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第四章
曲线运动
专题强化：约束条件
下的抛体运动
第19课时
1.会处理斜面约束下的抛体运动。
2.会处理圆弧面约束下的抛体运动。
目标要求
考点一　斜面约束的抛体运动
考点二　圆弧面约束的平抛运动
内容索引
课时精练
斜面约束的抛体运动
考点一
已知条件 情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示 已知速度的方向垂直于斜面，分解速度tan θ==
从斜面外斜抛，垂直落在斜面上，如图所示 已知速度的方向垂直于斜面，分解速度tan θ==
已知条件 情景示例 解题策略
已知位 移方向 从斜面上平抛 又落到斜面上， 如图所示 已知位移的方向沿斜面向下，分解位移tan θ===
从斜面上斜抛 又落到斜面上， 如图所示 已知位移的方向沿斜面向下，分解位移tan θ==
在斜面外平抛， 落在斜面上位 移最小，如图 所示 已知位移的方向垂直斜面，分解位移tan θ===
(来自教材改编)跳台滑雪是一项勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以大小为20 m/s的速度飞出，落在斜坡上的
B处，斜坡与水平方向的夹角θ为37°，不计空气阻力(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10 m/s2)，求：
(1)运动员在空中飞行的时间；
答案　3 s
　　　运动员做平抛运动，设在空中飞行的时间为t，则有x=v0t，y=gt2，
由题图可知tan θ=
联立解得t=tan θ=3 s
(2)运动员落在B处时的速度大小；
答案　10 m/s
　　　运动员落在B处时有vx=v0，vy=gt
所以vB==10 m/s
(3)运动员在空中离坡面的最大距离。
答案　9 m
　　　取沿斜坡向下方向(x方向)与垂直于斜坡向上方向(y方向)分析运动员的运动，则在垂直于斜坡方向上的初速度为vy'=v0sin θ=12 m/s
加速度为ay=-gcos θ=-8 m/s2
当垂直于斜坡方向上的速度为0时，运动员在空中离坡面的距离最大，
则有d==9 m。
拓展
1.AB的距离l为多少？
答案　由x=v0t得x=60 m，l==75 m。
2.若运动员从跳台A处沿水平方向飞出的速度变为原来的一半，则运动员在空中飞行时间变为原来的多少倍？在斜面上飞行距离变为原来的多少倍？
答案　由(1)问知t=tan θ，可知t∝v0，故在空中飞行时间变为原来的。由l===可知l∝，故在斜面上飞行距离变为原来的。
3.初速度大小改变后，仍落在斜面上，速度方向与斜面夹角变化吗？
答案　落在斜面上时，位移方向相同，由平抛运动的推论可知速度方向相同，故速度方向与斜面夹角不变。
(2026·江苏泰州市调研)某同学以初速度v0=15 m/s水平抛出一个石子(可视为质点)，石子在空中运动的轨迹照片如图所示。从照片可看出石
答案　25 m/s
子恰好垂直打在一倾角为37°的斜坡上的A点。不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=
0.8，求：
(1)石子打在A点的速度大小；
　　　石子垂直打在斜坡上的A点，有v0=vsin 37°，解得石子打在A点的速度大小为v=25 m/s。
答案　2 s
(2)石子在空中运动的时间；
　　　石子打在A点时，有vy=vcos 37°，
又vy=gt，
解得石子在空中运动的时间为t=2 s。
答案　20 m
(3)抛出点与A点在竖直方向的距离。
　　　抛出点与A点在竖直方向的距离为h=gt2，
解得h=20 m。
冬奥会单板滑雪男子大跳台比赛某段过程简化成如图所示，运动员从倾角为α=30°的斜面顶端O点以v0=10 m/s的速度飞出，且与斜面夹角为θ=60°。图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜
面最远的点，B为在斜面上的落点，已知运动员的质量为m=60 kg(含装备)。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)从O运动到A点所用时间；
答案　1 s
　　　由题意可知，将运动员的运动情况分解，如图所示
从O点到A点过程中，运动员在垂直斜面方向上有vy=v0cos α，vy=gtcos α
联立代入数据可得t=1 s
(2)O、B之间的距离。
答案　20 m
　　　方法一　由对称性可知，从O到B点的时间为2t，
则从O到B过程有x=2v0tsin α+g(2t)2sin α
代入数据解得x=20 m
方法二　把运动员的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
因α=30°，
由图可知v0t'=gt'2
解得t'==2 s，
由几何关系知，两分运动的合位移即O、B之间的距离L=v0t'=20 m。
与斜面结合的抛体运动的分解方法
(1)正交分解法(两种情况)
①水平方向：匀速直线运动，vx=v0cos θ，x=vxt。
竖直方向：匀变速直线运动vy=v0sin θ-gt，y=v0sin θ·t-gt2(θ为v0与水平方向的夹角)。
②沿斜面方向：加速度为ax=gsin α的匀变速直线运动(α为斜面与水平方向的夹角——斜面倾角)。
垂直斜面方向：加速度为ay=gcos α的匀变速直线运动(类竖直上抛运动)。
(2)斜交分解法
沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动，如图所示。
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圆弧面约束的平抛运动
考点二
已知条件 情景示例 解题策略
已知速度方向 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ==
已知条件 情景示例 解题策略
利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示 已知位移大小等于半径R
已知条件 情景示例 解题策略
利用位移关系 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示 已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
(2025·江苏淮安市检测)如图所示，半球面的半径为R，球面上A点与球心O点等高，小球(视为质点)先后两次从A点以不同的速度v1、v2沿AO方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B、C点。设上述两过程中小球运动时间分别为tAB、tAC，速度的变化量分别为ΔvAB、ΔvAC。则
A.tABB.ΔvAB<ΔvAC
C.v1+v2=2R，式中g为重力加速度
D.撞击C点时的速度方向与球面垂直
√
　　　小球做平抛运动，根据h=gt2可知，运动时间相同，A错误；
根据Δv=gt可知由于运动时间相同，所以速度变化量也相同，B错误；
设小球的水平位移分别为x1和x2，
由几何关系可知x1=R-，x2=R+
根据平抛运动规律，可知x1=v1t，x2=v2t，h=gt2，
联立可得v1+v2=2R，C正确；
　　　若撞击C点时的速度方向与球面垂直，则C点速度方向的反向延长线过圆心O点，根据平抛运动的推论，速度的反向延长线一定过水平位移的中点，而O点不是水平位移的中点，与假设相矛盾，所以撞击C点时的速度方向与球面不垂直，D错误。
　　 如图，在A点以初速度v0水平向右抛出一质量为m=1 kg的小球(可视为质点)。经过一段时间后恰能无碰撞地从B点以速率v=5 m/s沿圆弧切线进入半径为R=1 m的竖直、粗糙、圆心角为θ=37°的圆弧轨道，由于摩擦力的作用，小球在圆弧轨道内速率不变，小球从C点水平飞出后击中一个竖直截面为y=x2的抛物线形状的容器壁，已知C点的坐标为(0，1 m)，
重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，不计空气阻力，求：(结果均可用根号表示)
(1)小球初速度大小v0及从A点到B点的时间；
答案　4 m/s　0.3 s
　　　小球在B点有v0=vcos θ
vy=vsin θ
小球从A点到B点的运动过程中vy=gt1
解得t1=0.3 s，v0=4 m/s
(2)小球击中容器壁处的坐标。
答案　( m， m)
　　　根据抛物线方程y=x2，yC=1 m，
假设小球击中容器壁D点处。小球从C点到D点的运动过程中xD=vt2，yD=yC-g，yD=
联立解得xD= m，yD= m
所以小球击中容器壁处D点的坐标为( m， m)。
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 　6
答案 C D A B C (1)2 s　(2)12 m
题号 7 8 9 10 答案 A C D C 答案
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1.如图所示，一小猴在树上将摘取的果实沿水平方向抛出，果实落在水平地面上且落地点相距小猴水平方向的距离为12 m，从落地点到小猴位置的连线与水平方向的夹角为53°。已知重力加速度g取10 m/s2，sin 53°
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答案
基础落实练
=0.8，cos 53°=0.6，不计空气阻力。则果实抛出时的速度大小约为
A.5.5 m/s B.6.0 m/s
C.6.7 m/s D.8.9 m/s
√
　　　果实抛出后做平抛运动，有x=v0t，xtan 53°=gt2，解得v0=3 m/s
≈6.7 m/s，故选C。
2.如图所示，若质点以初速度v0水平抛出后，落在倾角为θ=30°的斜面上，要求质点从抛出点到达斜面的位移最小，重力加速度为g，不计空气阻力，则质点的飞行时间为
A. B.
C. D.
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答案
　　　要求质点从抛出点到达斜面的位移最小，则质点的位移与斜面垂
直，根据几何知识有tan θ=，根据平抛运动规律有x=v0t，y=gt2，联立可得t=，故选D。
3.如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点正上方的C点处水平抛出一个小球(可视为质点)，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，不计空气阻力，则C点到B点的距离为
A. B. C. D.R
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答案
　　　小球通过D点时速度与圆柱体相切，则有vy=v0tan 60°，小球从C
到D，水平方向有Rsin 60°=v0t，竖直方向上有y=t，解得y=R，故C点到B点的距离为s=y-R(1-cos 60°)=，故选A。
4.如图甲所示，维修工人给屋顶进行加固维修，维修过程中，一位工人将材料从屋顶斜坡的底端A点斜向上抛出，另一位工人在斜坡顶部接住，简化图如图乙所示。把材料看作质点，屋顶看作倾角为30°的斜面，忽略空气阻力，工人以大小为v0、方向与斜面成30°的初速度将材料抛出，另一位工人恰好接住，已知重力加速度为g，则材料在空中运动的时间为
A. B.
C. D.
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答案
　　　将材料的运动沿斜面方向和垂直斜面方向分解，垂直斜面方向的初速度大小为v⊥=v0sin 30°=，垂直斜面方向的加速度大小为a⊥=gcos 30°
=g，材料运动的时间为t=2=，故选B。
5.如图所示，从水平面上A点以倾角α斜向右上方抛出一小球(可视为质点)，抛出时速度大小为v0。小球落到倾角为θ的斜面上C点时，速度方向正好与斜面垂直，B为小球运动的最高点，已知重力加速度为g，不计空气阻力，则
A.小球在B点的速度大小为v0sin α
B.小球从A点运动到B点的时间为
C.小球落到C点前瞬间竖直方向的速度大小为
D.小球从B点运动到C点的时间为
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答案
　　　小球在B点的速度大小为vx=v0cos α，故A错误；
小球在A点处竖直方向上的速度大小为vy=v0sin α，
则小球从A点运动到B点的时间为t==，故B错误；
小球落到C点前瞬间竖直方向的速度大小为vy'==，故C正确；
小球从B点运动到C点的时间为t'==，故D错误。
6.(2026·江苏淮安市检测)如图所示，坡面倾角θ为37°，一个小球从坡面上O点垂直坡面斜向上抛出，落到坡面上的A点，已知抛出时初速度大小
v0=8 m/s，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°
=0.8，不计空气阻力。求：
(1)小球从抛出到落在斜面上的时间t；
答案　2 s
　　　将小球的运动沿斜面方向与垂直于斜面方向分解，则垂直于斜面方向的加速度a1=gcos θ，
根据对称性可知，小球从抛出到落在斜面上的时间
t=2×=2×=2 s。
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(2)小球落点A到O点的距离。
答案　12 m
　　　小球沿斜面方向的加速度a2=gsin θ
则小球落点A到O点的距离x=a2t2
联立解得x=12 m。
7.(2025·江苏徐州市检测)如图所示，AB为建筑工地上的四分之一圆弧轨道，圆心为O，半径OB竖直，M、N点将OB分成3等份。工件甲、乙分别从M、N点水平向右抛出，不计空气阻力，则能垂直击中AB轨道的是
A.仅甲能
B.仅乙能
C.甲、乙都能
D.甲、乙都不能
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能力综合练
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答案
　　　设在OB上某点C水平抛出正好垂直落于圆弧上D点，可知速度反向延长线交于水平位移中点，如图所示
可见OC=ED，故OB中点下方水平抛出的小球都不
可能垂直落于AB圆弧轨道上。
若甲从M点水平抛出能垂直击中圆弧轨道，竖直位
移大小为=gt2，水平位移大小为=vt
可得水平速度大小为v=，即甲能垂直击中AB轨道，乙不能。故选A。
8.北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一。如图甲所示，两名运动员a、b(可视为质点)从雪道末端先后沿水平方向向左飞出，初速度之比va∶vb=1∶4，示意图如图乙。不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到雪坡(可视为斜面)上的整个过程中，下列说法正确的是
A.他们飞行时间之比为1∶2
B.他们飞行的水平位移大小之比为1∶8
C.他们在空中离雪坡面的最大距离之比为1∶16
D.他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同
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答案
　　　设运动员的初速度为v0时，飞行时间为t，水平方向的位移大小为x、竖直方向的位移大小为y，如图所示。运动员在水平方向上做匀速直线运动，
有x=v0t，在竖直方向上做自由落体运动，有y=gt2，
运动员落在坡面上时，有tan θ=，联立解得t=，则可知运动员飞行的时间t与v0成正比，则他们飞行时间之比为==，故A错误；
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　　　水平位移x=v0t=，运动员飞行的水平位移大小x与初速度的平方成正比，则他们飞行的水平位移大小之比为1∶16，故B错误；
将运动员的运动分解为沿坡面和垂直于坡面的两个
方向上，建立直角坐标系，在沿坡面方向做匀加速直线运动，垂直于坡面方向做匀减速直线运动，当垂直坡面的速度为零时，运动员离坡面最
远，则运动员在空中离雪坡面的最大高度为hmax=∝，所以他
们在空中离雪坡面的最大距离之比为1∶16，故C正确；
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　　　落到雪坡上时，设运动员的速度方向与竖直
方向夹角为α，则有tan α====，则他
们落到雪坡上的瞬时速度方向一定相同，故D错误。
9.(2025·江苏省苏州大学附属中学检测)在一个足够长的斜面上，将一个弹性小球沿垂直斜面的方向抛出，落回斜面又弹起。如图所示，设相邻落点的间距分别为x1、x2、x3、…每次弹起时平行于斜面的速度不变，垂直于斜面的速度大小不变、方向相反。不计空气阻力，下列说法正确的是
A.小球每次弹起在空中运动时间越来越长
B.小球每次弹起时和斜面间的最大间距越来越大
C.x1∶x2∶x3=1∶2∶3
D.x1+x3=2x2
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　　　将垂直斜面向上的抛体运动分解成沿斜面方向和垂直斜面方向的两个分运动，在垂直斜面方向做的是类斜抛运动，当垂直于斜面方向的分速度减小为零时，离开斜面最远。由于每次反弹垂直斜面方向速度大
小不变，所以每次在空中运动时间相同和斜面间的最大距离相同，故A、B错误；
在沿斜面方向，每次反弹沿斜面方向的速度不变，所以在该方向上小球做初速度为0的匀加速直线运动，则x1∶x2∶x3=1∶3∶5，根据相等时间的位移关系可知x2-x1=x3-x2，可得x1+x3=2x2，故C错误，D正确。
10.(2026·江苏宿迁市检测)如图所示，水平面上有一足够长的斜面，在斜面上的某点将一小球以速度v0斜向上抛出，抛出时速度方向与斜面的夹角为θ，经过一段时间后，小球沿水平方向击中斜面，落点到抛出点距离为L，不计空气阻力。若减小小球抛出时的速度v0，使小球仍水平击中斜面，则应该
A.适当增大夹角θ
B.无论怎样调整夹角θ，小球都不可能水平击中斜面
C.保持θ不变，若以0.5v0抛出，则落点到抛出点距离为
D.保持θ不变，若以0.5v0抛出，则落点到抛出点距离为
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　　　小球斜向上抛出后水平击中斜面，可以看成从斜面上平抛后击中斜面的逆运动，即小球从斜面水平抛出后落在斜面上，斜面倾角即为平
抛运动的位移与水平面的夹角，只要小球仍落在斜面上，位移偏向角不变，根据速度偏向角与位移偏向角的关系可知，速度偏向角也不变，所以减小斜抛的速度v0后，若使小球仍能水平击中斜面，应保持夹角θ不变，故A、B错误；
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　　　设斜面倾角为α，若小球以速度v0斜向上抛出，则v0cos(α+θ)·t1=
Lcos α，Lsin α=g，联立有L∝，若小球以速度v'=0.5v0斜向上抛出，则有L'=，故C正确，D错误。
本课结束
THANKS
第四章

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