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2025-2026学年吉林省长春五十二中赫行实验学校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，数轴上表示-1.5的点可能是（　　）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
2.如图所示的眼镜盒的主视图为（　　）
A.
B.
C.
D.
3.下列算式中，运算结果为负数的是（　　）
A. -22 B. |-2| C. -（-2） D. （-2）2
4.已知a＞b＞c,下列式子一定成立的是（　　）
A. a+b＞b+c B. ab＞bc C. ac＞bc D. a+b＞c
5.如图，某快递公司计划在主干路l上设一个机器人配货总部P，在主干路l同侧有M与N两个机器人配送点，若使配货总部P到两个配送点的距离和PM+PN最小，则下列示意图中配货总部P的位置符合要求的是（　　）
A. B.
C. D.
6.如图，健身者在静蹲时，膝关节最前方A点与脚尖C点连线垂直于地面（AC⊥BC），小腿与地面所夹锐角∠ABC为α，AB=a米，则膝关节最前方点A到地面距离AC长为（　　）
A. a tanα米
B. a sinα米
C. 米
D. 米
7.如图，分别以点A、B为圆心，以线段AB长为半径作弧，两弧分别交于C、D两点，连结AC、CB、BD、DA、CD，再以点C为圆心，AC为半径作弧，交CD于点E，连结AE，若AB=2，则△ACE的面积为（　　）
A. 2 B. C. 1 D.
8.如图，在正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中每个小正方形的边长为1.反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点A、B在格点上，则k的值为（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算：= .
10.若a、b是2026的两个平方根（a≠b），则a+b的值为 .
11.已知m2-2m=3，则1-m2+2m的值为 .
12.如图，分别以边长为1的正六边形的顶点为圆心，正六边形的边长为半径在正六边形内部作弧，则图中阴影部分周长和为 .
13.如图，阳光下一根长2m的木棒AB在地面上的影子BC长为3m,此时旗杆DE的影子有一部分落在距离旗杆15m的墙FG上，旗杆的影子落在墙上的高度FH为2.8m,则旗杆DE的高度为 m.
14.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E在上，且，连接BE交AC于点F，给出下面四个结论：
①BC与⊙O相切；
②∠A+∠BFC=90°；
③若CD=1，则；
④.
上述结论中，正确结论的序号有 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
15.先化简，再求值：，其中.
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
某游乐场有两个游乐区，分别是A区（水上乐园）和B区（森林探险）.现游乐场推出促销活动.商家在一个不透明的纸箱中放入两个小球，分别标记字母A、B，每个小球除字母不同外其余均相同.每次搅匀后游客从纸箱中随机摸出一个小球记下字母后放回，每位游客摸两次球，若两次摸到的小球都标有字母A可半价游玩A区，都标有字母B可半价游玩B区；两次字母不同可半价游玩A、B两个区，用画树状图（或列表）的方法说明每位游客抽到半价游玩A、B两个区的概率.
17.(本小题6分)
甲、乙两名同学沿学校周边步道晨跑，步道一圈长为1680米，甲、乙两名同学的速度比为8：7，跑完一圈乙比甲多用60秒，求甲同学的跑步速度.
18.(本小题7分)
如图，在△AOB中，，，BO=1，把△AOB绕点O旋转180°后得到△COD，连接BC、AD.求证：四边形ABCD是菱形.
19.(本小题7分)
图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画四边形.所画四边形的顶点均在格点上，面积为8，每条边长均为无理数.
（1）在图①中画既是轴对称又是中心对称的四边形；
（2）在图②中画轴对称四边形，但不是中心对称四边形；
（3）在图③中画中心对称四边形，但不是轴对称四边形.
20.(本小题7分)
某校七、八年级组织安全知识竞赛，从七、八年级各随机抽取50名学生成绩.
对抽取的成绩数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.
a.数据频数分布表如下：（分数均为整数）
组别 A B C D
分数x（分） 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100
七年级频数 6 16 20 8
八年级频数 4 10 26 10
b.七年级C组的数据如下：
80，81，81，83，84，84，84，84，85，85，85，86，87，87，87，88，88，88，89，89；
c.八年级有2人得85分；
d.七、八年级抽取的学生成绩的平均数与中位数如表：
平均数 中位数
七年级 80.6 a
八年级 83.8 85
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a=______；
（2）若再从七、八年级一共随机抽取100名学生成绩.这100名学生成绩的平均数为82.4分，则前后共抽取的200名学生成绩的平均数为______分；
（3）若该校七年级有650名学生参加本次竞赛，八年级有500名学生参加本次竞赛，规定成绩不低于85分为优秀，估计七、八年级共有多少名学生成绩为优秀？
21.(本小题8分)
护士为一位病人静脉输液500ml,开始时以7.5ml/min的速度匀速输液，输入amin时，护士将输液速度调整为原来的，之后匀速输液直到输完.输液过程中，瓶中药液剩余量y（ml）与输液时间x（min）之间的大致函数图象如图所示.
（1）当a=20时，
①m=______，n=______；
②求调整输液速度后y与x之间的函数关系式；（不需写出自变量取值范围）
（2）若病人需要比（1）中早10min完成输液，求a的值.
22.(本小题9分)
【结论证明】如图①，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的平分线交于点E.小轩同学在这个图形中发现两个结论：
①；
②点E在△ABC的外角∠FAC的平分线上.
（1）请在上述两个结论中选择其中一个证明；
【结论应用】
（2）如图②，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的平分线交于点E，连结AE，若∠BEC=44°，则∠CAE的度数为______；
【拓展应用】
（3）如图③，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，△ABC的外角∠BCD的平分线与内角∠BAC的平分线交于点E.AE交BC于点F，连结BE，若，BC=6，则线段CF的长为______.
23.(本小题10分)
如图，在正方形ABCD中，AB=3，动点P在对角线AC上运动（点P不与点A重合），连结DP、CF，以DP为边作正方形DPEF，且点F与点A在DP的两侧.
（1）当正方形DPEF的面积最小时，DF长为______，此时∠DCF的度数为______.
（2）当点P在AC上运动时，∠DCF的度数是否发生改变？请说明理由.
（3）当△DCF中有一个角的正切值为3时，求线段DP的长.
（4）当点E到CD的距离是点F到CD的距离一半时，直接写出线段AP的长.
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=（x-1）2+a与y轴交于点A（0，-2）.点P在抛物线上，且点P的横坐标为m（m≠0）.将点P沿y轴负方向向下平移1个单位得到点Q，过点P作PB⊥y轴于点B，以PB、PQ为邻边作矩形PQCB.
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）当点A在BC边上时，求m的取值范围；
（3）当m＜2时，记矩形PQCB的边与抛物线的一个交点为点M（点M不与点P重合）.
①若点M为所在矩形边的中点时，直接写出m的值；
②当以矩形PQCB的两个顶点和点M为顶点构成的三角形是等腰直角三角形时，直接写出m的值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】3
10.【答案】0
11.【答案】-2
12.【答案】4π
13.【答案】12.8
14.【答案】①②③
15.【答案】，5．
16.【答案】．
17.【答案】4米/秒．
18.【答案】∵，，BO=1，
∴AO2+BO2=3=AB2，
∴∠AOB=90°，
∴AO⊥OB，
∵把△AOB绕点O旋转180°后得到△COD，
∴AO=CO，OB=OD，∠AOC=∠BOD=180°，即A、O、C共线，B、O、D共线，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
19.【答案】既是轴对称又是中心对称的四边形ABCD，如图①即为所求； 是轴对称四边形，但不是中心对称四边形EFGH，如图②即为所求； 是中心对称四边形，但不是轴对称四边形PQRS，如图③即为所求．

20.【答案】82 82.3 估计七、八年级共有520名学生成绩为优秀
21.【答案】350;150 a=40
22.【答案】①如图①-1，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的平分线交于点E，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2∠4-2∠2，∠BEC=∠4-∠2，
∴；②如图①-2，过点E分别作EP⊥BA，EQ⊥AC，ER⊥BC，垂足为点P，Q，R
∵△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的平分线交于点E，
∴EP=ER，EQ=ER，
∴EP=EQ，
∵EP⊥BA，EQ⊥AC，
∴点E在△ABC的外角∠FAC的平分线上 46°
23.【答案】;45° ∠ DCF的度数不发生改变；理由如下：
如图2，四边形ABCD，DPEF是正方形，
∴DA=DC，DP=DF，∠ADC=∠PDF=90°=∠DAB，，
∴∠ADP=∠CDF=90°-∠PDC，
在△ADP和△CDF中，
，
∴△ADP≌△CDF（SAS），
∴∠DCF=∠DAP=45° 或 或
24.【答案】y=（x-1）2-3（或化简为y=x2-2x-2） 或 ①或或；②或或
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