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第十一章
磁场
磁聚焦与磁发散
微点突破9
1.理解磁聚焦、磁发散的原理。
2.会分析解决磁聚焦、磁发散的问题。
目标要求
考点一　磁聚焦
考点二　磁发散
内容索引
跟踪训练
磁聚焦
考点一
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R=r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚)
证明：四边形OAO'B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO'(即竖直方向)，可知从A点入射的带电粒子必然经过B点。
　　　在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运动。如图所示，正方形abcd边长为L，一束相同的正离子以相同的速度v垂直ab边射入，如果在abcd的某区域内存在着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面的匀强磁场，最终所有离子均从c点射出，不计离子的重力和离子间的相互作用，则
A.磁场方向垂直纸面向里
B.离子的比荷为
C.磁场区域的最小面积为
D.离子在磁场中运动的最长时间为
√
　　　由题意可知，离子向下偏转，由左手定则知，磁场方向垂直纸面向外，故A错误；
画出离子轨迹，如图，由图可知为磁聚焦模型，故运动
半径r=L，再由qvB=m得=，故B错误；
由图可知，磁场区域的最小面积为“叶”形面积S=2(-)=，故C错误；
离子在磁场中运动的最大圆心角为，则最长时间为t==，故D正确。
　　　(2025·江苏省苏州大学附属中学检测)如图所示，平面内有一个半径为R的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域abcd，两个区域的切点O为ad边的中点，ab=R，bc=2R，bc和cd边上分别有两个接收屏(接收屏的长度等于矩形区域的边长)。两个区域内存在垂直纸面向外且大小相同的匀强磁场，磁感应强度B=，现有一簇粒子(质量为m，电荷量为+q)以速度v0、方向竖直向上垂直磁场进入圆形区域(粒子的分布宽度等于圆形区域的直径且分布均匀)，不考虑粒子的重力和
粒子间相互作用，不再考虑射出矩形边界后的粒子。求：
(1)沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动时间t；
答案　　
　　　粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qv0B=m，T=
解得r=R，T=
沿着半径射入的粒子一定沿半径射出，根据几何关系可知，粒子在圆形磁场中的轨迹为四分之一圆弧，则运动时间为t=
解得t=
(2)矩形区域内粒子所经过的面积S；
答案　(+1)R2　
　　　结合上述可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径等于圆形磁场区域的半径，则粒子入射点、出射点、磁场圆形区域的圆心与轨迹圆的圆心四点构成的四边形为菱形，则所有粒子经过圆形磁场均可由切点O进入矩形磁场内部，速度方向为矩形区域内的任意方向，根据圆形磁场区域的磁会聚规律，
根据几何关系可知，沿平行于Oa方向射入的粒子打在b点，此时为粒子经过的最上方路径，如图甲所示
则粒子在矩形区域磁场中所经过的面积为一个圆心
角为90°的扇形和一个正方形的面积之和，
解得S=(+1)R2
(3)打到cd屏上的粒子数占进入矩形区域粒子数的比例N。
答案　
　　　打在cd边的粒子轨迹如图乙所示
打到c点的粒子是从f点射入的粒子。假设从e点经过j点射入的粒子正好打在d点，由于粒子轨迹半径与Od的长度相等，Od弧对应的圆心角为θ=60°
由图乙可知ef为打到cd边的粒子分布范围，j点和圆形磁场区域的圆心连线与水平方向的夹角为30°。
则打在cd边上的粒子占进入矩形区域内粒子个数比为N==。
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考点二
磁发散
如图乙所示，圆形磁场圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散)
　　　如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等，不计粒子间的相互作用。圆心在(0，R)、半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。磁场右侧有一长度为R、平行于y轴的光屏，其中心位于(2R，R)。已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则
A.粒子速度大小为
B.所有粒子均能垂直射在光屏上
C.能射在光屏上的粒子中，在磁场中运动时间最长为
D.能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴正方向夹角满足45°≤θ≤135°
√
　　　由题意，初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有qBv=m，r=R，解得v=，A错误；
由于所有粒子的速度大小相等，方向不同，但粒子离开磁场区域的出射点距离O点的竖直高度最大值为2R，并不会全部垂直打在光屏上，B错误；
如图甲，由几何关系可得，能射在光屏上的粒子中，运动时间最长的对应轨迹的圆心角为π，根据周期公式T==，可得t=T=，C正确；
　　　若能打在光屏下端，如图乙，由几何关系可得θ1=60°，即初速度与x轴正方向夹角为θ1=60°，同理，粒子打在光屏上端时，初速度与x轴正方向夹角为θ2=120°，则60°≤θ≤120°，D错误。
　　　(2025·江苏镇江市期末)如图所示，在第一象限存在垂直xOy平面向外的磁场(未画出)，磁感应强度大小与到O点的距离r成反比，即满足B1=(k未知)，磁场分布在≤r≤L的范围内，第三象限与第四象限分别存在垂直xOy平面向里和向外的半径均为的圆形匀强磁场区域，磁感应
强度大小均为B2=。第二象限有一束质量为m、电荷量为q、速度大小为v、与x轴的距离满足≤r≤L的范围内的粒子水平向右射入第一象限的匀强磁场，
已知这束带电粒子均在第一象限做圆周运动并垂直于x轴进入第四象限，最终均会打在垂直于y轴的屏上(未画出)。不计粒子重力及带电粒子之间的相互作用。
(1)求出B1=的表达式中k的数值；
答案　　
　　　粒子在第一象限磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有qvB1=m
解得R=
结合题意可知R=r
联立可得B1==
则有k=
(2)离x轴距离不同的入射粒子，在第四象限圆形磁场中运动的时间不同，求最长时间与最短时间的时间差；
答案　　
　　　若在第三与第四象限磁场中做圆周运动半径为R2，
同理可得R2==L
R2与圆形磁场半径相同，从x=L处入射的粒子在第四象限运动时间最长，则有t1==
从x=L处入射的粒子在第四象限运动时间最短，则有t2=
联立解得Δt=
(3)计算出第三象限磁场内有粒子经过的区域面积，并画出粒子打在屏上的范围。
答案　πL2+L2　见解析图
　　　在第三象限磁场内有粒子经过的区域面积
S=π()2+()2-π()2=πL2+L2
画出粒子打在屏上的范围如图所示
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跟踪训练
1.(2026·江苏连云港市检测)如图，在半径为R=的圆形区域内有水平向里(垂直纸面)的匀强磁场，磁感应强度为B。圆形区域右侧有一竖直感光板MN。带正电粒子从磁场圆形边界顶点P以速率v0平行于纸面且对准圆心射入磁场，已知粒子质量为m、电荷量为q，粒子重力不计。则下列说法中错误的是
A.粒子一定沿半径方向射出
B.粒子在磁场中运动的时间为
C.若粒子速率变为2v0，穿出磁场后一定垂直打到感光板MN上
D.粒子以速度v0从P点沿任意方向射入磁场，离开磁场后一定垂直打在感
　光板MN上
√
　　　根据对称性，带正电粒子从P点以速率v0平行于纸面且对准圆心射入磁场，一定沿半径方向射出，A正确；
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有qv0B=m，可得r==R，粒子在磁场中运动的周期T==，画出粒子运动轨迹如图甲所示
由图甲知，轨迹圆弧对应的圆心角为，
故运动时间为t==，B正确；
　　　若粒子速率变为2v0，则轨道半径变为2R，运动轨迹如图乙所示
粒子不是垂直打到感光板MN上，C错误；
当带电粒子以v0从P点沿任意方向射入时，带电粒子在磁场中的运动轨道半径为R，
带电粒子从磁场区域边界上S点射出，带电粒子运动轨迹如图丙所示
由几何知识可知四边形POSO3为菱形，O3S//PO，因此，带电粒子射出磁场时的方向均为水平方向，与入射的方向无关，离开磁场后一定垂直打在感光板MN上，D正确。
2.如图所示，竖直平面内一半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一长度为R的线状粒子源位于磁场左侧，磁场区域的直径MN为线状粒子源的垂直平分线，线状粒子源沿平行于直径MN的方向发射质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子。所有粒子的速率均为v=，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是
A.粒子在磁场中运动的最大位移与最小位移之比为∶1
B.粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之差为
C.磁场中有粒子经过的区域的面积为πR2
D.粒子动量变化量的最大值与最小值之比为2∶1
√
　　　根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，可得粒子做圆周运动的半径r==R，粒子运动的周期为T==，所以平行MN入射的粒子都将会聚于O点
正下方圆形磁场边界上的P点，如图所示，从A点入射的粒子在磁场中运动的时间最长，其转过的圆心角为θ=，运动时间为t1=T=，根据几何关系可得位移大小为x1=2Rcos 30°=R，速度变化量为Δv1=2vcos 30°=v，从B点入射的粒子在磁场中运动的时间最短，其转过的圆心角为α=，运动时间为t2=T=，位移大小为x2=R，速度变化量为Δv2=v，粒子在磁场中运动的最大位移与最小位移之比为∶1，故A错误；
　　　粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之差为Δt=t1-t2=，故B错误；
磁场中有粒子经过的区域如图中阴影部分所示，其面积等于扇形ABP的面积，为S=πR2，故C正确；
粒子动量变化量的最大值与最小值之比为∶1，故D错误。
3.(2024·江苏南京市三模)如图所示是粒子流扩束技术的原理简图。正方形区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ对称分布，一束速度相同的质子束射入后能够实现扩束，四个区域内有界磁场(边界均为圆弧)分布可能正确的是
√
　　　若质子进入图A所示磁场，质子做匀速圆周运动，由左手定则可知粒子运动大致轨迹如图甲所示，即入射平行质子束不会扩束，故A错误；
若质子进入图B所示磁场，由左手定则可知，平行粒子束射入后，经两个同方向磁场，会向同一方向偏转，不会平行于入射方向射出，故B错误；
若质子进入图C所示磁场，如图乙所示，当质子进入磁场后做匀速圆周运动的半径恰好等于有界磁场的圆弧半径时，一束速度相同的质子束射入后能够实现扩束，故C正确；
若质子进入图D所示磁场，由左手定则可知，质子运动大致轨迹如图丙所示，平行质子束射入后不会实现扩束，故D错误。
4.(2025·江苏镇江市期末)某种离子收集装置的简化模型如图所示，x轴下方半径为R的圆形区域内存在着匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小B1=B，圆心所在位置坐标为(0，-R)。在x轴下方有一线性离子源，沿x轴正方向发射出N个(大量)速率均为v0的同种离子，这些离子均匀分布在离x轴距离为0.2R~1.8R的范围内。在x轴的上方，存在方向垂直纸面向里的有界匀强磁场，该磁场上边界与x轴平行，磁感应强度
大小B2=2B。在x轴整个正半轴上放有一厚度不计的收集板，离子打在收集板上即刻被吸收。已知离子源中指向圆心O1方向射入磁场B1的离子，恰好从O点沿y轴射出。
整个装置处于真空中，不计离子重力，不考虑离子间的碰撞和相互作用，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
(1)求该种离子的电性和比荷；
答案　带负电　　
　　　已知指向圆心O1射入的离子，恰好从O点沿y轴射出，则可知离子在圆形磁场中向上偏转，根据左手定则，可知离子带负电；
画出离子在圆形磁场中的运动轨迹，如图甲所示。
离子运动的轨迹半径为r1=R
根据洛伦兹力提供向心力得Bqv0=m
解得=
(2)若x轴上方的磁场宽度d足够大，发射的离子全部能被收集板收集，求这些离子在x轴上方磁场中运动的最短时间，以及离子能打到收集板上的区域长度L；
答案　　0.4R
　　　离子经过圆形磁场区域均能到达O点，设线性离子源最上方射入的离子到达O点时，速度方向与y轴夹角为θ，如图乙所示；
根据几何关系sin θ=
解得θ=53°
在x轴上方磁场中，有B2qv0=m，B2=2B
解得r2=0.5R
在x轴上方磁场中运动时间最短的离子轨迹为如图乙中虚线所示的劣弧，其轨迹对应的圆心角为37°×2=74°
　　　根据周期T==
这些离子在x轴上方磁场中运动的最短时间
t=T=
离子打到收集板上的区域长度L，取决于离子打到收集板上的最近距离和最远距离，其中，最远距离为xmax=2r2=R
最近距离为xmin=2r2cos 53°=0.6R
离子打到收集板上的区域长度L=xmax-xmin=0.4R。
(3)若x轴上方的有界磁场宽度d可改变(只改变磁场上边界位置，下边界仍沿x轴)，请写出收集板表面收集到的离子数n与宽度d的关系。
答案　见解析
　　　①当所有离子均到达不了收集板时，
此时磁场宽度为sin 53°=
解得d=0.1R
即当d<0.1R时，n=0；
②离子能全部打到收集板时，d>0.9R，n=N
③0.1R≤d≤0.9R时，
当运动轨迹与x轴上方磁场上边界相切的离子从O点射入上方磁场时，其在O点的速度方向在y轴右侧且与y轴夹角为θ'，有sin θ'==1-
　　　对应离子在第三象限的宽度为Δy=R-Rsin θ'-0.2R
对应收集的离子数n=N=N
当运动轨迹与x轴上方磁场上边界相切的离子从O点射入上方磁场时，其在O点的速度方向在y轴左侧且与y轴夹角为θ″，有sin θ″==-1
对应离子在第三象限的宽度为Δy=R+Rsin θ″-0.2R
对应收集的离子数n=N=N
所以当0.1R≤d≤0.9R时，n=N
　　　综上所述n=0，d<0.1R
n=N，0.1R≤d≤0.9R
n=N，d>0.9R
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第十一章

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