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二、平面向量的运算
导学1　向量的加法运算
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　向量加法的定义及三角形法则
知识梳理
1. 向量加法的定义
(1)定义：求 的运算，叫做向量的加法.
(2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝ ＝ .
两个向量和　
0＋a　
a　
2. 向量加法的三角形法则
前提 已知非零向量a，b
作法 在平面内任取一点A，作 ＝a， ＝b，再作向量
结论 向量 叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝

图形
＋
＝ 　
例1　如图所示，
①a＋b＝ ；②c＋d＝ ；③a＋b＋d＝ ；④c＋d＋
e＝ .
c　
f　
f　
g　
[反思感悟]　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，其和为由
第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即 ＋
＋…＋＝ .
知识点二
知识点二　向量加法的平行四边形法则
知识梳理
前提 已知不共线的两个向量a，b
作法 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量
a，b为邻边作 OACB
结论 对角线 就是a与b的和
图形
点拨：运用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”，向量加法的三
角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.
例2　(1)如图1所示，求作向量a＋b；
图1
解：(1)首先作向量 ＝a，然后作向量 ＝b，
则向量 ＝a＋b.如图所示.
(2)如图2所示，求作向量a＋b＋c.
图2
解：(2)方法一(三角形法则)　如图①所示，首先在平面内任取一点O，作向量 ＝a，再作向量 ＝b，则得向量 ＝a＋b，然后作向量 ＝c，则向量 ＝a＋b＋c即为所求.
方法二(平行四边形法则)　如图②所示，首先在平面内任取一点O，作向量 ＝a， ＝b， ＝c，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则 ＝ ＋ ＝a＋b.再以OD，
OC为邻边作 ODEC，连接OE，
则 ＝ ＋ ＝a＋b＋c即为所求.
图①
图②
[反思感悟]　向量加法的三角形法则和平行四边形法则的适用条件：
法则 三角形法则 平行四边形法则
两向量的位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共
线的情况
两向量起点、终点
的特点 一个向量的终点为另一个
向量的起点 两向量的起点相同
知识点三
知识点三　向量加法的运算律及应用
知识梳理
1. ｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系
一般地，我们有｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当a，b中有一个
是零向量或a，b是 的非零向量时，等号成立.
方向相同　
2. 向量加法的运算律
交换律：a＋b＝ .
结合律：(a＋b)＋c＝ .
b＋a　
a＋(b＋c)　
例3　设A，B，C，D是同一平面上的任意四点，试化简：
(1) ＋ ＋ ；
解： ＋ ＋ ＝(＋ )＋ ＝ ＋ ＝ .
(2) ＋ ＋ ＋ ；
解： ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ .
(3) ＋ ＋ ＋ ＋ .
解： ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0.
[反思感悟]　向量运算中化简的两种方法：
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将运算中的向量转化为
“首尾相接”的向量，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向
量终点的向量.
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简.
知识点四
知识点四　向量加法的实际应用
例4　船在静水中的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船
从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
解：作出图形，如图所示.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船
＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，｜ ｜＝｜ ｜＝v水＝10 m/min，
｜ ｜＝｜v船｜＝20 m/min，∴ cos α＝＝ ＝ ，
∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角.
故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向.
[反思感悟]　利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤：
随堂巩固
随堂巩固
1. (多选)下列各式中，一定成立的是(　ABC　)
A. a＋b＝b＋a B. 0＋a＝a
C. ＋ ＝ D. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
ABC
2. O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则 ＋ ＋ 等于
(　A　)
A. B. C. D. 0
A
3. 如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交
于点O，则 ＋ ＋ ＋ 等于(　C　)
A. B. C. D.
C
4. 若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km ”，
则向量a＋b表示(　B　)
A. 向东北方向航行2 km
B. 向北偏东30°方向航行2 km
C. 向北偏东60°方向航行2 km
D. 向东北方向航行(1＋ )km
B6.2 导学1　向量的加法运算
知识点一　向量加法的定义及三角形法则
1. 向量加法的定义
(1)定义：求 的运算，叫做向量的加法.
(2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝ ＝ .
2. 向量加法的三角形法则
前提 已知非零向量a，b
作法 在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量
结论 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝
图形
例1　如图所示，
①a＋b＝ ；②c＋d＝ ；③a＋b＋d＝ ；④c＋d＋e＝ .
[反思感悟]　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，其和为由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A＋A1＋…＋An－1＝A.
知识点二　向量加法的平行四边形法则
前提 已知不共线的两个向量a，b
作法 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB
结论 对角线就是a与b的和
图形
点拨：运用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”，向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.
例2　(1)如图1所示，求作向量a＋b；
图1
(2)如图2所示，求作向量a＋b＋c.
图2
[反思感悟]　向量加法的三角形法则和平行四边形法则的适用条件：
法则 三角形法则 平行四边形法则
两向量的位置 关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况
两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量的起点相同
知识点三　向量加法的运算律及应用
1. ｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系
一般地，我们有｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是 的非零向量时，等号成立.
2. 向量加法的运算律
交换律：a＋b＝ .
结合律：(a＋b)＋c＝ .
例3　设A，B，C，D是同一平面上的任意四点，试化简：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋；
(3)＋＋＋＋.
[反思感悟]　向量运算中化简的两种方法：
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将运算中的向量转化为“首尾相接”的向量，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量.
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简.
知识点四　向量加法的实际应用
例4　船在静水中的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
[反思感悟]　利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤：
1. (多选)下列各式中，一定成立的是(　 　)
A. a＋b＝b＋a B. 0＋a＝a
C. ＋＝ D. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
2. O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于(　 　)
A. B. C. D. 0
3. 如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于(　 　)
A. B. C. D.
4. 若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km ”，则向量a＋b表示(　 　)
A. 向东北方向航行2 km
B. 向北偏东30°方向航行2 km
C. 向北偏东60°方向航行2 km
D. 向东北方向航行(1＋)km6.2 导学1　向量的加法运算
知识点一　向量加法的定义及三角形法则
1. 向量加法的定义
(1)定义：求　两个向量和　的运算，叫做向量的加法.
(2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝　0＋a　＝　a　.
2. 向量加法的三角形法则
前提 已知非零向量a，b
作法 在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量
结论 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝　＋＝　
图形
例1　如图所示，
①a＋b＝　c　；②c＋d＝　f　；③a＋b＋d＝　f　；④c＋d＋e＝　g　.
[反思感悟]　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，其和为由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A＋A1＋…＋An－1＝A.
知识点二　向量加法的平行四边形法则
前提 已知不共线的两个向量a，b
作法 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB
结论 对角线就是a与b的和
图形
点拨：运用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”，向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.
例2　(1)如图1所示，求作向量a＋b；
图1
解：(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示.
(2)如图2所示，求作向量a＋b＋c.
图2
解：(2)方法一(三角形法则)　如图①所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝a＋b＋c即为所求.
图①　 图②
方法二(平行四边形法则)　如图②所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c即为所求.
[反思感悟]　向量加法的三角形法则和平行四边形法则的适用条件：
法则 三角形法则 平行四边形法则
两向量的位置 关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况
两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量的起点相同
知识点三　向量加法的运算律及应用
1. ｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系
一般地，我们有｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是　方向相同　的非零向量时，等号成立.
2. 向量加法的运算律
交换律：a＋b＝　b＋a　.
结合律：(a＋b)＋c＝　a＋(b＋c)　.
例3　设A，B，C，D是同一平面上的任意四点，试化简：
(1)＋＋；
解：＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(2)＋＋＋；
解：＋＋＋＝＋＋＋＝.
(3)＋＋＋＋.
解：＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝0.
[反思感悟]　向量运算中化简的两种方法：
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将运算中的向量转化为“首尾相接”的向量，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量.
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简.
知识点四　向量加法的实际应用
例4　船在静水中的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
解：作出图形，如图所示.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，｜｜＝｜｜＝v水＝10 m/min，
｜｜＝｜v船｜＝20 m/min，∴cosα＝＝＝，
∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角.
故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向.
[反思感悟]　利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤：
1. (多选)下列各式中，一定成立的是(　ABC　)
A. a＋b＝b＋a B. 0＋a＝a
C. ＋＝ D. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
2. O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于(　A　)
A. B. C. D. 0
3. 如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于(　C　)
A. B. C. D.
4. 若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km ”，则向量a＋b表示(　B　)
A. 向东北方向航行2 km
B. 向北偏东30°方向航行2 km
C. 向北偏东60°方向航行2 km
D. 向东北方向航行(1＋)km

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