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江苏苏州市2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面四个图案中，是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.二元一次方程的一个解可以是（ ）
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
4.已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
5.已知，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6.“不规则密铺”是指在同一平面内用任何形状、任何大小的几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片的几何方法．如图①，公园石墙可以近似看成由多边形石材不规则密铺而成；图②是其局部示意图，四块多边形不规则密铺于点，已知，，，，，，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
7.苏州云岩寺塔，俗称虎丘塔，被誉为“吴中第一名胜”．从正上方俯瞰，整体轮廓是几个棱角分明、对称均匀的正多边形．已知该正多边形边数的2倍比塔的层数的3倍少5，塔的层数与正多边形边数的4倍之和为39．若设该塔的层数为，多边形的边数为，则可列出方程组为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，点在直线上，，将一张等边三角形纸片如图放置，纸片的边在直线上平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，的度数为（ ）
A. B. 或 C. 或 D. 或
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.命题“如果，那么”是 命题．（填“真”或“假”）
10.已知，，则 ．
11.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是米．数据用科学记数法表示为
12.月洞窗是没有花纹的天然画框，框住竹石花木，一扇窗就是一幅画，是苏州园林框景手法的典型应用．图①是苏州留园的月洞窗，其形状是一个八边形，图②是该窗的示意图，则该八边形的内角和为 ．
13.如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 cm2．
14.已知，，则 ．
15.我们把二次三项式，叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求二次多项式的最大值或最小值．例如：，所以当时，多项式有最小值，最小值是．若，则二次多项式的最小值为 ．
16.一副三角板如图①放置，点，，在直线上，其中，，．如图②，在图①的基础上，三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角板的直角边旋转到直线上时两块三角板立即停止旋转．设三角板旋转时间为秒，四条直角边，，，在旋转过程中，当有一条边平分两条边的夹角时，的值为 ．
三、计算题：本大题共3小题，共18分。
17.计算：
(1) ；
(2) ．
18.计算：
(1) ；
(2) ．
19.解方程组及不等式组
(1) 解方程组：
(2) 解不等式组：
四、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中．
21.(本小题6分)
如图，点在线段上，点在线段上，连接，，，线段，分别交于点，且，．
(1) 与平行吗？请说明理由；
(2) 若，，求的度数．
22.(本小题6分)
一个千位数字是，百位数字是，十位数字是，个位数字是的四位数可以表示为．
(1) 当，，，时，则该四位数 被3整除；（填“能”或“不能”）
(2) 已知：可以被3整除．求证：可以被3整除．
23.(本小题8分)
如图，在纸片中，，．点在边上，连接，将沿所在直线翻折，点落在点处，．
(1) °；（直接写出答案）
(2) 请利用无刻度直尺和圆规作出．（不写作法，保留作图痕迹）
24.(本小题8分)
已知关于，的二元一次方程组
(1) 若方程组的解满足，求的值；
(2) 若，为负数，求的取值范围．
25.(本小题8分)
2026年美加墨世界杯正如火如荼的进行，掀起了一股足球的热潮．某学校支持学生大课间开展足球活动，共需采购40只足球，采购足球预算费用5600元，采购平台上有三种型号的足球可供选择：A型足球100元/只，B型足球140元/只，C型足球180元/只．
(1) 若学校同时购进A、C两种型号的足球，恰好用完预算费用，问两种型号的足球各买了多少只？
(2) 若学校同时购进三种型号的足球，购进A型足球不超过14只，B型足球的数量是C型足球数量的两倍．请写出所有可能的方案，并说明理由．
26.(本小题9分)
定义：关于，的两个二元一次方程，（其中，，，，，均为常数，且，），如果满足，，，那么这两个方程互为“互补二元一次方程”．例如：的“互补二元一次方程”为．
(1) 方程的“互补二元一次方程”是 ；（直接写出答案）
(2) 关于，的两个二元一次方程，互为“互补二元一次方程”，若是方程组的解，当时，求的值；
(3) 关于的两个二元一次方程，互为“互补二元一次方程”，若，，求的范围．
27.(本小题11分)
如图①，在中，点是延长线上一点，点是内部一点．若平分，平分．求证：．
七年级某学习小组经过研讨给出了如下的证明过程：
，，
，，
．
平分，平分，
，．
，
，
．
(1) 如图②，若，．求证：．
(2) 如图③，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针或逆时针旋转，点是线段上的一点，点是射线上的一点（不与点重合）．连接，在内部作射线，使得，在内部作射线，使得，射线的反向延长线与射线交于点．设射线旋转的时间为秒，且）：
①当秒，求的度数；
②当时， （直接写出答案，用含字母的代数式表示）
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】真
10.【答案】36
11.【答案】7×10-9
12.【答案】
13.【答案】400
14.【答案】5
15.【答案】-8
16.【答案】或 /或
17.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

18.【答案】【小题1】
解：原式；
【小题2】
解：原式．

19.【答案】【小题1】
解：，
②得
①③得，
解得，
把代入①得解得，
因此方程组的解为．
【小题2】
解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
因此不等式组的解集为．

20.【答案】解：原式
，
当时，
原式．

21.【答案】【小题1】
解：，理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．

22.【答案】【小题1】
能
【小题2】
证明：
∵能被整除，
已知可以被整除，
∴能被整除，即可以被整除．

23.【答案】【小题1】
40
【小题2】
解：如图所示，即为所求．

24.【答案】【小题1】
解：，
得：，又，
，解得；
【小题2】
解：，
得：，解得，
把代入得，解得，
，为负数，
，解得．

25.【答案】【小题1】
解：设购进A型号的足球x只，购进C型号的足球y只，
根据题意得，
解得
∴购进A型号的足球20只，购进C型号的足球20只；
【小题2】
共有两种方案：方案一：购进A型号的足球13只，B型号的足球18只，C型号的足球9只；方案二：购进A型号的足球10只，B型号的足球20只，C型号的足球10只，理由如下：
设购进A型号的足球a只，C型号的足球b只，则购进B型号的足球只，
根据题意得，
∴
根据题意得，
∴
∵b是正整数
∴或10
∴当时，，；当时，，；
∴共有两种方案：方案一：购进A型号的足球13只，B型号的足球18只，C型号的足球9只；方案二：购进A型号的足球10只，B型号的足球20只，C型号的足球10只．

26.【答案】【小题1】

【小题2】
解：∵关于，的两个二元一次方程，互为“互补二元一次方程”，
∴，，，
对于方程组，
，得，则，
∵是方程组的解，
∴，又，
∴，
∴；
【小题3】
解：由题意，得，，，则，
∴，，
∴，，即，
∵，，
∴，解得，
又∵，
∴，即，
∴，，
综上，n的取值范围为且．

27.【答案】【小题1】
证明：，，
，，
；
∵，，，
，
；
【小题2】
解：①∵，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴；
当射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转15秒时，
则，
∴；
当射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转15秒时，
则，
∴；
综上所述，的度数为或；
②如图所示，当射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转时，
∵，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴；
如图所示，当射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转时，
∵，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴；
综上所述，的度数为或．

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