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第十二章
电磁感应
专题强化：电磁感应
中的电路及图像问题
第65课时
1.掌握电磁感应中电路问题的求解方法。
2.会计算电磁感应问题中电压、电流、电荷量、热量等物理量。
3.能够通过电磁感应图像，读取相关信息，应用物理规律求解问题。
目标要求
考点一　电磁感应中的电路问题
考点二　电磁感应中电荷量的计算
内容索引
课时精练
考点三　电磁感应中的图像问题
电磁感应中的电路问题
考点一
分析电磁感应中电路问题的基本思路
“相当于电源”的导体两端的电势差就是电源的电动势吗？
讨论交流
答案　导体两端的电势差与电源的电动势是两个不同的概念，导体两端的电势差不是电源的电动势。当电路是断开状态时，等效电源两端的电势差等于电源的电动势；当电路是闭合状态时，等效电源两端的电势差为路端电压，与电动势不相等。
　　　(2025·江苏扬州市模拟)如图所示，平行金属导轨ab、cd两端各接一个阻值为R的电阻，直径为d的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B。电阻为R的金属棒PQ向右匀速运动，与导轨的接触良好。某时刻通过左端电阻的电流最大且电流大小为Im，不计导轨电阻，求此时：
(1)金属棒PQ所受安培力的大小F。
答案　2BImd　
　　　左右两电阻R并联，则通过PQ的电流为2Im，
此时金属棒PQ所受安培力的大小F=2BImd
(2)金属棒PQ速度的大小v。
答案　
　　　金属棒PQ产生的感应电动势为E=ImR+2ImR=3ImR
又E=Bdv，
联立解得v=。
　　　(2025·江苏南京市模拟)半径为R的金属圆环由两种材料组成，圆弧AMC为圆周，电阻为r，圆弧ANC为圆周，电阻为r，圆内有垂直环面向里的匀强磁场，磁感应强度随时间均匀增大，变化率=k，则UAC为
A.-kπR2　　B.-kπR2　　C.kπR2　　D.kπR2
√
　　　根据题意，由法拉第电磁感应定律可得金属圆环产生的感应电动势为E===kπR2，由楞次定律可判断感应电流的方向为逆时针，根据闭合电路欧姆定律可得感应电流为I==，由于圆弧AMC为圆周，电阻为r，则圆弧CMA的感应电动势为E1=E=kπR2，电流流过圆弧CMA后电势降低，大小为ΔU=Ir=kπR2，则有UAC=E1-ΔU=kπR2-kπR2=-kπR2，故选A。
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电磁感应中电荷量的
计算
考点二
　　　(2025·湖北卷·5)如图(a)所示，相距L的两足够长平行金属导轨放在同一水平面内，两长度均为L、电阻均为R的金属棒ab、cd垂直跨放在两导轨上，金属棒与导轨接触良好。导轨电阻忽略不计。导轨间存在与导轨平面垂直的匀强磁场，其磁感应强度大小B随时间变化的图像如图(b)所示，t=T时刻，B=0。t=0时刻，两棒相距x0，ab棒速度为零，cd棒速度方向水平向右，并与棒垂直，则0~T时间内流过回路的电荷量为
A.　　　B.
C.　　　D.
√
　　　t=0时，Φ1=B0Lx0；t=T时，磁感应强度为零，Φ2=0，0~T时间内流过回路的电荷量q=Δt=T，=，==，联立以上各式，解得q=，故选B。
利用计算电荷量的导出公式q=n可以快速求解选择题：
设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式=及法拉第电磁感应定律有=n，得q=Δt=Δt=Δt=，即q=n。
注意：表示电动势的平均值，表示电流的平均值。电流变化时计算通过导体横截面的电荷量时要用电流的平均值。
针对训练　(2024·江苏泰州市一模)如图所示，整个空间中存在方向垂直导轨平面向里的匀强磁场B，导轨间距为l且足够长，左端接阻值为R的定值电阻，导轨电阻不计，现有一长为2l的金属棒垂直放在导轨上，在金属棒以O点为轴沿顺时针方向以恒定角速度ω转过60°的过程中(金属棒始终与导轨接触良好，电阻不计)
A.通过定值电阻的电流方向由b到a
B.转动过程中棒两端的电动势大小不变
C.通过定值电阻的最大电流为
D.通过定值电阻的电荷量为
√
　　　根据右手定则可知，通过定值电阻的电流方向由a到b，故A错误；
整个金属棒都在磁场中切割磁感线，故棒两端感应电动势不变，U= B(2l)2ω=2Bl2ω，故B正确；
当金属棒两端接触到导轨时，电路接入感应电动势最大，则有Em= B(2l)2ω=2Bl2ω，则最大感应电流为Im==，故C错误；
转过60°的过程中，通过定值电阻的电荷量为q=Δt=Δt=Δt=，又ΔS=l·l=l2，联立解得q=，故D错误。
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考点三
电磁感应中的图像问题
1.解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B-t图像还是Φ-t图像，或者E-t图像、i-t图像、F-t图像等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E-x图像和i-x图像；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定电流方向与时间的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图像或判断图像。
2.常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负、增大还是减小及变化快慢，来排除错误选项。
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。
　　　如图所示，两个宽度均为L的匀强磁场垂直于光滑水平桌面，磁感应强度大小相等、方向相反，高为L、上底和下底长度分别为L和2L的等腰梯形金属线框水平放置，现使其匀速向右穿过磁场区域，速度垂直梯形底边，从图示位置开始x=0，以逆时针方向为电流的正方向。
(1)写出下列三图所示时刻感应电流的方向。
答案　①逆时针方向　②顺时针方向　③逆时针方向
(2)下列四幅图中能够反映线框中电流I随金属框向右移动距离x关系的是　　。
C
　　　x在0~L内，由楞次定律判断知感应电流的方向沿逆时针方向，为正，线框的有效切割长度在均匀增大，由公式E=Blv知，产生的感应电动势均匀增大，则感应电流均匀增大；x在L~2L内，线框的左右两边都切割磁感线，均产生感应电动势，两个感应电动势串联，且均匀增大，感应电流方向沿顺时针方向，为负；x在2L~3L内，由楞次定律知，感应电流的方向沿逆时针方向，为正，线框的有效切割长度在均匀增大，由公式E=Blv知，产生的感应电动势均匀增大，则感应电流均匀增大，而且感应电流变化情况与线框进入磁场的过程相同，故C正确，A、B、D错误。
　　　(2025·江苏苏州市检测)如图甲所示，正方形线圈abcd内有垂直于线圈的匀强磁场，已知线圈匝数n=10，边长ab=1 m，线圈总电阻r=1 Ω，线圈内磁感应强度随时间的变化情况如图乙所示。设图示的磁场方向与
感应电流方向为正方向，则下列有关线圈的电动势e、感应电流i、焦耳热Q以及ab边受到的安培力F(取向下为正方向)随时间t的变化图像正确的是
√
　　　0~1 s内产生的感应电动势为e1==2 V，方向为逆时针，同理1~5 s内产生的感应电动势为e2=1 V，方向为顺时针，A错误；
0~1 s内的感应电流大小为i1==2 A，方向为逆时针(负值)，同理1~5 s内的感应电流大小为i2=1 A，方向为顺时针(正值)，B错误；
ab边受到的安培力大小为F=nBiL，可知0~1 s内0≤F≤4 N，方向向下，1~3 s内0≤F≤2 N，方向向上，3~5 s内0≤F≤2 N，方向向下，C正确；
线圈产生的焦耳热为Q=eit，0~1 s内产生的热量为4 J，1~5 s内产生的热量为4 J，D错误。
　　　(2025·江苏南通市模拟)如图所示，在水平光滑绝缘桌面上有一等腰直角三角形单匝均匀金属线框abc，直角边长为L。空间存在竖直向下的有界匀强磁场，有界磁场的宽度为2L。线框在水平拉力F作用下向右以速度v匀速穿过磁场区域，若图示位置为t=0时刻，设逆时针方向为电流的正方向，水平向
右为拉力的正方向，则线框中的感应电流i和拉力F随时间t的关系图像可能正确的是(时间单位为，图中曲线为抛物线)
√
　　　在时间为0到范围内，由几何关系可知，线框有效切割长度为(L-vt)，可得感应电动势E=B(L-vt)v，可知感应电动势随时间线性减小，根据右手定则可判断电流方向由b指向a，所以感应电流为正方向，且线性减小到0；在时间为到2范围内，线框的磁通量保持不变，没有感应电流；在时间为2到3范围内，线框有效切割长度为(3L-vt)，可得感应电动势E=B(3L-vt)v，可知感应电动势线性减小，根据右手定则可判断电流方向由c指向a，所以感应电流为负方向，且线性减小到0，故A、B错误；
　　　由以上分析可知，在时间为0到范围内，线框切割磁场的长度为(L-vt)，可得安培力大小为F安=，根据左手定则可判断安培力方向为水平向左，拉力与安培力二力平衡，所以拉力水平向右，即拉力方向为正方向，其大小为F=F安=，同理得在时间为2到3到范围内，有F=F安=，且拉力方向为正。在时间为到2范围内，线框的磁通量保持不变，没有感应电流，安培力为零，拉力也为零，故C错误，D正确。
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B A D D B D
题号 9 10 11
答案 C A B
答案
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1.(2025·江苏苏州市期末)如图所示，用相同导线制成的均匀正方形线圈ABCD，边长为l。线圈以速度v向右匀速进入磁感应强度大小为B的匀强磁场过程中，CD两端电势差UCD为
A.Blv　　B.-Blv　　C.Blv　　D.-Blv
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答案
基础落实练
　　　设线圈电阻为R，线圈进入磁场过程，CD边切割磁感线，根据右手定则可知C点电势高于D点电势，CD边相当于电源，电源电动势E=Blv，由于CD两端电势差为路端电压，则有UCD=×R=E=Blv，故选C。
2.(2026·江苏镇江市检测)如图甲为一闭合线圈，匝数为10匝、面积为2 m2、电阻为3 Ω，线圈处于一垂直纸面的匀强磁场中，取磁场垂直纸面向里为正方向，从t=0开始磁感应强度B按如图乙所示规律变化，则
A.t=1 s时线圈中电流为逆时针方向
B.线圈中感应电动势大小为30 V
C.前4 s通过导线某截面的电荷量为20 C
D.前4 s穿过线圈磁通量的变化量为0
√
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答案
　　　t=1 s时穿过线圈的磁通量向里减小，根据楞次定律可知，线圈中感应电流方向为顺时针方向，A错误；
线圈中感应电动势大小为E=nS=10××2 V=30 V，B正确；
前4 s根据q=Δt，=可得q=n=40 C，C错误；
前4 s穿过线圈磁通量的变化量大小为ΔΦ=ΔB·S=2×3×2 Wb=12 Wb，D错误。
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答案
3.如图所示，边长为L的正方形单匝导线框abcd放在纸面内，在ad边左侧有范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，导线框的总电阻为R。现使导线框绕a点在纸面内沿顺时针方向匀速转动，经时间Δt第一次转到图中虚线位置。则在Δt内通过导线框横截面的电荷量为
A. B.
C. D.
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答案
　　　Δt时间内穿过导线框的磁通量变化量为ΔΦ=BL2-BL2=BL2，由法拉第电磁感应定律得E==，平均感应电流==，通过导线框横截面的电荷量q=·Δt=，故选B。
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答案
4.如图甲所示，虚线右侧有一垂直纸面的匀强磁场，取磁场垂直于纸面向里的方向为正方向，磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示，固定的闭合导线框abcd一部分在磁场内。取线框中感应电流沿顺时针方向为正方向，安培力向左为正方向。从t=0时刻开始，下列关于线框中感应电流i、线框cd边所受安培力F分别随时间t变化的图像，可能正确的是
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答案
√
　　　在0~时间内磁场方向垂直纸面向里且减小，由楞次定律可判断，产生的感应电流方向为顺时针方向，与规定的正方向相同，I=·恒定，cd边受到的安培力方向向右，为负，大小F=IlB均匀减小；在~时间内，磁场方向垂直纸面向外且增强，产生的感应电流方向为顺时针方向，为正，大小恒定，cd边受到的安培力方向向左，为正，大小均匀增加；在~时间内，磁场方向垂直纸面向外且减小，产生的感应电流方向为逆时针方向，为负，大小恒定，cd边受到的安培力方向向右，为负，大小均匀减小；在~T时间内，磁场方向垂直纸面向里且增强，产生的感应电流方向为逆时针方向，为负，大小恒定，cd边受到的安培力方向向左，为正，大小均匀增加，综上分析，选项A正确。
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答案
5.如图所示，线圈匝数为n，横截面积为S，线圈电阻为R，处于一个均匀增强的磁场中，磁感应强度随时间的变化率为k，磁场方向水平向右且与线圈平面垂直，电容器的电容为C，两个电阻的阻值均为2R。下列说法正确的是
A.电容器上极板带负电
B.通过线圈的电流大小为
C.电容器所带的电荷量为
D.电容器所带的电荷量为
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答案
　　　由楞次定律和右手螺旋定则知，电容器上极板带正电，A错误；
因E=nkS，I==，B错误；
又U=I×2R=，Q=CU=，C错误，D正确。
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答案
6.(2025·江苏淮安市联考)边界MN的右侧区域内，存在着磁感应强度大小为B、方向垂直光滑水平桌面向下的匀强磁场。边长为l的正三角形金属线框abc粗细均匀，三边阻值相等，顶点a刚好位于边界MN上，现使线框在桌面内围绕过a点且垂直于桌面的转轴以角速度ω逆时针匀速转动，如图所示，则在ab边开始转入磁场的瞬间，a、b两点间的电势差Uab为
A.-Bl2ω B.-Bl2ω
C.Bl2ω D.Bl2ω
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答案
　　　导体棒ab转动切割磁感线，电动势大小为E=Bl=Bl=Bl =Bl2ω
根据右手定则可知电流从a端流出，b端流入，所以a端电势高于b端，设正三角形金属线框每条边的电阻均为R，则感应电流为I=
则ab两端的电势差即路端电压Uab=E-IR=E=Bl2ω，故选D。
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答案
7.(2024·江苏常州市模拟)半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定在同一水平面上，一长为r、电阻为R的均匀直导体棒AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过圆轨道中心O。装置的俯视图如图所示，整个装置位于一匀强磁场内，磁感应强度大小为B，方向竖直向下，在两导轨之间接阻值为R的定值电阻和电容为C的电容器。直导体棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动。在转动过程中始终与导轨保持良好接触，导轨电阻不计。下列说法正确的是
A.导体棒中电流由A流向B
B.电容器所带电荷量为CBωr2
C.电容器的M板带负电
D.导体棒两端电压为Bω2r
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答案
能力综合练
　　　根据右手定则，导体棒中电流方向由B流向A，A项错误；
电动势E=Brω=，导体棒两端电压U=E，解得U=Bωr2，电容器所带电荷量为Q=CU=CBωr2，B项正确，D项错误；
A点电势高于B点电势，故M板带正电，C项错误。
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答案
8.如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为2a，磁感应强度的大小为B。一边长为a、电阻为4R的正方形均匀导线框ABCD从图示位置沿水平向右方向以速度v匀速穿过磁场区域，下列图中
导线框中A、B两端电压UAB与导线框移动距离x的关系
图像正确的是
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答案
√
　　　由楞次定律判断可知，在导线框穿过磁场的过程中，A点的电势始终高于B点的电势，则UAB始终为正值。AB、DC两边切割磁感线时产生的感应电动势均为E=Bav，导线框移动距离在0~a内时，AB切割磁感线，AB两端的电压是路端电压，则UAB=E=Bav；导线框移动距离在a~2a内时，导线框完全在磁场中运动，穿过导线框的磁通量没有变化，不产生感应电流，则UAB=E=Bav；导线框移动距离在2a~3a内时，A、B两端的电压等于路端电压的，则UAB=E=Bav，故D正确。
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答案
9.(2024·江苏南京市、盐城市期末)如图所示，abcd为水平固定放置的U形导体框，其中bc长为x，bc部分阻值为r，其余部分电阻不计。长为2x、阻值为2r的均匀导体棒MN，始终与导体框接触良好且与ab垂直。整个装置处于垂直纸面向外的匀强磁场中。现使导体棒以速度v水平向左匀速运动，则导体棒两端的电势差是
A.0.5Bxv B.Bxv
C.1.5Bxv D.2Bxv
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答案
　　　导体棒以速度v水平向左匀速运动，等效电路如图所示，
UMN=UMP+UPQ+UQN，UPQ=·r=0.5Bxv，闭合回路之外的电势差为UMP+UQN=Bxv，所以导体棒两端的电势差UMN=UMP+UPQ+UQN=1.5Bxv，故选C。
10.(2025·江苏省卓越高中联盟联考)如图所示，正方形线框abcd放在光滑的绝缘水平面上，OO'为正方形线框的对称轴，在OO'的左侧存在竖直向下的匀强磁场。现使正方形线框在磁场中以两种不同的方式运动：第一种方式以速度v使正方形线框匀速向右运动，直到ab边刚好与OO'重合；第二种方式只将速度变为3v。则下列说法正确的是
A.两过程线框中产生的焦耳热之比为1∶3
B.两过程流过线框某一横截面的电荷量之比为1∶3
C.两次线框中的感应电流大小之比为1∶1
D.两过程中线框中产生的平均电动势之比为1∶9
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答案
　　　设正方形线框的边长为L，电阻为R，ab边切割磁感线产生的感应电动势E=BLv，根据欧姆定律I=，可得I=，可知I∝v，所以两次线框中的感应电流大小之比为I1∶I2=v∶3v=1∶3，故C错误；
ab边刚好与OO'重合的时间t==，根据焦耳定律Q=I2Rt=，可知Q∝v，所以两过程线框中产生的焦耳热之比为Q1∶Q2=v∶3v=1∶3，故A正确；
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答案
　　　流过线框某一横截面的电荷量q=t=t==，可知两过程流过线框某一横截面的电荷量与速度无关，所以q1∶q2=1∶1，故B错误；
线框中产生的平均电动势==BLv，可知∝v，两过程中线框中产生的平均电动势之比为∶=v∶3v=1∶3，故D错误。
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答案
11.(2025·江苏连云港市一模)如图所示，足够长水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中，导体棒垂直于导轨静置。开关S闭合后，导体棒沿导轨无摩擦运动，不计导轨电阻。关于该棒的速度v、加速度a、
通过的电流i及穿过回路的磁通量Φ随时间t变化的图像，
可能正确的是
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尖子生选练
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　　　设电源电动势为E，内阻为r，接入回路中的导体棒的电阻为R，导轨宽度为L，开关闭合后，导体棒在安培力的作用下向右运动，当导体棒的速度为v时，回路中的感应电流为i=，根据牛顿第二定律可得a==，随着速度增大，导体棒的加速度逐渐减小，v-t图像的斜率越来越小，A错误；
加速度a=，可得a-t图像的斜率大小为=·=·a，随着加速度a的减小，a-t图线斜率的绝对值减小，B正确；
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　　　电流i=，由于速度v不随时间均匀增大，所以电流不随时间均匀减小，C错误；
穿过回路的磁通量Φ=BL(x0+vt)，则=BLv，导体棒先做加速运动，稳定后做匀速运动，所以磁通量随着时间先增大得越来越快，后均匀增大，D错误。
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第十二章

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