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第一章
运动的描述　匀变速直线运动的研究
追及相遇问题
微点突破1
1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧。
2.会在图像中分析追及相遇问题。
3.熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题。
目标要求
考点一　追及相遇问题的分析和计算
考点二　运动学图像在追及相遇问题中的应用
内容索引
跟踪训练
追及相遇问题的分析和计算
考点一
追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。
追及相遇问题的基本物理模型：(以甲追乙为例)
1.二者距离变化与速度大小的关系
(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲(2)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小。
2.分析思路
可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。
3.常见追及情景
(1)初速度小者追初速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。
(2)初速度大者追初速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间距离有最小值。
物体甲追赶物体乙：开始时，两个物体相距x0，当v甲=v乙时，若x甲>x乙+x0，则能追上；若x甲=x乙+x0，则恰好追上；若x甲特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
　　　某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。求：
(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
答案　6 m/s
　　　赛车出发3 s末的瞬时速度大小为
v1=a1t1=2×3 m/s=6 m/s。
(2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小；
答案　20 s　40 m/s
　　　设经t2时间追上安全车，由位移关系得
v0t2+200 m=a1，解得t2=20 s
此时赛车的速度大小v=a1t2=2×20 m/s=40 m/s
(3)追上之前两车的最大距离。
答案　225 m
　　　方法一　物理分析法
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0=a1t3得两车速度相等时，经过的时间
t3== s=5 s，追上之前两车最远相距
Δs=v0t3+200 m-a1=(10×5+200-×2×52) m=225 m。
方法二　二次函数法
Δs=v0t+200-a1t2=10t+200-t2
当t== s=5 s时，Δs有极值，相距最远，将t=5 s代入解得Δsmax=225 m。
　　　方法三　图像法
从图像可知，当赛车速度等于安全车速度时，即v0=a1t0=10 m/s，得t0=5 s时相距最远，
Δsmax=v0t0-t0+200 m=225 m。
拓展　若当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以大小为4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设两车道平行，赛车可以从安全车旁经过而不相碰，用物理分析法和图像法两种方法解题)
答案　20 s
　　　方法一　物理分析法
假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)，由位移关系得vt4-a2=v0t4
解得t4=15 s
赛车停下来的时间t'== s=10 s
所以t4=15 s不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动
设再经时间t5两车第二次相遇，应满足=v0t5，解得t5=20 s。
　　　方法二　图像法
赛车和安全车的v-t图像如图。由图知t=10 s，赛车停
下时，安全车的位移小于赛车的位移，由v0t5=，
得t5=20 s。
(2025·江苏泰州市检测)春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前9 m区间的速度不超过6 m/s，现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以20 m/s和34 m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后，甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为2 m/s2的加速度匀减速刹车。
(1)甲车司机需要在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章？
答案　100 m
　　　对甲车，速度由20 m/s减至6 m/s过程中的位移为x1== m
=91 m
所以甲车司机开始减速时离收费站窗口的距离至少为x=x1+x0=100 m，才不违章。
(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m处的速度恰好为6 m/s，乙车司机在发现甲车刹车时经t0=0.5 s的反应时间后开始以大小为4 m/s2的加速度匀减速刹车，为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m区间内不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？
答案　66 m
　　　设甲刹车后经时间t，甲、乙两车速度相同，
由运动学公式得v乙-a乙(t-t0)=v甲-a甲t
解得t=8 s
相同速度为v=v甲-a甲t=4 m/s<6 m/s
乙车从发现甲车刹车到速度减为6 m/s的过程中的位移为x2=v乙t0+
=157 m
所以甲、乙两车的距离至少为x'=x2-x1=66 m。
解答追及相遇问题的三种方法
物理分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，建立物体运动情景图，分析两物体的速度大小关系，利用速度相等时两物体的位置关系，判断能否追上、二者相距最近或最远
函数方程判断法 设经过时间t，二者间的距离Δx=xB+x0-xA，假设追上，Δx=0，方程中Δ=b2-4ac，Δ<0，追不上；Δ=0，恰好追上，一解；Δ>0，两解或发生了相撞；或利用函数极值求解二者距离最大值或最小值
图像法 将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题
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运动学图像在追及相遇问题中的应用
考点二
1.x-t图像、v-t图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。
2.利用v-t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v-t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。
3.若为x-t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a-t图像，可转化为v-t图像进行分析。
(2024·江苏省梁丰高级中学模拟检测)某同学用甲、乙两辆汽车来研究相遇问题的规律，如图是他根据运动规律绘制的在同一平直道路上相邻车道行驶的甲、乙两车(视为质点)的运动位置—时间图线。已知甲的运动图线为一条顶点为(0，x0)的抛物线，乙的运动图线为一过原点的直线。两条图线中其中一个交点坐标为(t1，x1)。则下列说法正确的是
A.t1时刻甲车速度为
B.甲车在做匀加速直线运动的加速度为
C.图中甲、乙两车再次相遇时刻为t2=
D.如果两车只相遇一次，则必有x1=x0
√
　　　根据运动学公式x1-x0=vt1
解得t1时刻甲车速度为v=，故A错误；
甲车在做匀加速直线运动的加速度为
a==，故B错误；
题图中甲、乙两车再次相遇有x0+a=v乙t2
乙的速度为v乙=
解得题图中甲、乙两车再次相遇时刻为t2=(t2=t1，舍去)，故C正确；
　　　如果两车能相遇有
x0+at2=v乙t
两车只相遇一次有Δ=0
解得x1=2x0，故D错误。
(2025·江苏徐州市调研)甲、乙两小车沿同一平直路面的相邻两车道上同向行驶，t=0时刻，甲在乙前方16 m处，它们的v-t图像如图所示，两车均可视为质点，则下列说法正确的是
A.乙车的加速度大于甲车的加速度
B.两车只能相遇一次
C.在t=6 s时，两车相遇
D.在t=6 s时，乙车在甲车前方2 m处
√
　　　根据v-t图像可知甲、乙两车做匀加速直线运动，加速度分别为a甲== m/s2=2 m/s2
a乙== m/s2=1 m/s2
可知乙车的加速度小于甲车的加速度，故A错误；
　　　t=6 s时两车速度相等，由v-t图像可知0~6 s内甲、乙两车通过的位移大小分别为
x甲=×12×6 m=36 m
x乙=×(6+12)×6 m=54 m
由于x乙-x甲=54 m-36 m=18 m，由题意可知，t=0时刻，甲在乙前方16 m处，则在t=6 s前，乙车已经追上甲车；在t=6 s时，乙车在甲车前方2 m处；由于之后甲车速度大于乙车速度，所以甲车可以追上乙车，则两车能相遇两次，故B、C错误，D正确。
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跟踪训练
1.(2025·江苏扬州市检测)赛龙舟是端午节的习俗之一。比赛时，甲龙舟在0时刻由静止启动，乙龙舟在t0时刻由静止启动，且甲、乙启动的出发点相同，一段时间内的v-t图像如图所示。下列说法正确的是
A.甲龙舟在t1时刻距离出发点最远
B.甲龙舟在0~t1时间内的平均速度为
C.两龙舟之间的距离先变大后变小
D.两龙舟在t2时刻相距最远
√
　　　由题图可知，甲龙舟的速度方向一直未变，所以其位移一直增大，在t1时刻距离出发点不是最远，故A错误；
由题图可知，甲龙舟做的是非匀变速直线运动，根据v-t图像与t轴所围的面积表示位移可知，0~t1时间内甲龙舟的位移x>，则有>，故B错误；
由题图可知，两图线交点处是二者速度相等的时刻，也是二者距离最大时刻，此前甲的速度大于乙的速度，二者距离增大，此后乙的速度大于甲的速度，二者距离减小，所以两龙舟之间的距离先变大后变小，故C正确；
根据C选项分析，可知两龙舟相距最远的时刻小于t2，故D错误。
2.(2026·江苏省扬州市检测)甲、乙两辆小车分别在平行的两条直轨道上沿同一方向运动，从它们并排时开始计时，二者的v-t图像如图所示。两车可视为质点，下列说法正确的是
A.甲车在4 s末距初始计时点最远
B.甲车在第5 s末的加速度大小为2 m/s2
C.相遇前两车的最大距离为10 m
D.甲、乙两辆小车在10 s末相遇
√
　　　甲车4 s末的速度达到最大，方向未发生变化，4 s末还在前进，故A错误；
根据v-t图像的斜率可知，甲车在第5 s末的加速度大小为a=||=4 m/s2，故B错误；
当甲、乙两车速度相等时相距最远，经分析当t=5 s时两者速度相等，根
据v-t图像与t轴围成的面积表示位移可知，此时两车间的距离为x=×5×
4 m=10 m，故C正确；
甲车从计时开始到停下运动的位移为x甲=×4 m+×2×8 m=32 m，乙车运动32 m需要的时间为t乙== s=8 s，故8 s末甲、乙两车相遇，故D
错误。
3.物理兴趣小组的同学用两个相同的遥控小车沿直线进行追逐比赛，两小车分别安装不同的传感器并连接到计算机中，A小车安装加速度传感器，B小车安装速度传感器，两车初始时刻速度大小均为v0=30 m/s，A车在前、B车在后，两车相距100 m，其传感器读数与时间的函数关系图像如图所示，规定初始运动方向为正方向。下列说法正确的是
A.t=3 s时两车间距离为25 m
B.3~9 s内，A车的加速度大
　小大于B车的加速度大小
C.两车最近距离为10 m
D.0~9 s内两车相遇一次
√
　　　在0~3 s内A车做匀减速运动，A车减速到零所需时间tA==3 s，故在t=3 s时A车减速到零，A车前进的位移为xA=tA=45 m，B车前进的位移为xB=v0tA=90 m，t=3 s时两车间距离为Δx=d+xA-xB=55 m，故A错误；
　　　由题图可知在3~9 s内A车的加速度为aA2=5 m/s2，在v-t图像中，图像的斜率表示加速度，则aB==-5 m/s2，故A、B两车的加速度大小相等，故B错误；
t=3 s后，A车开始由静止做匀加速运动，B车开始做匀减速运动，3~9 s的过程中，设经历时间t'两者速度相同，则v共=aA2t'=v0+aBt'，解得t'=3 s，v共=15 m/s，
A车在t'=3 s内前进的位移为x1=t'=22.5 m，B车前进的位移为x2=t'=67.5 m，
故此时两车相距的最小距离为Δxmin=Δx+x1-x2=10 m，此后A车的速度大于B车的速度，两者间的距离开始增大，故不可能相遇，故C正确，D错误。
4.(2026·江苏徐州市检测)如图所示，甲、乙两辆汽车并排沿平直路面向前行驶，两车车顶O1、O2两位置都装有蓝牙设备，这两个蓝牙设备在相距13 m以内时能够实现通信，t=0时刻，甲、乙两车刚好位于图示位置，此时甲车的速度为9 m/s，乙车静止，O1、O2的距离为5 m。从该时刻起乙车以大小为3 m/s2的加速度做匀加速直线运动，当速度达到12 m/s后保持匀速直线运动，甲车保持原有速度做匀速直线运动。求：
(1)甲、乙两车第一次通信断开时甲比乙多走的路程；
答案　12 m
　　　甲、乙两车第一次通信断开时，甲车在乙车前方且O1O2为13 m，
根据几何关系可知，此时甲比乙多走的路程为Δx= m=12 m
(2)甲、乙两车第一次通信断开时，乙车的速度大小。
答案　6 m/s
　　　设甲、乙两车经过时间t1第一次通信断开，
则有Δx=x甲-x乙=12 m
又x甲=v甲t1，x乙=a
联立可得-6t1+8=0
解得t1=2 s或t1=4 s(舍去)
则甲、乙两车第一次通信断开时，乙车的速度大小为v1=at1=6 m/s。
5.(2025·江苏南京师大苏州实验学校质量调研)汽车A以4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0=7 m处、以10 m/s的速度在相邻车道同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为2 m/s2，从此刻开始计时。求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离；
答案　16 m
　　　根据题意，画出汽车A和B的运动过程，如图所示
当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v=vB-at=vA
解得t=3 s
此时汽车A的位移为
xA=vAt=12 m
汽车B的位移xB=vBt-at2=21 m
故最远距离Δxmax=xB+x0-xA=16 m
(2)经过多长时间A恰好追上B；
答案　8 s
　　　根据题意可知，汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1==5 s
运动的位移为xB'==25 m
汽车A在t1时间内运动的位移为
xA'=vAt1=20 m
此时两车相距Δx=xB'+x0-xA'=12 m
汽车A需再运动的时间
t2==3 s
故A追上B所用时间
t总=t1+t2=8 s
(3)若汽车A以4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距7 m处，以10 m/s的速度在相邻车道同方向运动的汽车B正向左开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为2 m/s2，则经过多长时间汽车B恰好追上汽车A？
答案　(3-) s
　　　根据题意，由位移关系式有
vBt-at2=vAt+x0
解得t1=(3-) s
t2=(3+) s(舍去)。
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本课结束
THANKS
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