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2025-2026学年广东省广州市第三中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若复数z满足（1+i）z=3-i,则|z|=（　　）
A. B. 5 C. D. 20
2.设，为一组基底，已知向量，，若A，B，D三点共线，则实数k的值是（　　）
A. 2 B. -2 C. D.
3.设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若a=4，b=6，，则△ABC的面积为（　　）
A. 6 B. C. 12 D.
4.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，=（　　）
A.
B.
C. 2
D.
5.如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=50米，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB为（　　）米．
A. 50 B. 100 C. 50 D. 25
6.已知三棱锥A-BCD的所有棱长均为，球O为三棱锥A-BCD的外接球，则球O的体积为（　　）
A. 4π B. 6π C. D. 12π
7.三个共面的向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=2，||=3，则|++|=（　　）
A. B. 6 C. 或6 D. 3或6
8.如图，公园里有一块边长为4的等边三角形草坪（记为△ABC），图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上，如果要沿DE铺设灌溉水管，则水管的最短长度为（　　）
A.
B.
C. 3
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设复数z的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（　　）
A. 若复数z=3+4i,则在复平面内对应的点在第四象限
B. 复数z=3+4i的模|z|=5
C. 若|z|=1，则z=±i或±1
D. 若复数（m2+3m-4）+（m-1）i是纯虚数，则m=-4
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的有（　　）
A. 若，a=1，b=4，则符合条件的△ABC只有一解
B. 若，，b=1，则符合条件的△ABC只有一解
C. 若，，b=3，则符合条件的△ABC无解
D. 若，b=4且符合条件的△ABC有二解，则a的取值范围为
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则（　　）
A. 存在点Q，使PQ∥平面MBN
B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
C. 三棱锥Q-BCN的体积是定值，为
D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积12π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 .
13.如图，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图是边长为的正三角形，原△ABC的面积为 .
14.如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，M是BC的中点，，设AM与BN相交于点P，则cos∠MPN= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且.
（1）以，为基底表示向量，，；
（2）若，，与的夹角为120°，求和.
16.(本小题15分)
已知圆锥的半径，母线长为.
（1）求圆锥的表面积和体积；
（2）如图，过AO的中点O1作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积.
17.(本小题15分)
如图，观测站C在目标A的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31km的B处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达D处，此时测得C，D相距21km.
（1）求cos∠BDC.
（2）求D，A之间的距离.
18.(本小题17分)
如图，在正四棱锥P-ABCD中，O，G分别是线段AC，PA的中点，E，F分别在线段BP，BC上，且.
（1）证明：O，G，E，F四点共面.
（2）证明：PC∥平面BDG.
（3）若点H在线段PD上，且满足PH=4HD，试问侧棱PC上是否存在一点K，使得BK∥平面HAC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求A；
（2）若a=3，
（i）求△ABC周长的取值范围.
（ii）当△ABC周长最大时，设点M为AB边的中点，点P在边BC上（包括端点），求的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】BCD
11.【答案】AC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】，， ，
16.【答案】表面积9π，体积3π； 体积，表面积．
17.【答案】解：（1）由题意知：BD=20，CD=21，BC=31，
∴在△BCD中，由余弦定理得：；
（2）∵，∴，
由题意知：∠CAD=20°+40°=60°，
∴在△ACD中，由正弦定理得：，∴，
由余弦定理得：AD2+CD2-2AD CDcos∠ADC=AC2，
即AD2+441-6AD=576，解得：AD=15或AD=-9（舍），
∴D，A之间的距离为15km.
18.【答案】证明见解析； 证明见解析； 存在，．
19.【答案】 （i），9]；（ii）
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