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课时突破练54　“动态圆”“磁聚焦和磁发散”模型
基础·满分练
命题角度一　平移圆法
1.如图所示,在直角三角形ABC内(包括边界)存在垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出),AB边长度为d;∠C=,现垂直于AB边射入一簇质量均为m、电荷量均为q、速度相同的带正电粒子(不计重力)。已知垂直于AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0,在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为t0,下列判断正确的是(　　)
A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为2.4t0
B.该匀强磁场的磁感应强度大小为
C.粒子在磁场中运动的轨迹半径为d
D.粒子进入磁场时的速度大小为
命题角度二　放缩圆法
2.(多选)(2025浙江金华联考)如图所示,边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场,D是AB边的中点,一质量为m、电荷量为-q (q>0)的带电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场,不考虑带电粒子受到的重力,下列说法正确的是(　　)
A.粒子可能从B点射出
B.若粒子垂直于BC边射出,则粒子做匀速圆周运动的半径为L
C.若粒子从C点射出,则粒子在磁场中运动的时间为
D.所有从AB边射出的粒子,其在磁场中运动的时间均相等
命题角度三　旋转圆法
3.如图所示,在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出),磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、电荷量为q的正离子,速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子,在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远的距离分别为(　　)
A. B.
C. D.
命题角度四　“磁聚焦”和“磁发散”模型
4.如图所示,圆形区域半径为r,区域内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场,一束不计重力的带正电粒子,质量均为m,电荷量均为q,以垂直于区域圆直径MN的相同速度飞入圆形匀强磁场区域后发生偏转,都恰好能在区域边缘的同一点射出磁场区域,不计粒子间相互作用力,则下列说法正确的是(　　)
A.粒子将从M点射出磁场
B.所有粒子在磁场中的运动时间相同
C.粒子射出磁场区域的速度方向均相同
D.粒子速度为v=
5.(多选)如图,坐标原点O有一粒子源,能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力),所有粒子速度大小相等,不计粒子间的相互作用。圆心在(0,R)、半径为R的圆形区域内,有垂直于坐标平面向外的匀强磁场(未画出),磁感应强度大小为B。磁场右侧有一长度为R、平行于y轴的光屏,其中心位于(2R,R)。已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后,恰能垂直射在光屏上,则(　　)
A.粒子速度大小为
B.所有粒子均能垂直射在光屏上
C.能射在光屏上的粒子中,在磁场中运动时间最长为
D.能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴正方向夹角满足45°≤θ≤135°
能力·高分练
6.(2025浙江温州检测)如图所示,在xOy平面内,有一粒子源沿x正方向发射速率相等的质量为m、电荷量为+q的带电粒子。粒子射入一个半径为R、中心位于原点O的圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直xOy平面向里,磁感应强度的大小为B。已知沿x轴入射的粒子经磁场偏转后从P点射出。下列说法正确的是(　　)
A.粒子的速率v=
B.沿x轴入射的粒子在磁场中的运动时间t=
C.不同位置入射的粒子会从不同位置离开磁场
D.关于x轴对称入射的两个粒子从磁场中离开时的速度方向关于y轴对称
7.(多选)如图所示,MN是磁感应强度为B的匀强磁场的边界。一质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场。若粒子速度为v0,最远能落在边界上的A点。下列说法正确的有(　　)
A.若粒子落在A点的左侧,其速度一定小于v0
B.若粒子落在A点的右侧,其速度一定大于v0
C.若粒子落在A点左右两侧d的范围内,其速度不可能小于v0-
D.若粒子落在A点左右两侧d的范围内,其速度不可能大于v0+
8.(9分)(跨学科融通)电子质量为m,电荷量为e,从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限,射入时速度方向不同,速度大小均为v0,如图所示。现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场,磁感应强度为B,若这些电子穿过该磁场后都能垂直射到荧光屏MN上,荧光屏与y轴平行,求:
(1)荧光屏上光斑的长度;
(2)所加磁场范围的最小面积。
素养·提升练
9.(跨学科融通)(多选)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度,人们把此原理运用到薄膜材料制备上,使芯片技术得到飞速发展。如图所示,宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域,磁感应强度大小为B0,这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域,正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域,使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0,且粒子仍沿水平向右射出,不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力,下列说法正确的是(　　)
A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0,方向垂直纸面向里
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0,方向垂直纸面向里
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π-2)
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为
答案：
1.C　解析 粒子垂直于AC边射出,可知速度偏转角为,则对应的圆心角也等于,依题意有t0∶T=∶2π,解得T=4t0,故A错误;根据带电粒子在匀强磁场中的周期公式有T=4t0=,可得B=,故B错误;在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为t0,依题意其运动轨迹如图所示,在磁场中运动的时间为t0时,对应的圆心角为,即∠EOF=π,根据几何关系有rcos ∠FOA+=d,即r+r=d,解得r=d,故C正确;根据带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹半径公式,依题意有r=d=,解得v=,故D错误。
2.CD　解析 带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场,由左手定则可知,粒子向下偏转,由于BC边的限制,粒子不能到达B点,故选项A错误;粒子垂直于BC边射出,如图甲所示,则粒子做匀速圆周运动的半径等于D点到BC边的距离,即r=sin 60°=L,故选项B错误;粒子从C点射出,如图乙所示,根据几何关系有r2=(r-sin 60°)2+(L-cos 60°)2,求得r=L,∠O=60°,则粒子在磁场中运动的时间为t=T=,故选项C正确;根据qvB0=m,可知r=,若粒子从AB边射出,则粒子的速度越大,轨迹半径越大,如图丙所示,由几何知识可知,所有粒子从AB边射出时的圆心角均相同,可知其在磁场中运动的时间均相同,故选项D正确。
3.A　解析 若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动(如图所示),不难得出离y轴最远为|x|=2r=,离x轴最远为y=2r=,所以A项正确。
4.D　解析 由题意可知,粒子偏转半径为圆形磁场区域半径r,根据qvB=m,得此时粒子速度为v=,选项D正确;由左手定则可得,粒子从N点射出磁场,选项A错误;最上层粒子在磁场中的运动时间最长,最下层粒子在磁场中运动时间最短,选项B错误;由粒子运动轨迹可知,粒子射出时方向不相同,选项C错误。
5.AC　解析 初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后,恰能垂直射在光屏上,由洛伦兹力提供向心力有qBv=m,且r=R,解得v=,A正确;由于所有粒子的速度大小相等,但方向不同,且离开磁场区域的出射点距离O点的竖直高度最大值为2R,并不会全部垂直打在光屏上,B错误;如图甲,由几何关系可得,能射在光屏上的粒子中,运动时间最长的对应轨迹的圆心角为π,根据周期公式T=,可得t=T=,C正确;若能打在光屏下端,如图乙,由几何关系可得θ1=60°,即初速度与x轴正方向夹角为θ1=60°,同理,粒子打在光屏上端时,初速度与x轴正方向夹角为θ2=120°,则60°≤θ≤120°,D错误。
6.D　解析 粒子源沿x轴正方向射入的粒子经圆形磁场区域偏转后从P点射出,则该粒子的轨道半径与磁场区域的半径相等,偏转角为90°,故粒子做圆周运动的轨道半径r=R,粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qvB=m,解得v=,A错误;沿x轴正方向射入的粒子经圆形磁场区域偏转后从P点射出,则偏转角为90°,沿x轴入射的粒子在磁场中的运动时间t=T=,B错误;如图1所示,粒子的轨道半径与磁场区域的半径相等,由几何关系可知沿x轴正方向射入的粒子经圆形磁场区域偏转后均从P点射出,C错误;如图2所示,设关于x轴对称入射的两个粒子从a、b点进入磁场,从磁场中离开时的速度方向与y轴夹角分别为α、β,两个粒子做圆周运动的圆心分别是O1、O2,过P点作a、b点连线的垂线段,垂足为C点。由几何关系可得∠O1PC=α,∠O2PC=β,根据O1P=O2P=R,可知∠O1PC=∠O2PC,证得α=β,即关于x轴对称入射的两个粒子从磁场中离开时的速度方向关于y轴对称,D正确。
图1
图2
7.BC　解析 当粒子从O点垂直于MN进入磁场时,落在MN上的点离O点最远,设O、A间的距离为d+x,则有,当v0大小不变、方向改变时,粒子就落在A点的左侧,故A错误;若粒子落在A点的右侧,由r=可知,v一定大于v0,故B正确;若粒子落在A点左侧d处时,粒子的最小速度vmin一定满足,解得vmin=v0-,故C正确;当v>v0+时,只要改变速度的方向,也可以使粒子落在A点左右两侧d的范围内,故D错误。
8.(1)　(2)
解析 (1)如图所示,初速度沿x轴正方向的电子,沿弧OB运动到P点,为荧光屏上光斑的最高点,初速度沿y轴正方向的电子,沿弧OC运动到Q点,为荧光屏上光斑的最低点,电子在磁场中做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得ev0B=m,解得R=,光斑长度PQ=R=。
(2)所加磁场的最小面积是以O'为圆心、R为半径的圆的一部分,如图中阴影部分所示,其面积大小S=πR2+R2-πR2=。
9.BC　解析 根据磁聚焦原理,粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动,粒子运动的轨迹半径为r0,有qvB0=m,解得B0=,要使汇聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为2r0,且粒子仍沿水平向右射出,作出轨迹如图所示,由几何关系可知粒子在正方形区域磁场中的轨迹半径2r0,正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分,有qvB1=m,解得B1=B0,由左手定则可知,方向垂直纸面向里,A错误,B正确;如图所示,磁场区域的最小面积为Smin=2(π-2),C正确,D错误。
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