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(共62张PPT)
第五章
万有引力
与宇宙航行
人造卫星　宇宙速度
第24课时
1.会比较卫星运行的各物理量之间的关系。
2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。
3.了解同步卫星特点，会比较同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运行。
4.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。
目标要求
考点一　天体运动参量的分析
考点二　三个宇宙速度
内容索引
考点三　同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运动问题
课时精练
考点四　星球“瓦解”问题　黑洞问题
天体运动参量的分析
考点一
1.基本公式
(1)线速度大小：由G=m得v=______。
(2)角速度：由G=mω2r得ω=______。
(3)周期：由G=m()2r得T=________。
(4)向心加速度大小：由G=man得an=____。
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an ，T_____，即越高越 。
2π
越小
越大
慢
2.“黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg=G，整理可得 。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。
GM=gR2
(2025·湖北卷·2)甲、乙两行星绕某恒星做匀速圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是
A.甲运动的周期比乙的小
B.甲运动的线速度比乙的小
C.甲运动的角速度比乙的小
D.甲运动的向心加速度比乙的小
√
　　　恒星对行星的万有引力提供行星做匀速圆周运动所需的向心力，可知G=m=mω2r=mr=ma，解得T=2π，v=，ω=，a=，因r甲v乙，ω甲>ω乙，a甲>a乙，故选A。
(2025·重庆卷·7)“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的
A.轨道半径之比为
B.周期之比为
C.线速度大小之比为
D.向心加速度大小之比为()2
√
　　　根据题意结合几何知识可知地球和金星绕太阳运动的轨道半径之比为=，故A错误；
根据万有引力提供向心力有=m()2r=m=ma，解得T=，v=，a=，故可得周期之比为=；
线速度大小之比为=；向心加速度大小之比为=()2，故B、C错误，D正确。
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考点二
三个宇宙速度
三个宇宙速度
第一宇宙速度 (环绕速度) v1= km/s，是人造地球卫星的 发射速度，这也是地球卫星的最大环绕速度
第二宇宙速度 v2=11.2 km/s，是物体挣脱 引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度 v3=16.7 km/s，是物体挣脱 引力束缚的最小发射速度
7.9
最小
地球
太阳
1.(1)试推导第一宇宙速度的两个表达式。
讨论交流
答案　由G=m得v=
由mg=m得v=
(2)近地卫星的运行周期大约是多长时间？
(已知地球质量为m地，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，其中R=6.4×103 km，g=9.8 m/s2)
答案　近地卫星运行周期
T=2π=2π s≈85 min。
2.已知引力势能的表达式为Ep=-，其中r为卫星到地心的距离。试推导地球第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系，并给出第二宇宙速度的估算值。(此关系对于其他天体也是正确的)
答案　卫星从发射到脱离地球至无穷远处的过程中机械能守恒，有
-+m=0
在地球表面附近环绕的卫星=
联立得v2=v1
又v1=7.9 km/s，故可得v2=11.2 km/s。
(2025·江苏南通市模拟)已知地球的质量约是月球的81倍，地球的半径约是月球的4倍，则“嫦娥六号”探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的速率约为地球第一宇宙速度的
A. B. C. D.
√
　　　第一宇宙速度等于卫星绕中心天体表面做匀速圆周运动的线速度，则由G=m，解得v=，故v月=v地=v地，故选A。
(2025·甘肃卷·2)如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是
A.若v=，小星球做匀速圆周运动
B.若C.若v=，小星球做椭圆运动
D.若v>，小星球可能与恒星相撞
√
　　　根据题意，若小星球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有
=m，解得v=，故A正确；
结合A分析可知，若周运动所需要的向心力，小星球做离心运动，但又不能脱离恒星的引力范围，所以小星球做椭圆运动，而不是抛物线运动，故B错误；
　　　若v=，这是小星球脱离恒星引力束缚的临界速度，小星球将做抛物线运动，而不是椭圆运动，故C错误；
若v>，小星球将脱离恒星引力束缚，不可能与恒星相撞，故D错误。
宇宙速度与运动轨迹的关系
1.v发=7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
2.7.9 km/s3.11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
4.v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
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同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运动问题
考点三
人造卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。
1.极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
2.同步卫星
(1)静止卫星的轨道平面与 共面，且与地球自转的方向相同。
(2)周期与地球自转周期相等，T= 。
(3)高度固定不变，h=3.6×107 m。
(4)运行速率约为v=3.1 km/s。
赤道平面
24 h
3.近地卫星：轨道在 附近的卫星，其轨道半径r=R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v=7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)。
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。
地球表面
(1)在同一轨道上质量大的卫星受到地球引力大，是否加速度就大，运行速度就快？
讨论交流
答案　由a=及v=可得卫星运行加速度和速度与卫星质量无关，同一轨道上各卫星具有相同加速度大小和速度大小。
(2)随着我国航空航天科技的发展，将来可以发射定点到南京上空的静止卫星吗？
答案　由于静止卫星必须与地球自转同步，且转动中心必须在地心，故静止卫星只能定点在赤道正上方。
(3)赤道上放置一待发射卫星A，天空运行一同步卫星B，可以由v=得A卫星线速度大于B卫星线速度吗？
答案　赤道上放置的物体由万有引力的一个分力提供向心力，故不满足v=，又由v=ωr，A、B两卫星具有相同的角速度，故B卫星线速度大。
2025年4月11日0时47分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将通信技术试验卫星十七号(以下简称十七号)发射升空，该卫星进入赤道上方高度约36 000 km处的静止轨道后绕地球做匀速圆周运动。以下说法正确的是
A.十七号的轨道半径约为36 000 km
B.十七号的运行速度比月球绕地球的速度小
C.十七号的向心加速度小于地球表面的重力加速度
D.十七号会在每天固定时间从北京的正上方经过
√
　　　36 000 km是该卫星离地球的高度，不是其轨道半径，其轨道半径为36 000 km加上地球半径，故A错误；
该卫星的轨道半径小于月球的轨道半径，根据万有引力提供向心力有
G=m，可得v=，可知十七号的运行速度比月球绕地球的速度大，
故B错误；
根据牛顿第二定律G=ma可得a=，可知十七号的向心加速度小于地
球表面的重力加速度，故C正确；
该卫星的轨道平面与赤道平面共面，不会经过北京正上方，故D错误。
(2024·江苏苏州市检测)如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是
A.b卫星圆周运动线速度大于7.9 km/s
B.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系
为aa>ab>ac
C.a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta=TbD.在b、c中，b的线速度大
√
　　　第一宇宙速度7.9 km/s为航天器在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的最小发射速度、最大环绕速度，A错误；
由题可知a、c具有相同的角速度，根据a=ω2r，由于rc>ra，可知ac>aa，根据=ma，由于rc>rb，可知acac>aa，B错误；
由题意知Ta=Tc，根据=，解得T=2π，因为rc>rb，所以Tc>Tb，综上Ta=Tc>Tb，C错误；
根据=m，解得v=，由于rc>rb，可知vc同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
比较项目 近地卫星a(r1、ω1、v1、a1) 同步卫星b(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体c(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r2>r1=r3 角速度 ω1>ω2=ω3 线速度 v1>v2>v3 向心加速度 a1>a2>a3 返回
星球“瓦解”问题　
黑洞问题
考点四
1.星球的“瓦解”问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件
是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即=mω2R，
得ω=。当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行。
2.黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞。
(2025·江苏常州市期中)第一宇宙速度又叫作环绕速度，第二宇宙速度又叫作逃逸速度，逃逸速度是环绕速度的倍；逃逸速度大于或等于光速的天体即为黑洞。太阳的质量为M，引力常量为G，真空中光速为c。
(1)已知太阳半径为R，求太阳的环绕速度；
答案　
　　　假设卫星绕太阳表面做圆周运动，由万有引力提供向心力，则有
=m
解得v=
(2)倘若太阳能收缩成球形黑洞，求该黑洞的最大半径。
答案　
　　　假设卫星绕太阳收缩成的球形黑洞表面做圆周运动，由万有引力提供向心力，
则有=m
根据题意，太阳收缩成球形黑洞后逃逸速度
v2=v1
解得v2=，其中v2≥c
解得R黑洞≤
可知，黑洞的最大半径Rm=。
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A A D D A C
题号 　7 8 9 10 11
答案 (1)　 (2)-R B B A B
答案
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1.(2025·天津卷·1)2025年5月我国成功发射通信技术试验卫星十九号，若该系列试验卫星中A、B两颗卫星均可视为绕地球做匀速圆周运动，轨道半径rA>rB，则卫星A比B
A.线速度小、角速度小 B.线速度小、运行周期小
C.加速度大、角速度大 D.加速度大、运行周期大
√
基础落实练
　　　根据题意，由万有引力提供向心力有=m=mω2r=mr=ma，解得v=，ω=，T=，a=，由于轨道半径rA>rB，可得vA<
vB，ωA<ωB，TA>TB，aA1
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答案
2.(2024·江苏南京市模拟)某卫星绕地球做匀速圆周运动，运行周期为12小时。下列说法正确的是
A.该卫星的高度低于同步卫星
B.该卫星运行过程中加速度恒定
C.该卫星的运行速度大于地球第一宇宙速度
D.该卫星在太空中所受地球引力比在地面上大
√
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答案
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答案
　　　同步卫星运行周期为24 h，由万有引力提供向心力G=mr，解得T=2π可知，轨道越高周期越大，则该卫星的高度低于同步卫星，
故A正确；
卫星运行过程中，加速度大小不变，方向始终在变化，故B错误；
圆轨道上近地卫星的环绕速度最大为第一宇宙速度，其他圆轨道运行速度均小于第一宇宙速度，故C错误；
根据万有引力公式F=G，地球外部同一物体所受万有引力与距离平方
成反比，轨道越高，万有引力越小，故D错误。
3.(2025·江苏南通市检测)伽利略发现木星有四个卫星。已知木星的质量为M、半径为R、自转周期为T0，木卫二绕木星做圆周运动的半径为r，引力常量为G。设木卫二运行速度为v，运行周期为T，则
A.v= B.v=
C.T=2π D.T=2π
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答案
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答案
　　　对木卫二，根据万有引力提供向心力有G=m，解得v=，
故A错误；
运行速度为v=，故B错误；
对木卫二，根据万有引力提供向心力有G=m()2r，解得T=2π，
故C错误，D正确。
4.(2025·江苏淮安市检测)某手机可与空中的地球静止卫星“天通一号01”实现卫星通话，则地球静止卫星
A.处于平衡状态
B.运行速度大小为7.9 km/s
C.“天通一号01”位于江苏正上方
D.若地球自转变慢，需要升高卫星轨道高度以保持与地球同步
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答案
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答案
　　　地球静止卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，不是处于平衡状态，故A错误；
根据万有引力提供向心力有=m，解得v=，地球第一宇宙速度
为7.9 km/s，等于近地卫星的环绕速度，地球静止卫星轨道半径大于近地卫星轨道半径，所以地球静止卫星运行速度小于7.9 km/s，故B错误；
地球静止卫星只能位于赤道的正上方，所以“天通一号01”不能位于江苏正上方，故C错误；
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答案
　　　根据万有引力提供向心力有=mr，解得T=，若地球自转变慢，则自转周期变大，需要升高卫星轨道高度以保持与地球同步，故D正确。
5.(2025·河南卷·3)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为
A.13天 B.27天 C.64天 D.128天
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答案
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答案
　　　地球绕太阳运行时，根据万有引力提供向心力得=m0r0，同理得类地行星绕其母恒星运行时有=mr，整理得=，将r=r0，M=M0，T0=365天，代入得T=T0≈13天，选项A正确。
6.(2025·江苏南通市检测)如图所示，空间站与微型卫星在机械臂的作用下，同步绕地球做匀速圆周运动。则下列说法正确的是
A.空间站的线速度大于微型卫星的线速度
B.微型卫星的向心力仅由地球对微型卫星的万有引力提供
C.若机械臂断裂，则微型卫星将远离地球
D.空间站的向心加速度大于微型卫星的向心加速度
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答案
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答案
　　　空间站与微型卫星在机械臂的作用下，同步绕地球做匀速圆周运动，即两者具有相同的角速度，由v=ωr可知，因空间站的运行半径较小，则空间站的线速度小于微型卫星的线速度，故A错误；
微型卫星的向心力由地球对微型卫星的万有引力和机械臂的拉力的合力提供，故B错误；
对微型卫星受力分析，有F+FT=mω2r，若机械臂断裂，则FT=0，微型卫星所受万有引力小于向心力，微型卫星将做离心运动远离地球，故C正确；
空间站与微型卫星的角速度相同，由a=ω2r可知，空间站的运行半径较小，则空间站的向心加速度小于微型卫星的向心加速度，故D错误。
7.(2025·江苏扬州市检测)北斗卫星导航系统中有一部分是地球同步卫星，已知地球半径为R，自转周期为T，第一宇宙速度为v，引力常量为G，求：
(1)地球的质量；
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答案
答案　
　　　设地面附近绕地球做圆周运动物体的质量为m，地球的质量为M，
根据万有引力定律及牛顿第二定律有G=m
解得地球的质量M=
(2)地球同步卫星距离地面的高度。
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答案
答案　-R
　　　设地球同步卫星离地面的高度为h，则有
G=m
解得h+R==
h=-R。
8.火星是近些年来发现的最适宜人类居住生活的星球，我国成功发射“天问一号”标志着我国成功地迈出了探测火星的第一步。已知火星直径约为地球直径的一半，火星质量约为地球质量的十分之一，航天器贴近地球表面飞行一周所用时间为T，地球表面的重力加速度为g，若未来在火星表面发射一颗人造卫星，最小发射速度约为
A. B. C. D.
√
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答案
能力综合练
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答案
　　　由G=m，得到星球的第一宇宙速度v=，设地球的第一宇宙速度为v1，由g=ωv1=v1，得v1=，设火星的第一宇宙速度为v2，则=，代入数据解得v2=v1=，故选B。
9.史瓦西半径是任何有质量的物质都存在的一个临界半径，该半径的含义是：该物质被压缩到此半径时，就成为一个黑洞，即它的逃逸速度等于光速c。已知某星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的倍，该星球半径R=6 400 km，表面重力加速度g取10 m/s2，光速c=3×108 m/s，不考虑星球的自转，则该星球的史瓦西半径约为
A.6毫米 B.9毫米
C.6米 D.9米
√
　　　对该星球，有=m，由黄金代换公式有GM=gR2，联立得史瓦西半径r=≈9×10-3 m，即9毫米。故选B。
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答案
10.(2024·江西卷·4)“嫦娥六号”探测器于2024年5月8日进入环月轨道，后续经调整环月轨道高度和倾角，实施月球背面软着陆。当探测器的轨道半径从r1调整到r2时(两轨道均可视为圆形轨道)，其动能和周期从Ek1、T1分别变为Ek2、T2。下列选项正确的是
A.=，= B.=，=
C.=，= D.=，=
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答案
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答案
　　　探测器在环月轨道做匀速圆周运动，则月球对探测器的万有引力提供向心力，设月球的质量为M，探测器的质量为m，则半径为r1时有
G=m=mr1，半径为r2时有G=m=mr2，再根据动能Ek=mv2，可得调整前后动能和周期的比值分别为=，=，故选A。
11.卫星与地心连线同地球表面的交点称为星下点(即卫星的正投影位置)，通过星下点监测系统可实时追踪卫星运行状态。某卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道如图甲虚线所示。图乙为该卫星的监测示意图：底部数值表示经度，曲线为星下点轨迹的时空展开图，其中标注了第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ圈的轨迹，A、B、C三点分别为各圈轨迹与赤道的交点。已知地球自转周期为24小时，卫星运行方向如图甲箭头所示。下列判断正确的是
1
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11
答案
尖子生选练
A.该卫星属于地球同步卫星中的静止卫星
B.该卫星的运行周期约1.5 h
C.该卫星运行过程中，线速度大小大于第一宇宙速度
D.根据A、B、C交点可判断，在卫星运行一圈时间内，地球大约自转30°
√
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11
答案
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答案
　　　由题图甲可知，该卫星运行轨道与赤道平面不重合，不属于地球同步卫星中的静止卫星，A错误；
第一宇宙速度为卫星运行的最大速度，该卫星运行过程中，线速度大小小于第一宇宙速度，C错误；
根据赤道与星下点轨迹展开图的交点A、C可知，地球自转45°，此时该卫星刚好运行两圈。即在该卫星运行一圈时间内，地球大约自转22.5°，D错误；
该卫星刚好运行两圈所用时间t=×24 h=3 h，可知该卫星的运行周期
约1.5 h，B正确。
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本课结束
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第五章

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