所以FN1一定做负功，故C正确；
由于整个装置向左做减速运动，合力的方向与位移方向相反，合力对小球做负功，故D错误。
如图所示，升降机内斜面的倾角θ=30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中。g取10 m/s2，求：
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
答案　300 J
　　　物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图所示
由平衡条件得
FN=mgcos θ=10 N
Ff=mgsin θ=10 N
x=vt=20 m
斜面对物体的支持力所做的功
WN=FNxcos θ=300 J
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
答案　100 J
　　　斜面对物体的摩擦力所做的功
Wf=Ffxsin θ=100 J
(3)物体重力做的功；
答案　-400 J
　　　物体重力做的功WG=-mgx=-400 J
(4)合外力对物体所做的功。
答案　0
　　　合外力对物体做的功
方法一　W合=WN+Wf+WG=0
方法二　F合=0，W合=F合x=0。
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考点二
变力做功的计算
求变力做功的五种方法
方法 举例
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，
运动一周克服摩擦力做功Wf=Ff·Δx1+Ff·
Δx2+Ff·Δx3+…=Ff(Δx1+Δx2+Δx3+…)=Ff·
2πR
等效转换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做
功W=F·(-)
方法 举例
图像法 一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的
位移为x0，F-x图线与横轴所围面积表示拉
力所做的功，W=x0
平均值法 当力与位移为线性关系，力可用平均值
=表示，W=Δx，可得出弹簧弹性势
能表达式为Ep=k(Δx)2
动能定理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为
WF，则有WF-mgL(1-cos θ)=0，得WF=mgL(1
-cos θ)
(2025·江苏南通市检测)早在两千多年前，我国劳动人民就发明了汉石磨盘，如图甲所示。它是一种可使谷物脱壳、粉碎的加工工具，凝聚着人类的高度智慧。后来人们通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉。将此过程用俯视角度看，示意图如图乙所示，假设驴拉磨可以看成做匀速圆周运动，驴对磨杆末端的平均拉力F=800 N，拉力方向始终沿圆周切线方向，磨杆半径r=0.7 m，驴拉磨转动一周时间为7 s，圆周率π≈3，则下列说法正确的是
A.磨杆末端的向心加速度大小为0.4 m/s2
B.磨杆末端的线速度大小为0.3 m/s
C.驴转动一周拉力所做的功为零
D.驴转动一周拉力的平均功率为480 W
√
　　　磨杆末端的向心加速度大小为a=ω2r=r=×0.7 m/s2≈0.51 m/s2，故A错误；
磨杆末端的线速度大小为v== m/s=0.6 m/s，故B错误；
驴转动一周拉力所做的功为W=F·2πr=800×2×3×0.7 J=3 360 J，驴转动一周拉力的平均功率为== W=480 W，故C错误，D正确。
如图，水平轨道AD足够长，BC段粗糙且长度为L=1 m，其余部分光滑。质量为1 kg、长度为2L的均匀木板以v0=5 m/s的初速度通过BC段，木板与BC段的动摩擦因数为μ=0.8，重力加速度g取10 m/s2。
(1)试画出木板通过BC段受到的摩擦力Ff随位移x变化的图像；
答案　见解析图
　　　木板位移为0~1 m时，Ff均匀增大，木板位移为1~2 m时，Ff=μmg=4 N，保持不变，木板位移为2~3 m时，Ff均匀减小到零，
则木板通过BC段所受摩擦力随位移x变化如图所示。
(2)求木板通过BC段过程中克服摩擦力做的功。
答案　8 J
　　　Ff-x图像与x轴围成的面积表示木板克服摩擦力做的功W克f，由图可知W克f=×4 J=8 J。
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考点三
功率的分析和计算
1.定义：功与完成这些功所用 之比。
2.物理意义：描述力对物体做功的 。
3.公式：
(1)P=，P描述时间t内力对物体做功的 。
(2)P=Fvcos α
①v为平均速度，则P为 功率。
②v为瞬时速度，则P为 功率。
时间
快慢
快慢
平均
瞬时
如图所示，质量为m=2 kg的木块在倾角θ=37°的固定斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5，已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为
A.48 W　24 W B.24 W　48 W
C.24 W　12 W D.12 W　24 W
√
　　　木块所受的合外力
F合=mgsin θ-μmgcos θ=4 N
木块的加速度a==2 m/s2
前2 s内木块的位移x=at2=×2×22 m=4 m
所以重力在前2 s内做的功为
W=mgxsin θ=2×10×4×0.6 J=48 J
重力在前2 s内的平均功率==24 W
木块在2 s末的速度v=at=2×2 m/s=4 m/s
2 s末重力的瞬时功率P=mgvsin θ=2×10×4×0.6 W=48 W，故选项B正确。
如图甲所示，质量m=1 kg的小物体放在长直的水平地面上，用水平细线绕在半径R=0.1 m的薄圆筒上。t=0时刻，圆筒由静止开始绕竖直的中心轴转动，其角速度随时间的变化规律如图乙所示，不考虑绕制细线对转动半径的影响，已知小物体和地面间的动摩擦因数μ=0.1，重力加速度g取10 m/s2，则
A.4 s末细线拉力对物体做功
的功率为4.4 W
B.0~4 s内，细线拉力做的功
为0.88 J
C.4 s末滑动摩擦力对物体做功的功率为4 W
D.0~4 s内，滑动摩擦力对小物体做的功为0.8 J
√
　　　根据图像可知角速度随时间变化的关系式为ω=1·t
圆筒边缘线速度与小物体前进速度大小相同，由v=ωR
解得v=0.1t
可知物体做匀加速直线运动，加速度大小
a==0.1 m/s2
根据牛顿第二定律有F-μmg=ma
解得F=1.1 N
则4 s末细线拉力的瞬时功率P=Fv=0.44 W
物体在4 s内运动的位移x=at2=0.8 m
细线拉力做的功为W=Fx=0.88 J，故A错误，B正确；
　　　4 s末滑动摩擦力的瞬时功率P'=μmgv=0.4 W
0~4 s内滑动摩擦力做的功为W'=-μmgx=-0.8 J，故C、D错误。
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A B B B C A (1)1 s　(2)0.05 J
题号 8 9 10 　11 答案 C A D (1)4 m/s2，方向由A指向D　 (2)24 W　(3)4.9 J 答案
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1.(2024·海南卷·1)神舟十七号载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成功着陆，在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过程中
A.返回舱处于超重状态 B.返回舱处于失重状态
C.主伞的拉力不做功 D.重力对返回舱做负功
√
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答案
基础落实练
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答案
　　　返回舱在减速过程中，加速度竖直向上，处于超重状态，故A正确，B错误；
主伞的拉力与返回舱运动方向相反，对返回舱做负功，故C错误；
返回舱的重力与返回舱运动方向相同，重力对返回舱做正功，故D错误。
2.(2023·新课标卷·15)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)
A.0 B.mgh
C.mv2-mgh D.mv2+mgh
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答案
　　　由于雨滴是匀速下落，所以受力平衡，空气阻力等于重力，Ff=mg，所以克服空气阻力做的功为：Wf=Ff·h=mgh，选项B正确。
3.(2025·江苏徐州市期中)如图所示，一质量均匀分布的木板静置在粗糙水平桌面上，木板和桌面右端对齐。设木板质量为m，长度为L，与桌面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。将木板右推，则推木板过程中克服摩擦力做的功为
A.μmgL B.μmgL
C.μmgL D.μmgL
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√
答案
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答案
　　　由于木板的重心并没有离开桌面，所以桌面对木板的支持力与木板的重力是一对平衡力，木板对桌面的正压力仍然等于木板的重力，因此在木板移动过程中，木板受到的摩擦力大小一直是μmg，所以在将木板右推过程中克服摩擦力做的功为W=μmgL，故选B。
4.(2024·江西卷·5)“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”是李白对庐山瀑布的浪漫主义描写。设瀑布的水流量约为10 m3/s，水位落差约为150 m。若利用瀑布水位落差发电，发电效率为70%，则发电功率大致为
A.109 W B.107 W C.105 W D.103 W
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答案
　　　由题知，Δt时间内流出的水量为m=ρQΔt=1.0×104Δt(kg)，发电过程中水的重力势能转化为电能，则有P=×70%≈1.0×107 W，故选B。
5.(2025·江苏如皋市调研)某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为F=kh+F0(k、F0已知)，石头沿竖直方向做直线运动，当h=h0时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为
A.F0h0 B.kF0
C.F0h0+k D.(kh0+F0)h0
√
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答案
　　　所受的阻力F与深度h的关系为线性关系，则有W=h0=h0
=F0h0+k，故选C。
6.(2025·江苏省南京航空航天大学、苏州附属中学检测)如图所示为固定不动的光滑圆弧形轨道，小球1从轨道顶端做平抛运动，恰好可以到达轨道底端；小球2由静止开始从顶端沿轨道滑到底端，两小球质量相同，则
A.两小球下落的时间t1B.两小球下落的时间t1=t2
C.在轨道底端重力的瞬时功率P1=P2
D.在轨道底端重力的瞬时功率P1√
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答案
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答案
　　　小球1从轨道顶端做平抛运动，竖直方向为自由落体运动，小球2由静止开始从顶端沿轨道滑到底端，竖直方向的初速度为0，竖直方向的末速度也为0，表明竖直方向先加速后减速，加速过程由于轨道的弹力作用，导致竖直方向的加速度小于重力加速度，可知，同一水平位置小球1竖直方向的分速度大于小球2竖直方向的分速度，即在竖直方向上小球1的平均速度大于小球2平均速度，竖直方向的分位移相等，则有t11
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答案
　　　小球1从轨道顶端做平抛运动，到达轨道底端时重力与速度方向的夹角为锐角，重力的瞬时功率不为0，小球2由静止开始从顶端沿轨道滑到底端，到达轨道底端时重力与速度方向垂直，此时重力的瞬时功率等于0，可知P1>P2，故C、D错误。
7.(2025·江苏泰州市检测)如图所示，静置在水平桌面的纸带上有一质量为0.1 kg的小铁块，它与纸带最右端的距离为0.5 m，铁块与纸带间动摩擦因数为0.1。现用力向左以2 m/s2的加速度将纸带从铁块下抽出，不计铁块大小，铁块不滚动，g取10 m/s2，求：
(1)将纸带从铁块下抽出需要的时间；
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答案
答案　1 s
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答案
　　　设纸带的加速度为a1，铁块的加速度为a2，则由牛顿第二定律可知
a2===μg=1 m/s2
L=a1t2-a2t2
联立解得t=1 s。
(2)纸带对铁块做的功。
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答案
答案　0.05 J
　　　铁块运动的位移s=a2t2
纸带对铁块做的功W=μmgs=0.05 J。
8.(2026·江苏无锡市检测)如图所示，质量为M的物体静止在地面上，物体上面连一轻弹簧，弹簧处于原长。现用手拉住弹簧上端缓缓提升高度H，该过程中物体上升高度h，人做的功W，则
A.W=MgH B.W=Mgh
C.MghMgH
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答案
能力综合练
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答案
　　　根据功能关系，人做的功W等于物体重力势能的增加量与弹簧弹性势能增加量之和，所以W>Mgh，因为弹簧初始时弹力为0，即人对弹簧的拉力从0开始增大，到物体刚要离开地面时拉力才等于Mg，可知整个过程拉力平均值小于Mg，故人做的功W9.(2024·贵州卷·6)质量为1 kg的物块静置于光滑水平地面上，设物块静止时的位置为x轴零点。现给物块施加一沿x轴正方向的水平力F，其大小随位置x变化的关系如图所示，则物块运动到x=3 m处，F做功的瞬时功率为
A.8 W B.16 W C.24 W D.36 W
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答案
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答案
　　　根据题图可知物块运动到x=3 m处，F做的总功为WF=3×2 J+2×1 J
=8 J
该过程根据动能定理得WF=mv2
解得物块运动到x=3 m处时的速度v=4 m/s
故此时F做功的瞬时功率P=Fv=8 W，故选A。
10.“辘轳”是中国古代取水的重要设施，如图甲所示通过转动手柄将细绳均匀缠绕到半径为R的转筒上，就可以把下端所系的水桶从井中提起。若某次转动手柄的角速度ω随时间t变化的图像如图乙所示，经过时间2t0，转筒的角速度从0均匀增加到ω0，经3t0时间把静置于井底的水桶提升到井口，水桶和桶中水的总质量为m，重力加速度大小为g，水桶可看成质点。下列说法正确的是
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答案
A.0~2t0时间内，水桶做初速度为零的
变加速直线运动
B.水井的深度为ω0Rt0
C.把水桶从井底提升到井口的过程中
克服重力做功的平均功率为
D.把水桶从井底提升到井口的过程中水桶和桶中水所受合力做功为
√
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答案
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答案
　　　转筒边缘上点的线速度大小等于水桶的速度大小，根据线速度与角速度的关系有v=ωR，因0~2t0内，ω与t成正比，所以水桶的速度v与t成正比，即水桶做初速度为零的匀加速直线运动，故A错误；
题图乙中0~3t0内图像与时间轴所包围的面积表示把水桶从井底提升到井
口过程中转筒转过的角度，设为θ，则θ==2ω0t0，故水井的深度
为h=θR=2ω0Rt0，故B错误；
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答案
　　　把水桶从井底提升到井口的过程中克服重力做功的平均功率为===，故C错误；
根据动能定理可知，把水桶从井底提升到井口的过程中合力对水桶和桶中水做功为W合=mv2-0=m(ω0R)2=，故D正确。
11.(2026·江苏南通市检测)如图甲所示，斜面ABCD与水平面夹角θ=37°，斜面CD边有一垂直斜面的挡板。一木块从A点静止释放，与挡板相撞后立即停靠在D点。已知：xAB=1 m、xBC=2 m，木块质量m=1 kg，木块与斜面间动摩擦因数μ1=，木块与挡板间动摩擦因数μ2=，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
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答案
(1)求木块在斜面上滑行的加速度a；
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答案
答案　4 m/s2，方向由A指向D
　　　根据牛顿第二定律可知
mgsin θ-μ1mgcos θ=ma
解得a=4 m/s2，方向由A指向D。
(2)木块刚到达D点时，重力对木块的瞬时功率P；
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答案
答案　24 W
　　　木块刚到达D点时的速度大小v==4 m/s
重力对木块的瞬时功率P=mgvsin θ=24 W。
(3)如图乙所示，外力推动挡板垂直斜面绕C点转动，当木块相对挡板恰好滑动时，求挡板对木块做功的最小值W。
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答案　4.9 J
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答案
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　　　当木块相对挡板恰好滑动时，设挡板与DC夹角为α，
则由平衡条件可知mgsin θsin α=μ1mgcos θ+μ2mgsin θcos α
解得cos α=0.8，即α=37°
由能量关系可知，挡板对木块做功的最小值
W=mgxABsin 37°sin 37°+μ1mgcos 37°·2πxAB·
解得W≈4.9 J。
本课结束
THANKS
第六章

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