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华师版 九年级 数学（上）
第20章　二次根式
20．1　认识二次根式
情景导入
根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：
1．直角三角形的斜边长是___________；
2．正方形的边长是___________；
3．等边三角形的边长是_________．
cm
cm
cm
知识模块一　二次根式的定义
自学互研
回忆
当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.
当a是0时，等于0，它表示0的平方根，也叫做0的算术平方根.
当a是负数时，没有意义.
概括
(a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说，(a≥0)是一个非负数，它的平方等于a，即有:
(1) ≥0 (a≥0);
(2)()2=a (a≥0).
形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
自
探
主
究
1．形如(a≥0)的式子叫做____________．
一定有：
(1) ____0(a≥0)，即(a≥0)是一个_______．
(2)()2＝____(a≥0)，化掉根号的方法．
二次根式
≥
非负数
a
2．从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：
必须有二次根号；
被开方数大于等于0.
合
探
作
究
范例：下面是二次根式的是 ( )
A． B． C． D．
仿例：下列式子是二次根式的有：____．(填序号)
①②；③；④ .
C
③
变例：若是二次根式，则a的值不能是( )
A． B．3.14 C．－2 D．0
C
知识模块二　二次根式有意义的条件
自学互研
注意：在中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数.
例 x是怎样的实数时，式子有意义
解 二次根式的被开方数必须是非负数.
这里被开方数x-1≥0，
所以，当x≥1时，式子有意义.
即 x ≥1.
合
探
作
究
范例：当x取何值时，下列各二次根式有意义？
(1) ；　(2) ；　 (3) .
解：(1) 有意义，则3x－4≥0，解得x ≥ .
(2) 有意义，则2＋ x ≥0，解得x≥－3.
(3) 有意义，则＞0，故2－x＜0，
解得x＞2.
变例：已知x为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是 ( )
A． B． C． D．
D
知识模块三　二次根式的性质
自学互研
等于什么
思考
这里a的取值
有没有限制
我们不妨取a的一些值，如2、-2、3、-3等，分别计算对应的的值，看看有什么规律:
＝
＝
＝
＝
……
你有什么发现？
思考
当a≥0时，=a;
当a<0时，=-a.
这就是说，对于任意实数a，= |a|.
这是二次根式的又一重要性质.如果二次根式的被开方数是一个完全平方数，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的.
自
探
主
究
= |a| =
___(a≥0);
___(a＜0).
a
-a
合
探
作
究
范例1：填空：
＝_____；＝_____；＝____；
＝________；＝______；
＝____．
2
0.01
0
2
0.75
范例2：若是一个正整数，求正整数m的最小值．
解：∵＝是一个正整数，
∴当m的最小正整数为5时，
即＝＝10.
∴m的最小正整数为5.
仿例：若－3≤x≤2时，试化简|x－2|＋＋.
解：∵－3≤x≤2，
∴x－2≤0，x＋3≥0，x－5＜0.
∴原式＝|x－2|＋＋
＝|x－2|＋|x＋3|＋|x－5|
＝－(x－2)＋(x＋3)－(x－5)
＝－x＋2＋x＋3－x＋5
＝－x＋10.
课堂小结
二次根式
概念
性质
形如（a ≥ 0）的式子叫做二次根式.
(1) ≥0 (a≥0);
(2)()2=a (a≥0).
= |a| =
a(a≥0);
-a (a＜0).
随堂练习
1.计算:
(1)();
(2) ()2;
(3) ;
(4) .
解：(1)8;
(2) 9;
(3) 9;
(4) 10;
2. x是怎样的实数时，下列各式有意义
(1);
(2) ;
(3) ;
(4)
解：(1) x≥ 3;
(2) x≥ ;
(3) x>0;
(4) x<1;
3.()2与是一样的吗 说说你的理由，并与同学交流.
·()2=a(a≥0)，结果就是它本身。
·=|a|(a为任意实数)，结果是a的绝对值:
当a≥0时，=a
当a<0时，=-a
华师版 九年级 数学（上）
第20章　二次根式
习题20.1
A
组
1. x是怎样的实数时，下列各式有意义
(1);
(2);
(3);
(4).
解：(1) x≥ 1;
(2) x≥ ;
(3) x> ;
(4) x < ;
2.计算:
(1)();
(2)() ;
(3) ;
(4).
解：(1) 7;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
3.若式子 有意义，求实数x的取值范围.
解：(1) 分母 0;
(2)分子 ≠0;
所以实数的取值范围是>1.
;
;
;
4.已知2解：＝||;
因为2< x，所以＞0，
所以||＝
因为x<3，所以<0，
所以||＝-
所以+ |x-3|＝
B
组
5.已知=1-x，求实数x的取值范围.
解： =1-x
=1-x
=1-x
绝对值的性质:当a≤0时，=-a。
=1-x=-
解得：
实数的取值范围是≤1.
6.比较+与x+1的大小.
+

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