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平均变化率问题三步:①基数a= ,②2次增长后的量（2次降低后的量）b= ,③方程：
1.增长率问题：a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
2.降低率问题：a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.
夯实基础，稳扎稳打
1．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，
则可列出关于x的方程为　_________　 ．
某种商品经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元．若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，
则可列出关于x的方程为　_________　 ．
3．某湿地公园迎来旅游高峰，第一天的游客人数是1.2万人，第三天的游客人数为2.3万人，
假设每天游客增加的百分率相同且，设为x，则可列方程　 　
4.电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，
以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，
若把增长率记作x，则可列方程　 　
某商店统计某品牌头盔的销售量，四月份售出320个，六月份售出500个，且从四月份到六月份月增长率相同．
求该品牌头盔的销售量的月增长率；
6.某商品原来售价每千克16元，后续由于成本提升，经过连续两次提价，现在售价每千克25元，
求该商品平均每次提价的百分率．
靠墙长方形面积三步: ①宽为x , ②长=总篱笆长+门的宽度×门的数量-宽×宽的数量, ③方程：
7．某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只．
(1)求从2023年到2025年的年平均增长率；
(2)为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长）并在与墙平行的一边开一道宽1 m的门，．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，求出鸡场的长和宽；(注意：仓库靠墙的那一边不能超过墙长)：21cnj*y.co*m
教
8.某中学组织学生前往成都周边的生态农场实地探访养鸡场，学习其中蕴含的数学规划与设计智慧．
该农场今年养殖有跑山鸡1000只，为实现规模化发展，计划明、后两年以相同的年增长率扩大养殖规模，
预计后年养殖跑山鸡达到1210只，求该农场跑山鸡数量的年增长率；
(2)为优化养鸡环境，农场对鸡舍进行重建．重建后的鸡舍为长方形，一边靠墙（墙长22米），其余的边用环保板材围成．板材上开有两处宽1米的门（门宽不计入板材用量），共用去板材42米，且重建后鸡舍面积为161平方米（墙体厚度忽略不计）．求重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长．
9． 某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程　 　
10.如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙的长度不限）．若矩形菜园的面积为，
求的最小值
参考答案：平均变化率问题：
解：可列方程为120（1﹣x）2=100．
2．解：设降价的百分率为x，根据题意列方程得350（1﹣x）2=299．
3.解：如果每天的增长率都为x，利用第一天到第三天的人数关系，列出方程：1.2（1+x）2=2.3.
4.解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
5（1）解：设该品牌头盔的销售量的月增长率为，根据题意得，
解得，（舍去），
答：该品牌头盔的销售量的月增长率为．
6.解：设平均每次提价的百分率为，依题意，得：，
解得：(舍去)．故答案为：．
7.（1）解：设从2023年到2025年的年平均增长率为，，，（舍去）
答：从2023年到2025年的年平均增长率为；
（2）解：设鸡场的宽为x，则长为(32－2x＋1)，列方程得
(32＋1－2x)x＝130，解得x1＝，x2＝10，当x＝时，长为20，不合题意，则只能长为13，宽为10.21
8.【详解】（1）解：设该农场跑山鸡数量的年增长率为x，由题意得：，
解得：，（不合题意舍去），
答：该农场跑山鸡数量的年增长率为．
（2）解：设重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长为y米，则的长为米，
由题意得：，整理得：，解得，，
当时，（米）米，符合题意；
当时，（米）米，不符合题意，舍去；∴米．
答：重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长为米．
9.解：设仓库的宽为x米 米)，则仓库的长为 米，根据题意得：
10.解：设垂直于墙的一边长为 ，平行于墙的一边长为 ， ．整理得到，，
∵原方程有实数根，∴，∴∵，∴，即的最小值是，销售问题的基本等量关系：(售价一进价)×销售量=利润，
降价后的销售量=原销售量+增加的销售量；涨价后的销售量=原销售量-减少的销售量；
降价后每件盈利=原每件盈利 - 降的价格；涨价后的每件盈利=原每件盈利 + 涨的价格；
1．百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十 一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？请先填空后再列方程求解：设每件童装降价 　　 元，那么平均每天就可多售出 　　 件，
现在一天可售出 　　 件，每件盈利 　　 元．
2．某乐园摊位上销售一批玩偶，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，摊主采取了降价措施．假设在一定范围内，玩偶的单价每降1元，摊主平均每天可多售出2件．
如果该摊主销售这批玩偶要保证每天盈利为1400元，同时尽快减少库存，那么玩偶单价应降多少元？
请先填空后再列方程求解：设每件降价 　　 元，那么平均每天就可多售出 　　 件，
现在一天可售出 　 　件，每件盈利 　 　元．
3．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600盏．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10盏．为了实现平均每月10000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种台灯的售价应定为多少元？
请先填空后再列方程求解：设这种台灯售价定为 　　 元，那么平均每月少售 　　 盏，
现在每月可售出 　　 盏，每盏盈利 　　 元．
4．南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？
请先填空后再列方程求解：设每千克特产定价为x元，则平均每天就可多售出 　　 千克，
现在一天可售出 千克，每千克盈利 　　 元．
可列方程：　 　．
5．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：
小明：设每件皮衣降价x元，那么平均每天就可多售出 　　 件，现在一天可售出 　　 件，
每件盈利 　　 元．可列方程：　 　．
小红：设每件皮衣定价为y元，那么平均每天就可多售出 　　 件，现在一天可售出 　　 件，
每件盈利 　　 元．可列方程：　 　．
（2）请你选择一种方法，写出完整的解答过程．
6．某次商品交易会上，某商人成批购进纪念品的单价是22元，调查发现：销售单价是32元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件纪念品售价不能高于40元．设每件纪念品的销售单价上涨了m元时（m为正整数），月销售利润为w元．
（1）求w与m的函数关系式并直接写出自变量m的取值范围；
（2）每件纪念品的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件纪念品的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大利润是多少？
销售问题的基本等量关系：(售价一进价)×销售量=利润，
降价后的销售量=原销售量+增加的销售量；涨价后的销售量=原销售量-减少的销售量；
降价后每件盈利=原每件盈利 - 降的价格；涨价后的每件盈利=原每件盈利 + 涨的价格；
1.解：答案为：x，2x，20+2x，40﹣x．
设每件童装降价x元，则（40﹣x）（20+2x）=1200即：x2﹣30x+200=0解得：x1=10，x2=20
∵要扩大销售量，减少库存∴舍去x1=10
答：每件童装应降价20元．
解：答案为：x，2x，30+2x，40﹣x．设玩偶的单价降价元，根据题意，
得 ，解得：，∵要尽快减少库存，∴，
答：玩偶的单价应降20元．
解：答案为：x，10（x-40），600﹣（x﹣40）×10，x﹣30．
设售价为x元，依题意列方程（x﹣30）[600﹣（x﹣40）×10]＝10000，
解得x1＝50，x2＝80，因需扩大销售量，减少库存，所以x2＝80应舍去，
答：售价为50元时进500个．
4.（2）方法1：设每千克特产应降价x元． 根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，解得x1＝4，x2＝6．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝6，60﹣6＝54元，答：每千克特产应定价54元．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240解得x1＝54，x2＝56．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝54，答：每千克特产应定价54元．
5.【解答】解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，
依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；
小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（3010）件，
依题意，得：（y﹣750）（30）＝12000．
（2）选择小明的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，
整理，得：x2﹣200x+7500＝0，解得：x1＝50，x2＝150，∴1100﹣x＝1050或950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
选择小红的设法，则（y﹣750）（30）＝12000，
整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，解得：y1＝1050，y2＝950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
6.解：（1）由题意得w＝（32+m﹣22）（230﹣10m）＝﹣10m2+130m+2300，
∵每件纪念品售价不能高于40元，且m为正整数，
∴自变量的取值范围为0＜m≤8，且m为正整数．
（2）当w＝2520时，﹣10m2+130m+2300＝2520，解得：m1＝2，m2＝11（舎去）．则32+m＝34（元），
答：每件纪念品的售价定为34元时，月销售利润为2520元．
（3）由题意得w＝﹣10m2+130m+2300＝﹣10（m﹣6.5）2+2722.5，
∵﹣10＜0，0＜m≤8，且m为正整数，∴当m＝6时，32+m＝38，w＝2720，
当m＝7时，32+m＝39，w＝2720，
答：每件纪念品的售价定为38元或39元时，每个月可获得最大利润，最大月利润为2720元．

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