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2025-2026学年甘肃省庆阳市环县第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.空间直角坐标系中，已知A（-1，1，3），则点A关于平面xOz的对称点的坐标为（　　）
A. （1，1，-3） B. （-1，-1，-3） C. （-1，1，-3） D. （-1，-1，3）
2.某物体沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为y（t）=1-t+t2，则该物体在t=3s时的瞬时速度是（　　）
A. 2m/s B. 3m/s C. 4m/s D. 5m/s
3.在空间四边形ABCD中，下列表达式化简结果与相等的是（　　）
A. B. C. D.
4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A. （0，-1，-1） B. （-1，0，-1） C. D.
5.如图是函数y=f（x）的导函数的图象，下列结论中正确的是（　　）
A. f（x）在[-2，-1]上是增函数
B. 当x=3时，f（x）取得最小值
C. 当x=-1时，f（x）取得极大值
D. f（x）在[-1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数
6.已知函数f（x）=x3+2x2+2f′（-1） x+1，则f（1）等于（　　）
A. 0 B. 3 C. 4 D. 6
7.在三棱锥A-BCD中，若AB⊥BD，CD⊥BD，BD=1，则=（　　）
A. B. 1 C. D. 0
8.已知函数a=ln2，b=ln5，c=，则a,b,c的大小关系正确的是（　　）
A. a＜c＜b B. c＜a＜b C. a＜b＜c D. b＜a＜c
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列计算正确的是（　　）
A. B. （x2cosx）′=-2xsinx
C. （3n）′=3nlog3e D.
10.以下四个命题中错误的是（　　）
A. 空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B. 若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底
C. 对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面
D. 任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
11.若曲线y=ax2（a≠0）与y=lnx+1存在公共切线，则实数a的可能取值是（　　）
A. -1 B. e C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知x,y∈R，与共线，则x-y= .
13.已知A（2，0，4），B（3，1，5），C（4，-1，4），则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为 .
14.已知函数，且满足，则实数x的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量.
（1）若，求t的值；
（2）求的最小值.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1，其导函数为f′（x），不等式f′（x）＜0的解集为（2，4）．
（1）求a，b的值；
（2）求函数在[0，3]上的最大值和最小值．
17.(本小题15分)
已知：正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E、F、G、H分别是四面体ABCD中各棱的中点，设：，试采用向量法解决下列问题：
（1）求的模长；
（2）求，的夹角．
18.(本小题17分)
如图，在几何体ABCDEFG中，四边形ADGE是边长为2的正方形，CD⊥平面ADGE，四边形ABCD与CFGD都是直角梯形，BC=FG=CD，P为EG的中点.
（1）棱CF上是否存在点Q，使得PQ∥平面CDE，并证明；
（2）若CD=2，求：
（i）点D到平面BEF的距离；
（ii）平面BEF与平面CDE夹角的余弦值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=xlnx-x.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥mx-e2对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若x0是函数h（x）=f（x）+x2的极值点，求证：f（x0）+3x0＞0.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABC
12.【答案】18
13.【答案】
14.【答案】1
15.【答案】解：（1）因为，，
所以，即2（1-t）+t（1-t）+t2=0，解得t=2；
（2）
所以，
所以当时，取得最小值为．
16.【答案】解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+1，所以f′（x）=x2+2ax+b，
由于x2+2ax+b＜0的解集为（2，4），
所以，解得a=-3，b=8．
（2）由（1）得f（x）=x3-3x2+8x+1，
所以f′（x）=x2-6x+8，
令f′（x）=0，解得x=2或4，
由于x∈[0，3]，
所以函数的单调递增区间为（0，2），函数的单调递减区间为（2，3），
所以函数在x=2时，函数取最大值，即，
由于f（0）=1，f（3）=7，
所以f（x）min=f（0）=1．
17.【答案】解：（1）如图所示，
正四面体ABCD的棱长为1，E、F、G、H分别是四面体ABCD中各棱的中点，
，
∴==（-）=（-），
==；
∴=++=-（-）-+=（--），
∴||=
=
=
=；
（2）正四面体ABCD中，=（--），||=；
同理，=（+-），||=；
∴cos＜，＞=
=
=[-]
=[+-2 -]
=[1+1-2×1×1cos60°-1]
=0，
∴与的夹角为90°．
18.【答案】（1）Q为CF的中点时，PQ∥平面CDE；取DG的中点H，连接PH，QH，
因为P为EG中点，所以PH∥DE，
因为DE 平面CDE，PH 平面CDE，所以PH∥平面CDE，
因为H为DG中点，Q为CF中点，
所以QH∥CD，
因为CD 平面CDE，QH 平面CDE，
所以QH∥平面CDE，
因为PH∩QH=H，PH，QH 平面PQH，
所以平面PQH∥平面CDE，
因为PQ 平面PQH，
所以PQ∥平面CDE （2）（i）；（ii）
19.【答案】f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞） （-∞，2] 证明：由h（x）=f（x）+x2=xlnx-x+x2，x＞0，
可得h′（x）=lnx+2x，令H（x）=h′（x）=lnx+2x，x＞0，
可得在（0，+∞）上恒成立，
所以H（x）在（0，+∞）上单调递增，
即函数h′（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为x0是h（x）=f（x）+x2的极值点，
所以存在x0，使得h′（x0）=0，即lnx0=-2x0，
又由h′（1）=2＞0，所以0＜x0＜1，
则，
所以f（x0）+3x0＞0
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