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第十一章
磁场
带电粒子在组合场和叠加场中的运动　带电粒子在交变电磁场中的运动
培优练17
对一对
题号 1 2 3 4 5
答案 A C C D (1)　(2)　(3)
题号 6
答案 (1)　 (2)①见解析　②L
答案
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1.如图是交替出现的宽为L的匀强电场和匀强磁场区域，其中编号1、3区域为电场，电场强度均为E，2、4区域为磁场，磁感应强度均为B，方向如图所示。质量为m、带电荷量为q的正粒子，从1区上边界由静止释放，不计重力。下列说法中正确的是
A.粒子从4区下边界穿出后的动能一定为2qEL
B.粒子从4区下边界穿出后的水平速度一定为
C.粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角
的余弦值为B
D.若粒子恰未从第4场区射出，则需满足E=
√
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答案
　　　由于洛伦兹力不做功，粒子从静止释放到从4区下边界穿出，根据动能定理可得qE·2L=m，可知粒子从4区下边界穿出后的动能一定为2qEL，粒子从4区下边
界穿出后的速度大小为v4=2，故A正确；
由于静电力方向沿竖直方向，不影响水平方向的速度，则粒子从静止释放到从4区下边界穿出，水平方向根据动量定理可得∑F洛xt=mvx-0，其中∑F洛xt=∑qvyBt=qB∑vyt=
qB·2L，联立可得粒子从4区下边界穿出后的水平速度为vx=，则粒子从4区下边
界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦值为cos θ==B，若粒子恰未从第4场区射出，粒子到达4区下边界的竖直分速度刚好为0，则有vx==v4=2，解得E=，故B、C、D错误。
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答案
2.(2025·福建卷·7改编)如图，真空中存在一水平向右的匀强电场，同时存在一水平且垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电微粒从M点以初速度v入射，沿MN做直线运动。微粒到N点时撤去磁场，一段时间后微粒运动到P点。已知M、N、P三点处于同一竖直平面内，MN与电场方向夹角为45°，N点与P点等高，重力加速度大小为g，则
A.电场强度大小为
B.磁感应强度大小为
C.N、P两点间的电势差为
D.从N点运动到P点的过程中，微粒到直线NP的最大距离为
√
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答案
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答案
　　　设电场强度大小为E、磁感应强度大小为B。微粒受重力G、电场力F、洛伦兹力f三个力作用，G=mg、F=qE、f=qBv。物体做直线运动，受到的合力为零或者合力方向与速度方向在同一直线上，假设微粒从M点到N点做变速直线运动，微粒受到的洛伦兹力大小变化，合力方向发生变化，导致合力方向与速度方向不在同一直线上，由此可判定微粒只能做匀速直线运动，受力分
析如图(a)所示，由力的平衡条件有F=G、f=G，可得E=、B=，故选
项A、B错误；
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答案
　　　微粒运动到N点时撤去磁场，设N、P两点间的电势差为U，微粒到NP直线的最大距离为h，微粒从N点到P点，合力不变，做匀变速曲线运动，以N点为坐标原点、水平向右为x轴、竖直向上为y轴，建立直角坐标系，如图(b)所示，设微粒在x轴方向的加速度大小为ax，在y轴方向的速度大小为vy、加速度大小为ay，由运动的合成与分解、牛顿运动定律、匀变速直线运动规律、匀强电场中电势差与电场强度的关系，可得
qE=max，mg=may，x=vtcos 45°+axt2，y=vtsin 45°-ayt2，vy=vsin 45°-ayt，U=Ex，当微粒运动到P点，y=0，由上述方程可得x=，U=，故选项C正确；
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答案
　　　当vy=0时，y达到最大值，则微粒到直线NP的最大距离h=ymax=，故选项D错误。
3.如图甲所示的平行金属极板M、N之间存在交替出现的匀强磁场和匀强电场，取垂直纸面向外为磁场正方向，磁感应强度B随时间t周期性变化的规律如图乙所示，取垂直极板向上为电场正方向，电场强度E随时间t周期性变化的规律如图丙所示。t=0.5t0时，一不计重力、带正电的粒子从极板左端以速度v沿板间中线平行极板射入板间，最终平行于极板中线射出，已知粒子在t=1.5t0时速度为零，且整个运动过程中始终未与两极板接触，则下列说法不正确的是
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答案
A.粒子可能在2.5t0时刻射出极板
B.极板间距不小于+
C.极板长度为(n=1，2，3…)
D.=
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√
答案
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答案
　　　根据题意可知，在0.5t0~t0内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，且转了个周期，在t0~1.5t0内，粒子在电场中向下做减速运动到速度为零，在1.5t0~2t0内，粒子在电场中向上做加速运动到速度为v，在2t0~2.5t0内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，转了个周期，粒子回到极板中线，速度平行于极板中线，接下来粒子周期性地重复以上运动，粒子在一个运动周期内的轨迹如图所示。粒子一个运动周期为T=2.5t0
-0.5t0=2t0，故粒子射出极板的时刻可能为t=0.5t0+nT=
(0.5+2n)t0(n=1，2，3…)，当n=1时t=0.5t0+T=2.5t0，故A正确；
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答案
　　　粒子在磁场中，设粒子的轨迹半径为r，则有T磁==2t0，解得r=，粒子在电场中向下减速的位移为y=·0.5t0=，故极板间距应满足d≥2(r+y)=+，故B正确；
极板长度可能为L=n·2r=(n=1，2，3…)，故C错误；
粒子在磁场中，有T磁==2t0，解得B0=，粒子在电场中，有v=a·0.5t0=·0.5t0，解得E0=，可得=，故D正确。
4.霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。xOy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。改变速度大小，得到了如图甲、乙所示的两种轨迹，不计电子的重力，则下列说法正确的是
A.若入射速度v1>，电子的轨迹一定如图乙中
虚线所示
B.只要入射速度v2≠，电子距离x轴的最远距
离都为d=
C.若入射速度v3=，电子的轨迹一定如图甲中虚线所示，且当电子速度为v4=时，
电子的纵坐标为y=
D.无论是图甲还是图乙，电子在运动过程中所受的合力大小均不变
√
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答案
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答案
　　　若入射速度v0=，则有eBv0=eE，可知静电力和洛伦兹力平衡，则带电粒子将沿x轴做匀速直线运动，若入射速度v1>，将v1分解为v0=和v1-v0，电子的运动可以分解为沿x轴的匀速直线运动和以速率v1-v0的匀速圆周运动，题图乙中轨迹最低点速度沿x轴负向，则v1-v0>v0，即v1>，故A错误；
只要入射速度v2≠，电子的运动均可以分解为匀速直线运动和匀速圆周运动，距离x轴的最远距离都为d=2r，根据ev2B≠，可得d≠，故B错误；
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答案
　　　电子运动过程中洛伦兹力不做功，只有静电力做功，当电子入射速度为v3=，运动到速度为v4=的过程中，由动能定理得eEy=m()2-m()2，解得y=，故C错误；
无论是题图甲还是题图乙，电子的运动均可以分解为匀速直线运动和匀速圆周运动，故电子所受的合外力大小均为电子做匀速圆周运动的向心力大小，故D正确。
5.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，虚线垂直于x轴，在y轴和虚线之间的区域空间有沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小E1未知，磁感应强度大小B1=B；在虚线的右侧区域空间有沿y轴正方向的匀强电场和垂直于
坐标平面向外的匀强磁场，电场强度大小E2=v0B，磁感应强度大小B2=0.5B。
将质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从坐标原点以与x轴正方向成θ=45°角
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答案
斜向上的速度v0射入第一象限，粒子刚好在第一次过x轴时进入虚线右侧区域，且速度方向与x轴正方向的夹角为37°，不计粒子的重力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求：
(1)粒子在y轴和虚线之间运动的时间；
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答案
答案　　
　　　粒子射入第一象限后，在垂直磁感应强度平面内做匀速圆周运动，有
qv0Bsin θ=m
运动到第一次过x轴的时间刚好是一个周期，则t=
解得t=
(2)电场强度E1的大小；
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答案
答案　　
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答案
　　　粒子在y轴与虚线之间沿电场方向做匀加速直线运动，沿电场方向的初速度大小为v1=v0cos 45°=v0
粒子经过虚线时，沿x轴方向的分速度大小v2==v0
根据牛顿第二定律有qE1=ma
根据运动学公式有v2=v1+at
解得E1=
(3)粒子在虚线右侧运动过程中，离x轴的最大距离。
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答案
答案　
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答案
　　　粒子进入虚线右侧区域时，由于qE2=qv0B=qv2B2
因此粒子的运动可以看成是沿x轴正方向以速度v0做匀速直线运动和以速度v0做匀速圆周运动的合运动，设做圆周运动的半径为R，
则有q×v0B2=m
解得R=
因此粒子在虚线右侧运动过程中，离x轴的最大距离为
6.如图所示的空间直角坐标系Oxyz中(z轴正向垂直于纸面向外，未画出)，x<0的区域内分布着沿y轴正方向的匀强电场，0x0的区域Ⅱ内连续分布着宽度为L的无场区和宽度为的匀强磁场区，磁感应强度大小为B2，方向垂直纸面向外。质量为m、电荷量为q的带正电
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答案
粒子，从坐标为(-L，0，0)的P点以方向与x轴正向夹角为θ=60°、大小为v0的初速度发射，在xOy平面内运动一段时间后，恰好经过原点O进入区域Ⅰ，再经过坐标为(x0，0，0)的Q点进入区域Ⅱ。已
知B1=，B2=，不计粒子的重力，忽
略电磁场的边界效应。
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答案
(1)求电场强度的大小；
答案　
　　　x轴方向的初速度vx0=v0cos 60°
则vx0=v0
y轴方向的初速度vy0=v0sin 60°
则vy0=v0
粒子从P到O的过程，有L=vx0t，vy0t-at2=0，qE=ma
解得E=
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答案
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答案
(2)若正粒子在区域Ⅰ内运动时间不超过，则：
①求x0的可能值；
答案　见解析
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答案
　　　粒子在区域ⅠyOz平面内做匀速圆周运动，由对称性可知粒子到达O点时沿y轴方向速度大小为vy0，由洛伦兹力提供向心力可得qvy0B1=m，T=，解得T=
由于正粒子在区域Ⅰ内运动的时间不超过，粒子可能的运动时间是T、2T，粒子在x轴方向做匀加速直线运动，有x0=vx0t+at2
当t1=T时，x01=L
当t2=2T时，x02=L
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答案
②若x0为①中的最大值，求带电粒子离开y轴的最远距离。
答案　L
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答案
　　　取x0的最大值L，则粒子进入区域Ⅱ时有vx1=vx0+at2=v0，
v==v0
当进入区域Ⅱ的粒子x轴方向上的速度为0时，与y轴的距离最远，由y轴方向动量定理可得qvxB2Δt=mΔvy
对时间求和可得qB2x1=m(v+vy0)
解得x1=(1+)L
由于L则x=x02+x1+x2=L。
本课结束
THANKS
第十一章

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