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第四章
曲线运动
圆周运动
第21课时
1.掌握描述圆周运动的各物理量及它们之间的关系。
2.掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法。
3.掌握圆周运动的动力学问题的处理方法。
目标要求
考点一　圆周运动的运动学问题
考点二　圆周运动的动力学问题
内容索引
课时精练
圆周运动的运动学问题
考点一
1.描述圆周运动的物理量
　
　
　
ω2r
r
2.匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处 ，所做的运动叫作匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小 ，方向始终指向 ，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小 ，方向始终与 方向垂直且指向圆心。
相等
不变
圆心
不变
速度
在an=，an=ω2r两式中an与r成正比还是成反比？
讨论交流
答案　在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比。
(2025·河北卷·5)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片记录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相
机本次曝光时间是 s，圆弧对应的圆心角约为30°，
则该同学每分钟跳绳的圈数约为
A.90 B.120 C.150 D.180
√
　　　根据题意可知跳绳的转动角速度为ω== rad/s=5π rad/s，转动周期T==0.4 s，故每分钟跳绳的圈数为n===150，故选C。
(2025·江苏常州市检测)如图所示为脚踏自行车的传动装置简化图，甲、乙两轮同轴且无相对转动，传动链条在各轮转动中不打滑，A、B、C分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，则
A.周期TA>TB B.线速度vA=vB
C.角速度ωA<ωC D.向心加速度aB>aC
√
　　　甲和丙链条转动，所以其线速度大小相等，即vA=vC根据v=ωr因为rAωC
甲、乙同轴转动，则二者角速度相等，即ωA=ωB
则ωA=ωB>ωC，故C错误；
根据T=
可得TA=TB，故A错误；
根据v=ωr且rA可得vA　　　对甲、丙由a=
根据vA=vC，rAaC
对甲、乙由a=ω2r
根据ωA=ωB，rA故aC 同轴转动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等
转向 相同 相同 相反
同轴转动 皮带传动 齿轮传动
规律 线速度与半径成正比：= 向心加速度与半径成正比：= 角速度与半径成反比： = 向心加速度与半径成反比：= 角速度与半径成反比：
=
向心加速度与半径成反比：=
(2025·江苏南通市检测)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，重力加速度为g，则下列说法错误的是
A.子弹在圆筒中的水平速度为d
B.子弹在圆筒中的水平速度为2d
C.圆筒转动的角速度可能为π
D.圆筒转动的角速度可能为3π
√
　　　子弹在圆筒中运动的时间与自由下落高度h的时间相同，由h=gt2，解得t=
则v0==d
故A正确，不符合题意；
B错误，符合题意；
　　　在此段时间内圆筒转过的圈数为半圈的奇数倍，即ωt=(2n+1)π(n=
0，1，2，…)
所以ω==(2n+1)π(n=0，1，2，…)
当n=0时，ω=π
当n=1时，ω=3π，故C、D正确，不符合题意。
匀速圆周运动的周期性和多解性问题
匀速圆周运动基本特征之一就是周期性，即在做匀速圆周运动过程中，物体的空间位置具有时间上的重复性。这一特点决定了匀速圆周运动问题的多解性。在分析匀速圆周运动与其他运动(匀速直线运动、平抛运动等)相联系的问题时，利用运动的等时性(同时发生、同时结束)是解决此类问题的关键。
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圆周运动的动力学问题
考点二
1.向心力
(1)作用效果
产生向心加速度，只改变速度的 ，不改变速度的 。
(2)大小
Fn=_____= = =mωv。
(3)方向
始终沿半径方向指向 ，时刻在改变，即向心力是一个变力。
方向
大小
m
mrω2
mr
圆心
2.圆周运动中向心力与合力的关系
3.常见匀速圆周运动模型
运动模型 向心力Fn的来源(图示)
汽车在水平路面转弯
水平转台(光滑)
Ff
FT
mBg
运动模型 向心力Fn的来源(图示)
洗衣机转筒
圆锥摆
FN
mgtan θ
lsin θ
运动模型 向心力Fn的来源(图示)
飞车走壁
飞机水平转弯
mgtan θ
mgtan θ
运动模型 向心力Fn的来源(图示)
火车转弯
mgtan θ
4.离心运动和近心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做 的运动。
(2)受力特点(如图)
①当F=0时，物体沿 方向飞出，做匀速直线运动。
②当0③当F>mrω2时，物体逐渐 ，做 运动。
(3)离心运动的本质：并不是受到离心力的作用，而是提供的力 做匀速圆周运动需要的向心力。
逐渐远离圆心
切线
远离
离心
向圆心靠近
近心
小于
(2023·江苏卷·13)“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动。当角速度为ω0时，碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小v0和受到的静摩擦力大小Ff。
答案　ω0r　mr
　　　发光物体的速度为v0=ω0r
发光物体做匀速圆周运动，则静摩擦力充当做圆周运动的向心力，则静摩擦力大小为Ff=mr。
(2025·山东卷·4)某同学用不可伸长的细线系一个质量为0.1 kg的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为0.6 m的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为 s。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹，重力加速度g取10 m/s2。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为
A.11 N B.9 N C.7 N D.5 N
√
　　　根据题意可知在曝光时间内小球运动的弧长为Δl=r=×0.6 m=
0.12 m，可得线速度v== m/s=6 m/s，在最低点根据牛顿第二定律有FT-mg=m，代入数据解得FT=7 N。
(2025·江苏徐州市一模)如图所示，一条长为L=50 cm的不可伸长细线，上端固定在转轴OO'的O点，下端拴一质量为m=1 kg的小球，使小球在水平面内随转轴做匀速圆周运动，细线沿圆锥面旋转，这样就形成了一个圆锥摆。忽略空气阻力，重力加速度g取
10 m/s2(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)。
(1)当细线与竖直方向成θ=37°角时，求小球的角速度大小；
答案　5 rad/s
　　　对小球进行受力分析，如图所示
根据牛顿第二定律，有
mgtan θ=mω2Lsin θ
代入数据解得ω=5 rad/s
(2)若保持小球轨迹圆的圆心到O点的竖直距离h不变，改变线长L，小球做匀速圆周运动的动能Ek是否会随之改变？如何改变？写出分析过程。
答案　见解析
　　　对小球，根据牛顿第二定律有mgtan θ=m
根据几何关系有cos θ=且Ek=mv2
整理可得Ek=(L2-h2)
可知保持小球轨迹圆的圆心到O点的竖直距离h不变，改变线长L，小球做匀速圆周运动的动能Ek随之改变，且线长越长，动能Ek越大。
圆周运动中动力学问题的分析思路
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D D B C A A (1)8 N　(2)10 N 题号 8 9 10 　11 12
答案 B D C (1)50 N/m　(2) rad/s D
答案
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1.(2024·甘肃卷·8改编)电动小车在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是
A.小车的速度不变
B.小车的动量不变
C.小车的加速度不变
D.小车所受的合外力一定指向圆心
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答案
基础落实练
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答案
　　　做匀速圆周运动的小车速度大小不变，方向时刻在改变，故A、B错误；
做匀速圆周运动的小车加速度大小不变，方向时刻在改变，故C错误；
小车所受的合外力一定指向圆心，故D正确。
2.(2024·黑吉辽·2)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的
A.半径相等
B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
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答案
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答案
　　　由题意可知，球面上P、Q两点转动时属于同轴转动，故角速度大小相等，故D正确；
由题图可知，球面上P、Q两点做圆周运动的半径的关系为rP根据v=rω可知，球面上P、Q两点做圆周运动的线速度的关系为vP根据an=rω2可知，球面上P、Q两点做圆周运动的向心加速度的关系为aP3.如图所示，一辆电动车在水平地面上以恒定速率v行驶，依次通过a、b、c三点，比较三个点向心力大小
A.Fa>Fb>Fc B.FaC.FcFc>Fb
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答案
　　　根据向心力公式F=，由于速率恒定，半径越小的位置向心力越大，从题图可知曲率半径ra>rb>rc，故Fa4.滚筒洗衣机的实物图片如图所示。脱水时，滚筒绕水平轴高速匀速转动，附着在衣物上的水会从滚筒漏水孔中甩出。下列相关说法中正确的是
A.水被甩出前在最高点与最低点受到衣物附着力大小相等
B.在与转轴等高的位置，水受到的衣物附着力指向转轴
C.水在最低点更容易被甩出
D.水在最高点更容易被甩出
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答案
　　　滚筒洗衣机的脱水筒匀速旋转，衣服在最高点和最低点时，附着在潮湿衣服上的水由重力和衣服与水之间的附着力的合力提供向心力，在最高点有F1+mg=，在最低点有F2-mg=，可得F2>F1，所以在最低点时，水所需附着力较大，更容易被甩出，故A、D错误，C正确；
在与转轴等高的位置，水的重力和衣物附着力的合力提供向心力，向心力方向指向转轴，由于重力向下，所以水受到的衣物附着力不指向转轴，故B错误。
5.(2025·江苏常州市质检)随着交通的发展，旅游才真正变成一件赏心乐事，各种“休闲游”“享乐游”纷纷打起了宣传的招牌。某次旅游中游客乘坐列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道过程中，游客发现车厢顶部悬挂玩具小熊的细线稳定后与车厢侧壁平行，同时观察放在桌面(与车厢底板平行)上水杯内的水面，已知此弯道路面的倾角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是
A.列车的轮缘与轨道无侧向挤压作用
B.列车转弯过程中的向心加速度为gtan θ，
方向与水平面的夹角为θ
C.水杯与桌面间有静摩擦力
D.水杯受到桌面的支持力与水杯的重力是一对平衡力
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答案
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答案
　　　对玩具小熊m1gtan θ=m1an，得an=gtan θ，对列车整体m2an=m2gtan θ，说明列车的轮缘与轨道无侧向挤压作用，且加速度为水平方向，A正确，B错误；
水杯所受支持力方向与竖直方向夹角为θ，同理，水杯与桌面间不存在静摩擦力，C错误；
水杯受到桌面的支持力与水杯的重力方向不共线，不可能是一对平衡力，D错误。
6.如图所示摩天轮，其高度为208 m，轮的直径为193 m，运转一周大约需要30 min。关于这个摩天轮上的座舱随摩天轮做匀速圆周运动的过程，下列说法中正确的是
A.座舱所受合力大小始终不变
B.座舱每通过1 m的路程大约需要0.34 s
C.座舱上升的加速度大于其下落过程的加速度
D.座舱受摩天轮作用的力始终等于座舱所受的重力
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答案
　　　座舱所受合力提供向心力，向心力公式为Fn=m，由于座舱做匀速圆周运动，则加速度大小不变，所以座舱所受合力大小始终不变，A正确，C错误；
摩天轮运转一周的路程是s=πd=π×193 m，运转一周的时间t=30 min=
1 800 s，那么线速度大小v=== m/s，则通过1 m路程所需时间t'==≈3 s，B错误；
座舱做匀速圆周运动，合力不为零，摩天轮对座舱的作用力与重力的合力提供向心力，所以摩天轮对座舱的作用力不等于重力，D错误。
7.(2025·江苏无锡市模拟)长度L=0.25 m不可伸长的轻绳一端系着质量m=1 kg的小球，另一端系在固定竖直轴上。某次锻炼时，小球绕轴做角速度ω=2 rad/s的匀速圆周运动，此时轻绳与轴的
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答案
夹角θ=53°，如图所示。不计小球的一切阻力，小球可视为质点，且始终未离开地面，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。求：
(1)小球所需向心力大小Fn；
答案　8 N
　　　小球所需向心力大小
Fn=mLsin θ·ω2=1×0.25×0.8×(2)2 N=8 N。
(2)轻绳拉力大小FT。
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答案
答案　10 N
　　　水平方向上，根据牛顿第二定律有FTsin θ=Fn
解得FT=10 N。
8.(2025·江苏卷·4)游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以O、O'为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。O'固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上。则
A.A点做匀速圆周运动
B.O'点做匀速圆周运动
C.此时A点的速度小于O'点
D.此时A点的速度等于O'点
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答案
能力综合练
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答案
　　　A点运动为A点绕O'的圆周运动和O'绕O点的圆周运动的合运动，则轨迹不是圆周，不做匀速圆周运动，故A错误；
根据题意O'固定在底盘上，故可知O'围绕O点做匀速圆周运动，故B正确；
杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上且A点和O'点运动方向相同，则vA=vO'+vA'，vA'为A相对于O'的速度，故此时A的速度大于O'的速度，故C、D错误。
9.(2026·江苏省苏州大学附属中学检测)如图所示为一个半径为5 m的圆盘，正绕其圆心做匀速转动，当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置时，在其圆心正上方20 m的高度有一个小球(可视为质点)正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出，g取10 m/s2，要使得小球正好落在A点，则
A.小球平抛的初速度一定是1.25 m/s
B.小球平抛的初速度可能是1.25 m/s
C.圆盘转动的角速度一定是π rad/s
D.圆盘转动的角速度可能是π rad/s
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答案
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答案
　　　根据h=gt2，可得t==2 s，则小球平抛的初速度v0==2.5 m/s，故A、B错误；
根据ωt=2nπ(n=1，2，3…)，解得圆盘转动的角速度ω==nπ rad/s(n=1，2，3…)，故C错误，D正确。
10.(2024·江苏卷·11)如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处做水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处做水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则
A.线速度vA>vB B.角速度ωA>ωB
C.向心加速度aAFB
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答案
　　　设绳子与竖直方向夹角为θ，从小球到顶点的绳子长度为l，小球所在平面距离顶点的竖直高度为h，对小球受力分析有F向=mgtan θ=ma，由题图可知，小球从A高度到B高度θ增大，则FB>FA，aB>aA，故C正确，D错误；
又mgtan θ=mrω2=m，r=htan θ=lsin θ，整理有v=，ω=，小球
从A处到达B处，l减小，θ增大，则无法判断vA、vB的关系，又hBωA，故A、B错误。
11.(2025·江苏南通市二模)如图所示，足够长的水平轻杆中点O固定竖直轻质转轴，小球A和B分别套在水平杆中点两侧，原长L0=0.8 m的轻质弹簧一端固定在O点，下端与套在转轴上的小球C连接，C分别与A、
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答案
B用长L=1 m的轻质细绳连接。装置静止时，两根绳恰好拉直且无张力。在外力作用下，装置绕转轴缓慢增大转速，C缓慢上升。小球A、B、C的质量均为m=1 kg，均可看成质点，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)弹簧的劲度系数k；
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答案
答案　50 N/m
　　　装置静止时，小球C受力平衡，有k(L-L0)=mg，解得k=50 N/m
(2)当绳AC与水平方向成37°时，装置转动的角速度ω。
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答案
答案　 rad/s
　　　设AC绳与水平方向成37°时，对小球C在竖直方向有2FT sin 37°
=mg+k(L0-Lsin 37°)
对小球A有FTcos 37°=mω2Lcos 37°
解得ω= rad/s。
12.如图，矩形框MNPQ竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一质量为m的小球，小球穿过PQ杆。当矩形框绕MN轴分别以不同的角速度ω1和ω2匀速转动时，小球相对于PQ杆的位置不变。下列说法正确的是
A.弹簧的弹力大小可能发生了变化
B.杆PQ对小球的弹力大小一定发生了变化
C.若ω2>ω1，则角速度为ω2时杆PQ对小球的弹力更大
D.小球所受合外力的大小一定发生了变化
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答案
尖子生选练
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　　　由题意，因为小球相对于PQ杆的位置不变，所以弹簧长度不变，伸长量不变，则弹力大小一定不变，故A错误；
设弹簧弹力大小为F，弹簧与竖直方向的夹角为θ，假设矩形框绕MN轴以角速度ω1转动时，PQ对小球的弹力方向背离MN，且大小为FN1；矩形框绕MN轴以角速度ω2转动时，PQ对小球的弹力方向指向MN，且大小为FN2，则根据牛顿第二定律分别有Fsin θ-FN1=mr
FN2+Fsin θ=mr
解得FN1=Fsin θ-mr
FN2=mr-Fsin θ
若ω2>ω1，则FN1和FN2可能相等，FN2也可能小于FN1，故B、C错误；
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　　　小球做圆周运动的半径不变，角速度变化，则所需向心力大小发生变化，所以用于提供向心力的合外力大小一定发生了变化，故D正确。
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第四章

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