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第六章
机械能
守恒定律
机械能守恒定律及其
应用
第29课时
1.知道机械能守恒的条件，理解机械能守恒定律的内容。
2.会用机械能守恒定律解决单个物体或多物体系统的机械能守恒问题。
目标要求
考点一　机械能守恒的判断
考点二　单个物体的机械能守恒问题
内容索引
课时精练
考点三　关联物体系统机械能守恒问题
机械能守恒的判断
考点一
1.重力做功与重力势能
(1)重力做功的特点：重力做功与 无关，只与始末位置的 有关，重力做功不引起物体 的变化。
(2)重力势能
①表达式：Ep= 。
②重力势能的特点：重力势能是物体和 所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取 ，但重力势能的变化量与参考平面的选取 。
(3)重力做功与重力势能变化的关系：重力对物体做正功，重力势能 ，重力对物体做负功，重力势能 ，即WG= = 。
路径
高度差
机械能
mgh
地球
有关
无关
减小
增大
Ep1-Ep2
-ΔEp
2.弹性势能
(1)定义：发生 的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
(2)弹簧弹性势能表达式Ep=kx2，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能 ；弹力做负功，弹性势能 。即W= 。
弹性形变
减小
增加
-ΔEp
3.机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内， 与 可以互相转化，而总的机械能 。
(2)表达式：mgh1+m= 或 =Ek2+Ep2。
(3)守恒条件：只有 或 做功。
动能
势能
保持不变
mgh2+m
Ek1+Ep1
重力
弹力
　　　如图所示，下列判断正确的是
A.甲图中，从光滑滑梯上加速下滑的小朋友机械能不守恒
B.乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客机械能守恒
C.丙图中，在光滑的水平面上，小球的机械能守恒
D.丁图中，气球匀速上升时，机械能不守恒
√
　　　甲图中，小朋友从光滑滑梯上加速下滑的过程中，只有重力做功，则小朋友机械能守恒，故A错误；
乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客动能不变，重力势能改变，游客机械能不守恒，故B错误；
丙图中，在光滑的水平面上，弹簧弹力对小球做功，则小球和弹簧组成的系统的机械能守恒，小球的机械能不守恒，故C错误；
丁图中，气球匀速上升时，动能不变，重力势能增加，机械能不守恒，故D正确。
(2024·江苏镇江市调研)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽黏连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是
A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重
力对它做功
B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程
中，小球的机械能不守恒
C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组
成的系统机械能守恒
D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
√
　　　当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误；
小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力对小球做功，小球的机械能守恒，B错误；
小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C正确。
机械能是否守恒的三种判断方法
1.利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒。
2.利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，则机械能守恒。
3.利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。
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单个物体的机械能守恒问题
考点二
1.机械能守恒定律表达式
说明：单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(2026·江苏徐州市检测)如图所示，小球从光滑轨道左端静止释放，不计空气阻力，则小球从轨道右端飞出后的轨迹可能是
√
　　　小球从轨道右端飞出后到达最高点时，仍有水平方向上的速度，即有一部分重力势能转化为了动能，故不可能运动到与释放位置同一高度处，甚至高度超过释放位置，故A、B错误；
根据曲线运动速度方向为该点切线方向可知，小球从轨道右端飞出时速度方向应是该点切线方向，故C正确，D错误。
如图所示，在竖直面内固定三枚光滑钉子a、b、c，三枚钉子构成边长d=10 cm的等边三角形，其中钉子a、b的连线沿着竖直方向。长为L=0.3 m的细线一端固定在钉子a上，另一端系着质量m=200 g的小球，细线水平拉直，然后将小球以v0= m/s的初速度竖直向下抛出，小球可视为质点，不考虑钉子的粗细，重力加速度g取10 m/s2，细线碰到钉子c后，小球到达最高点时，细线拉力大小为
A.0 B.1 N
C.2 N D.3 N
√
　　　设细线碰到钉子c后小球到达最高点时速度大小为v，以初始位置所在水平面为参考平面，根据机械能守恒定律有m=mv2+mgh
h=L-d-d-=L-d
代入数据联立解得v= m/s，小球在最高点时根据牛顿第二定律有F+mg
=，解得细线拉力大小为F=2 N，故选C。
拓展　若细线拉直时与水平方向夹角为30°指向斜左上方，然后将小球仍以v0= m/s的初速度竖直向下抛出。
(1)小球在以后的运动过程中机械能是否守恒？
答案　见解析
　　　细线绷直的瞬间，小球机械能不守恒，其余过程小球机械能守恒。
(2)小球能否到达上述例题中的最高点？如果能，求出到达最高点时细线拉力的大小。
答案　能　3.5 N
　　　从释放点到细线恰好伸直时，对小球由机械能守恒定律得mgL=m-m，解得v1=3 m/s。细线绷直时沿细线方向的速度突变为零，小球只剩下沿细线切线方向的速度，从细线绷直到最高点，对小球由机械能守恒定律得mg(Lsin 30°+L-d)=m(v1cos 30°)2-m，解得v2= m/s，因v2>=1 m/s，故小球能到达最高点。在最高点，对小球：FT+mg=m，解得FT=3.5 N。
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关联物体系统机械能守恒问题
考点三
1.解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk=-ΔEp或ΔEA=-ΔEB的形式。
2.几种实际情景的分析
(1)速率相等情景
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。
(2)角速度相等情景
①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
②由v=ωr知，v与r成正比。
(3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景)
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
以上图中，轻绳(或轻杆)对A、B物体均做功，系统机械能为何仍守恒？
讨论交流
答案　轻绳(或轻杆)对A、B的力属于系统内力，做功使机械能在A、B之间转移，单个物体机械能不守恒，但系统机械能守恒。
如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻软细线连接，跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高，将A由静止释放，B上升的最大高度是
A.2R B. C. D.
√
　　　设B球的质量为m，则A球的质量为2m，A球刚落地时，两球速度大小都为v，根据机械能守恒定律得2mgR=×(2m+m)v2+mgR，B球继续上升的过程由动能定理可得-mgh=0-mv2，联立解得h=，B球上升的最大高度为h+R=R，故选C。
拓展　若细绳质量不可忽略，如图所示，总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻质小滑轮(可视为质点)上，用细线将质量也为m的物块与软绳的一端连接。现将物块由静止释放，直到软绳刚好全部离开滑轮。不计一切摩擦，重力加速度为g，在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，物块和软绳的机械能各改变多少？
答案　物块的机械能减少了mgl，软绳的机械能增加了mgl
　　　设软绳刚离开滑轮的时候，物块和软绳的速度为v，根据机械能守恒定律有mg·+=×2m·v2，计算可得v=，则物块机械能的减少量为E减=mg·-mv2=mgl，系统的机械能是守恒的，由于物块的机械能减少了mgl，所以软绳的机械能增加了mgl。
如图所示，质量均为m的物块A和B用不可伸长的轻绳连接，A放在倾角为θ的固定光滑斜面上，而B能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和滑轮中心间的距离为L，物块B从与滑轮等高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，重力加速度为g。在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ的过程中，下列说法错误的是
A.物块B的机械能的减少量大于物块A的重力势能的增加量
B.物块B的重力势能减少量为mgLtan θ
C.物块A的速度大于物块B的速度
D.物块B的末速度为
√
　　　在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ时，物块B下降的高度为h=Ltan θ，则B重力势能减少量为ΔEpB=mgLtan θ，物块A沿斜面上升的距离为x=-L，设此时物块A的速度为vA，物块B的速度为vB，A、B组成的系统运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，所以物块B的机械能减少量等于物块A的机械能增加量，有mgLtan θ-m=m+mgxsin θ，A物块沿斜面上升时动能和势能都增加，故A、B正确；
将物块B的速度分解为沿绳方向的速度和垂直绳方向的速度，则vA=v绳=vBsin θ，则物块A的速度小于物块B的速度，故C错误；
联立以上表达式可得vB=，故D正确。
如图所示，质量均为m的A、B两球(均可视为质点)固定在轻质直杆上，杆可绕固定转动轴O在竖直平面内无摩擦转动，已知A、B两球到O点的距离满足OB=3OA=3L，重力加速度为g。将杆拉到水平位置由静止释放，下列说法正确的是
A.杆向下摆动到竖直位置的过程中，杆对B球做负功
B.杆向下摆动到竖直位置的过程中，杆对A球做的功为mgL
C.杆向下摆动到竖直位置时，转动轴O对杆的作用力大
小为mg
D.杆向下摆动到竖直位置时，杆对B球的作用力大小为3mg
√
　　　A、B和杆组成的系统机械能守恒，可得mgL+mg·3L=m+m，
由v=ωr知vB=3vA，联立解得vA=2，vB=6。对A球根据动能定理可
得mgL+WA=m-0，对B球根据动能定理可得3mgL+WB=m-0，解得WA=-mgL，WB=mgL，故A、B错误；
杆向下摆动到竖直位置时，对B球可得FB-mg=m，解得FB=mg。对A球可得F0-mg-FB=m，解得F0=mg，故C正确，D错误。
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B D C D C D
题号 　9 　10
答案 (1)2ωR　(2) (3)(ωR)2 (1)0.4Mg　(2)0.25M　(3)
答案
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1.(2025·江苏徐州市检测)2025年7月9日，江苏省青少年网球锦标赛在常州奥体中心正式拉开帷幕。某运动员发球时将网球斜向下击出，不计空气阻力，则
A.击球时，球拍对球的作用力大于球对球拍的作用力
B.击球时，球拍对球的作用力小于球对球拍的作用力
C.球从被击出到落地前，机械能守恒
D.球从被击出到落地前，机械能减少
√
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答案
基础落实练
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答案
　　　根据牛顿第三定律可知，击球时，球拍对球的作用力等于球对球拍的作用力，故A、B错误；
因为不计空气阻力，则球从被击出到落地前，只有球的重力做功，所以球的机械能守恒，故C正确，D错误。
2.(2025·新课标卷·16)如图，撑竿跳高运动中，运动员经过助跑、撑竿起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为10 m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为(重力加速度取10 m/s2)
A.4 m B.5 m C.6 m D.7 m
√
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答案
　　　理论上，当运动员在最高点速度为零时，重心提升高度最大，以
地面为零势能面，根据机械能守恒定律有mv2=mgh，可得其理论上重心
提升的最大高度为h=5 m，故选B。
3.(2025·江苏徐州市模拟)如图，将质量为m的篮球从离地高度为h的A处，以初速度v抛出，篮球恰能进入高度为H的篮筐，不计空气阻力和篮球转动的影响，过篮球入筐位置B的水平面为零势能面，重力加速度为g。则篮球经过位置B时的机械能为
A.mv2 B.mv2+mg(h-H)
C.mv2+mg(H-h) D.mv2+mgh
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√
答案
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答案
　　　由题意，篮球入筐位置B的水平面为零势能面，则篮球在位置B时的重力势能为零，动能为Ek，则Ek-mv2=-mg(H-h)
机械能E=Ep+Ek=mv2+mg(h-H)，故选B。
4.如图所示为某运动员做蹦床运动的简化示意图，A为运动员某次下落过程的最高点，B为运动员下落过程中刚接触蹦床时的位置，C为运动员下落过程的最低点。若A、B之间的竖直距离为h，B、C之间的竖直距离为
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答案
Δx，运动员的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是
A.下落过程中运动员与蹦床组成的系统势能一直在减小
B.从最高点A运动到最低点C，运动员的机械能守恒
C.从B点至C点过程中，运动员的机械能守恒
D.蹦床的最大弹性势能是mg(h+Δx)
√
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答案
　　　不计空气阻力，运动员与蹦床组成的系统在整个运动过程中只有重力与弹力做功，蹦床与运动员组成的系统机械能守恒，运动员的动能在整个过程中先变大后变小，则运动员与蹦床组成的系统势能先变小后变大，故A错误；
从A运动到B，运动员先做自由落体运动，只有重力做功，运动员机械能守恒，从B运动到C，运动员速度先增大后减小，蹦床逐渐发生形变，蹦床弹力对运动员做负功，运动员和蹦床组成的系统机械能守恒，运动员的机械能不守恒，故B、C错误；
下落至C点时蹦床弹性势能最大，以C点所在平面为零势能面，有Epm=mg(h+Δx)，D正确。
5.如图所示，一个半径为r、质量均匀的圆盘套在光滑固定的水平转轴上，一根轻绳绕过圆盘，两端分别连接着物块A和B，A放在水平地面上，B用手托着，A、B均处于静止，此时B离地面的高度为7r，圆盘两边的轻绳沿竖直方向伸直，A和圆盘的质量均为m，B的质量为2m，快速撤去手，在物块B向下运动的过程中，绳子始终与圆盘没有相对滑动，已知圆盘转动的
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答案
动能为EkC=mr2ω2，其中ω为圆盘转动的角速度，则物块A上升到最高点时离地面的高度为(A上升过程中未与圆盘相碰，不计空气阻力)
A.7r B.8r C.9r D.10r
√
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答案
　　　设B刚落地时速度为v，则根据机械能守恒有2mg×7r=mg×7r+×
3mv2+mv2，解得v=2，当物块B落地后，A还能上升的高度h==2r，因此A上升到最高点离地面的高度为9r。故选C。
6.(2025·江苏常州市期末)如图所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径为R的
圆弧，BC部分水平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长
为R，小球可视为质点，开始时a球处于圆弧上端A点，由静止开始释放小球和轻杆，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度为g，下列说法正确的是
A.a球下滑过程中机械能保持不变
B.b球下滑过程中机械能保持不变
C.a、b球都滑到水平轨道上时速度大小均为
D.从释放a、b球到a、b球都滑到水平轨道上，整个
过程中轻杆对a球做的功为mgR
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答案
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答案
　　　对于单个小球来说，杆的弹力做功，小球机械能不守恒，A、B错误；
两个小球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，故有mgR+
mg(2R)=×2mv2，解得v=，C错误；
a球在下滑过程中，杆的弹力和重力对a球做功，故根据动能定理可得W+
mgR=mv2，其中v=，联立解得W=mgR，D正确。
7.从地面以大小为v0的速度竖直向上抛出一个物体，不计空气阻力，重力加速度为g，以地面为重力势能的零势能面，下列说法正确的是
A.物体的重力势能为动能的一半时，物体距离地面高度为
B.物体速率为时，物体的动能和重力势能相等
C.物体的动能和重力势能相等时，物体距离地面的高度为
D.若物体的质量变为原来的2倍，其他条件不变，则物体能达到的最大
高度减半
√
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答案
能力综合练
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答案
　　　物体的重力势能为动能的一半时，设物体距离地面高度为h，有
mv2=2mgh，根据机械能守恒定律可得m=mv2+mgh=3mgh，解得h=，故A错误；
当物体的速率为时，物体的动能为Ek=m()2=m，物体的重力势能为Ep=m-Ek=m，故B错误；
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答案
　　　物体的动能和重力势能相等时，设物体距离地面的高度为h'，则有mgh'=mv'2，根据机械能守恒定律可得m=mv'2+mgh'=2mgh'，解得h'=，故C正确；
设物体能达到的最大高度为H，根据机械能守恒定律可得m=mgH，解得H=，若物体的质量变为原来的2倍，其他条件不变，则物体能达到的最大高度不变，D错误。
8.(2025·江苏南京市检测)用轻杆通过铰链相连的小球A、B、C处于竖直平面内，质量均为m，两段轻杆等长，现将C球置于距地面高h处，由静止释放，假设三个小球只在同一竖直面内运动，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度为g，则在小球C下落过程中，以下说法错误的是
A.小球A、B、C组成的系统动量不守恒
B.小球C的机械能先减小后增大
C.小球C落地前瞬间的速度大小为
D.当小球C的机械能最小时，地面对小球B的支持力大于mg
√
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答案
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答案
　　　在小球C下落过程中，由于小球C在竖直方向有加速度，小球A、B在竖直方向没有加速度，所以小球A、B、C组成的系统竖直方向的合外力不为零，则小球A、B、C组成的系统在竖直方向动量不守恒，故A正确，不满足题意要求；
由于不计一切摩擦及空气阻力，小球A、B、C组成的系统满足机械能守恒，在小球C下落过程中，小球A、B的动能先增大后减小，即小球A、B的机械能先增大后减小，所以小球C的机械能先减小后增大，故B正确，不满足题意要求；
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答案
　　　小球C落地前瞬间，小球A、B的速度均刚好为0，根据系统机械能守恒可得mgh=m，解得小球C落地前瞬间的速度大小为vC=，故C正确，不满足题意要求；
当小球C的机械能最小时，此时小球A、B的机械能最大，此时轻杆对A、B的弹力刚好为0，竖直方向根据受力平衡可知，地面对小球B的支持力等于mg，故D错误，满足题意要求。
9.(2020·江苏卷·15)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮
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答案
转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
答案　2ωR
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答案
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
　　　重物落地后，小球线速度大小v=ωr=2ωR
答案　
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10
答案
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
　　　向心力Fn=2mω2R
设F与水平方向的夹角为α，则Fcos α=Fn
Fsin α=mg
解得F=
答案　(ωR)2
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答案
(3)重物下落的高度h。
　　　落地时，重物的速度v'=ωR
由机械能守恒得Mv'2+4×mv2=Mgh
解得h=(ωR)2。
10.(2025·江苏省常州联盟校联考)如图所示，一个侧壁光滑的质量为M的矩形装置放置在水平地面上，现有一个固定在矩形装置上的滑轮和一个固定在竖直墙壁上的滑轮，滑轮质量均不计。一木
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答案
块通过轻质细线绕过两个滑轮系在矩形装置上，木块与矩形装置侧壁接触，细线有两部分处于水平状态、有一部分处于竖直状态，重力加速度为g，假定装置不翻转。
答案　0.4Mg
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答案
(1)若地面光滑，当木块的质量m=0.2M，用一向左的水平恒力F使系统静止，求水平恒力F的大小；
　　　对木块受力分析，根据平衡条件可知细线拉力大小为FT=mg，F=2FT
所以F=0.4Mg
答案　0.25M
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答案
(2)若装置与地面间的动摩擦因数为μ=0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个系统始终处于静止状态，求木块质量m的最大值；
　　　根据平衡条件可知矩形装置应满足μ(Mg+mg)≥2mg
解得m≤0.25M，故木块质量m的最大值为0.25M
答案　
1
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答案
(3)若地面光滑，当木块的质量m=M，整个系统从静止开始运动，当木块沿装置侧壁下降高度h时(此时木块未落地且两滑轮间仍有一定距离)，求装置的速度大小。
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答案
　　　由题意可知木块竖直向下的速度是矩形装置运动速度的二倍，木块水平方向的速度与矩形装置运动速度相同，根据系统机械能守恒定律可得
mgh=m[(2v)2+v2]+Mv2
解得v=。
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第六章

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