资源简介

6.1 平面向量的概念
知识点一　向量的概念及几何表示
1. 向量的概念
(1)向量：既有 又有 的量叫做向量.
(2)数量：只有 没有 的量称为数量.
2. 向量的表示
(1)有向线段.
具有 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 、 、 .
以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作 .
(2)向量的表示.
①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，向量的大小称为向量的 (或称 )，记作 .
②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，…书写用，，…).
例1　一辆消防车从A地去B地执行任务.先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，又从C地向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位移.
[反思感悟]　作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
知识点二　零向量与单位向量
向量名称 定义
零向量 长度为 的向量，记作
单位向量 长度等于 长度的向量
点拨：1. 不能说零向量没有方向，它的方向是任意的.
2. 单位向量有无数多个，它们的大小相等，但方向不一定相同.
例2　(1)(多选)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 零向量是没有方向的
B. 两个有共同起点且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 零向量的长度都为0
D. 两个单位向量的长度相等
(2)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 向量的模都是正实数
B. 单位向量只有一个
C. 向量的大小与方向无关
D. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
[反思感悟]　解决向量概念问题一定要紧扣定义，涉及单位向量与零向量时要特别注意方向问题.
知识点三　相等向量与共线向量
平行向量 (或共线向量) 方向 的非零向量； 向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量
相等向量 长度 且方向 的向量； 向量a与b相等，记作a＝b
点拨：考查两向量平行或共线时，首先要考虑零向量的可能性.
例3　如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形.在如图所示的向量中：
(1)分别写出与，相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
[反思感悟]　1. 寻找相等向量的方法：先找长度相等的向量，再确定哪些是同向的共线向量.
2. 寻找共线向量的方法.
先找与已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量，注意不要漏掉以已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量.
1. 下列说法中，错误的是(　 　)
A. 若a＝0，则｜a｜＝0
B. 零向量与任意向量平行
C. 零向量是没有方向的
D. 若两个相等的向量起点相同，则它们的终点也相同
2. 若＝，则四边形ABCD的形状为(　 　)
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 菱形 D. 等腰梯形
3. (多选)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 加速度是向量
B. 若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C. 一人从A点向东走500米到达B点，则向量表示这个人从A点到B点的位移
D. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
4. 如图所示，点O是正方形ABCD的中心，则下列结论中，正确的有 (填序号).
①＝；②∥；
③与共线；④＝.6.1 平面向量的概念
知识点一　向量的概念及几何表示
1. 向量的概念
(1)向量：既有　大小　又有　方向　的量叫做向量.
(2)数量：只有　大小　没有　方向　的量称为数量.
2. 向量的表示
(1)有向线段.
具有　方向　的线段叫做有向线段，它包含三个要素：　起点　、　方向　、　长度　.
以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作　｜｜　.
(2)向量的表示.
①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，向量的大小称为向量的　长度　(或称　模　)，记作　｜｜　.
②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，…书写用，，…).
例1　一辆消防车从A地去B地执行任务.先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，又从C地向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；
解：(1)画出向量如图所示：
(2)求B地相对于A地的位移.
解：(2)∵D地在A地北偏东30°方向上，B地在C地南偏西30°方向上，∴AD∥BC.又AD＝BC＝2，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC＝6.
∵C地在D地北偏东60°方向上，∴B地相对于A地的位移为北偏东60°，
相距6千米.
[反思感悟]　作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
知识点二　零向量与单位向量
向量名称 定义
零向量 长度为　0　的向量，记作　0　
单位向量 长度等于　1个单位　长度的向量
点拨：1. 不能说零向量没有方向，它的方向是任意的.
2. 单位向量有无数多个，它们的大小相等，但方向不一定相同.
例2　(1)(多选)下列说法中，正确的是(　CD　)
A. 零向量是没有方向的
B. 两个有共同起点且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 零向量的长度都为0
D. 两个单位向量的长度相等
【解析】 零向量的方向是任意的；两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0；单位向量的长度都是1个单位长度.
(2)下列说法中，正确的是(　C　)
A. 向量的模都是正实数
B. 单位向量只有一个
C. 向量的大小与方向无关
D. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
【解析】 零向量的模为0，A错误；单位向量的方向可以是任意的，B错误；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，D错误.
[反思感悟]　解决向量概念问题一定要紧扣定义，涉及单位向量与零向量时要特别注意方向问题.
知识点三　相等向量与共线向量
平行向量 (或共线向量) 方向　相同或相反　的非零向量； 向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量　平行　
相等向量 长度　相等　且方向　相同　的向量； 向量a与b相等，记作a＝b
点拨：考查两向量平行或共线时，首先要考虑零向量的可能性.
例3　如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形.在如图所示的向量中：
(1)分别写出与，相等的向量；
解：(1)＝，＝.
(2)写出与共线的向量；
解：(2)与共线的向量为，，.
(3)写出与的模相等的向量；
解：(3)与的模相等的向量为，，，，，，.
(4)向量与是否相等？
解：(4)不相等.
[反思感悟]　1. 寻找相等向量的方法：先找长度相等的向量，再确定哪些是同向的共线向量.
2. 寻找共线向量的方法.
先找与已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量，注意不要漏掉以已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量.
1. 下列说法中，错误的是(　C　)
A. 若a＝0，则｜a｜＝0
B. 零向量与任意向量平行
C. 零向量是没有方向的
D. 若两个相等的向量起点相同，则它们的终点也相同
2. 若＝，则四边形ABCD的形状为(　A　)
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 菱形 D. 等腰梯形
3. (多选)下列说法中，正确的是(　AB　)
A. 加速度是向量
B. 若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C. 一人从A点向东走500米到达B点，则向量表示这个人从A点到B点的位移
D. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
4. 如图所示，点O是正方形ABCD的中心，则下列结论中，正确的有　①②③　(填序号).
①＝；②∥；
③与共线；④＝.(共22张PPT)
一、平面向量的概念
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　向量的概念及几何表示
知识梳理
1. 向量的概念
(1)向量：既有 又有 的量叫做向量.
(2)数量：只有 没有 的量称为数量.
大小　
方向　
大小　
方向　
2. 向量的表示
(1)有向线段.
具有 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 、
、 .
以A为起点、B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度叫做有向线
段 的长度，记作 .
方向　
起点　
方
向　
长度　
｜ ｜　
(2)向量的表示.
①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大
小，有向线段的方向表示向量的方向，向量 的大小称为向量
的 (或称 )，记作 .
②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，
c，…书写用 ， ， …).
长度　
模　
｜ ｜　
例1　一辆消防车从A地去B地执行任务.先从A地向北偏东30°方向行
驶2千米到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，
又从C地向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)在如图所示的坐标系中画出 ， ， ， ；
解：(1)画出向量如图所示：
(2)求B地相对于A地的位移.
解：(2)∵D地在A地北偏东30°方向上，B地在C地南偏西30°方向
上，∴AD∥BC. 又AD＝BC＝2，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC＝6.∵C地在D地北偏东60°方向上，∴B地相对于A地的
位移为北偏东60°，相距6千米.
[反思感悟]　作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起
点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
知识点二
知识点二　零向量与单位向量
知识梳理
向量名称 定义
零向量 长度为 的向量，记作
单位向量 长度等于 长度的向量
点拨：1. 不能说零向量没有方向，它的方向是任意的.
2. 单位向量有无数多个，它们的大小相等，但方向不一定相同.
0　
0　
1个单位　
例2　(1)(多选)下列说法中，正确的是(　CD　)
A. 零向量是没有方向的
B. 两个有共同起点且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 零向量的长度都为0
D. 两个单位向量的长度相等
【解析】 零向量的方向是任意的；两个有共同起点，且长度相等的向
量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0；
单位向量的长度都是1个单位长度.
CD
(2)下列说法中，正确的是(　C　)
A. 向量的模都是正实数
B. 单位向量只有一个
C. 向量的大小与方向无关
D. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
【解析】 零向量的模为0，A错误；单位向量的方向可以是任意的，B
错误；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无
关，C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，D错误.
C
[反思感悟]　解决向量概念问题一定要紧扣定义，涉及单位向量与零向
量时要特别注意方向问题.
知识点三
知识点三　相等向量与共线向量
知识梳理
平行向量 (或共线向量) 方向 的非零向量；
向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向
量
相等向量 长度 且方向 的向量；
向量a与b相等，记作a＝b
相同或相反　
平行　
相等　
相同　
点拨：考查两向量平行或共线时，首先要考虑零向量的可能性.
例3　如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，
OCFB都是正方形.在如图所示的向量中：
(1)分别写出与 ， 相等的向量；
解：(1) ＝ ， ＝ .
(2)写出与 共线的向量；
解：(2)与 共线的向量为 ， ， .
(3)写出与 的模相等的向量；
解：(3)与 的模相等的向量为 ， ， ， ， ， ， .
(4)向量 与 是否相等？
解：(4)不相等.
[反思感悟]　1. 寻找相等向量的方法：先找长度相等的向量，再确定哪
些是同向的共线向量.
2. 寻找共线向量的方法.
先找与已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向
量，注意不要漏掉以已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的
向量.
随堂巩固
随堂巩固
1. 下列说法中，错误的是(　C　)
A. 若a＝0，则｜a｜＝0
B. 零向量与任意向量平行
C. 零向量是没有方向的
D. 若两个相等的向量起点相同，则它们的终点也相同
C
2. 若 ＝ ，则四边形ABCD的形状为(　A　)
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 菱形 D. 等腰梯形
A
3. (多选)下列说法中，正确的是(　AB　)
A. 加速度是向量
B. 若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点
A，B，使得 ， 是单位向量
C. 一人从A点向东走500米到达B点，则向量 表示这个人从A点到
B点的位移
D. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
AB
4. 如图所示，点O是正方形ABCD的中心，则下列结论中，正确的
有 (填序号).
① ＝ ；② ∥ ；
③ 与 共线；④ ＝ .
①②③　

展开更多......

收起↑