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6.2 导学2　向量的减法运算
知识点一　相反向量
定义 与向量a长度　相等　，方向　相反　的向量，叫做a的相反向量，记作－a
性质 －(－a)＝a
零向量的相反向量仍是　零向量　
a＋(－a)＝(－a)＋a＝　0　
如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝　0　
例1　(多选)若非零向量m与n是相反向量，则下列选项中，正确的是(　BCD　)
A. m＝n B. m＝－n
C. ｜m｜＝｜n｜ D. m与n方向相反
【解析】 相反向量的大小相等，方向相反，A错误，其余选项正确.
[反思感悟]　1. 相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量.
2. 避免陷入一个误区，即误将相反向量等同于方向相反的向量.实际上相反向量是方向相反且模相等的向量.
知识点二　向量的减法运算及其几何意义
定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的　相反向量　
作法 如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝　　.
几何 意义 若把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的　终点　指向向量a的　终点　的向量
点拨：向量减法的三角形法则可简记为“共起点，连终点，指被减”.
例2　如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解：方法一　如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
方法二　如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
图①　 图②
[反思感悟]　求作两个向量的差向量的两种思路：
(1)可以转化为向量的加法来解题，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可.
(2)可以直接运用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
知识点三　向量加减法的基本运算
例3　化简：(1)(－)－(－)；
解：方法一　原式＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
方法二　原式＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0.
(2)(＋＋)－(－－).
解：(＋＋)－(－－)＝(＋)－(－)＝－＝0.
[反思感悟]　1. 向量减法运算的常用方法：
2. 向量加减法化简的两种形式：
①首尾相连且为和；②起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.
知识点四　向量加减法的综合应用
例4　已知非零向量a，b满足｜a｜＝＋1，｜b｜＝－1，且｜a－b｜＝4，求｜a＋b｜的值.
解：如图所示，设＝a，＝b，则＝a－b.
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b.
由于(＋1)2＋(－1)2＝42，故｜｜2＋｜｜2＝｜｜2.　
∴△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形，从而OA⊥OB，∴四边形OACB为矩形.根据矩形的对角线相等有｜｜＝｜｜＝4，即｜a＋b｜＝4.
[反思感悟]　1. 从｜a｜，｜b｜及｜a－b｜出发，找出三者之间的数量关系，从而进一步判断向量三角形的形状，再求｜a＋b｜的值.
2. 解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则.
1. 在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　D　)
A. a B. a＋b C. b－a D. a－b
2. 化简－＋＋等于(　B　)
A. B. C. D.
3. 已知在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是(　A　)
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
4. 若菱形ABCD的边长为2，则｜－＋｜等于　2　.6.2 导学2　向量的减法运算
知识点一　相反向量
定义 与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的相反向量，记作－a
性质 －(－a)＝a
零向量的相反向量仍是
a＋(－a)＝(－a)＋a＝
如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝
例1　(多选)若非零向量m与n是相反向量，则下列选项中，正确的是(　 　)
A. m＝n B. m＝－n
C. ｜m｜＝｜n｜ D. m与n方向相反
[反思感悟]　1. 相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量.
2. 避免陷入一个误区，即误将相反向量等同于方向相反的向量.实际上相反向量是方向相反且模相等的向量.
知识点二　向量的减法运算及其几何意义
定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的
作法 如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝ .
几何 意义 若把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的 指向向量a的 的向量
点拨：向量减法的三角形法则可简记为“共起点，连终点，指被减”.
例2　如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[反思感悟]　求作两个向量的差向量的两种思路：
(1)可以转化为向量的加法来解题，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可.
(2)可以直接运用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
知识点三　向量加减法的基本运算
例3　化简：(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－).
[反思感悟]　1. 向量减法运算的常用方法：
2. 向量加减法化简的两种形式：
①首尾相连且为和；②起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.
知识点四　向量加减法的综合应用
例4　已知非零向量a，b满足｜a｜＝＋1，｜b｜＝－1，且｜a－b｜＝4，求｜a＋b｜的值.
[反思感悟]　1. 从｜a｜，｜b｜及｜a－b｜出发，找出三者之间的数量关系，从而进一步判断向量三角形的形状，再求｜a＋b｜的值.
2. 解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则.
1. 在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　 　)
A. a B. a＋b C. b－a D. a－b
2. 化简－＋＋等于(　 　)
A. B. C. D.
3. 已知在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是(　 　)
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
4. 若菱形ABCD的边长为2，则｜－＋｜等于 .(共21张PPT)
二、平面向量的运算
导学2　向量的减法运算
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　相反向量
知识梳理
定
义 与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的相反向
量，记作－a
性
质 －(－a)＝a
零向量的相反向量仍是
a＋(－a)＝(－a)＋a＝
如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b
＝
相等　
相反　
零向量　
0　
0　
例1　(多选)若非零向量m与n是相反向量，则下列选项中，正确的是
(　BCD　)
A. m＝n B. m＝－n
C. ｜m｜＝｜n｜ D. m与n方向相反
【解析】 相反向量的大小相等，方向相反，A错误，其余选项正确.
BCD
[反思感悟]　1. 相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方
面进行定义，相反向量必为平行向量.
2. 避免陷入一个误区，即误将相反向量等同于方向相反的向量.实际上
相反向量是方向相反且模相等的向量.
知识点二
知识点二　向量的减法运算及其几何意义
知识梳理
定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量
的
作法 如图所示，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，则向
量a－b＝ .
几何 意义 若把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从
向量b的 指向向量a的 的向量
相反向量　
　
终点　
终点　
点拨：向量减法的三角形法则可简记为“共起点，连终点，指被减”.
例2　如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解：方法一　如图①所示，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝
b，则 ＝a＋b，再作 ＝c，则 ＝a＋b－c.
方法二　如图②所示，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，则
＝a＋b，再作 ＝c，连接OC，则 ＝a＋b－c.
图①
图②
[反思感悟]　求作两个向量的差向量的两种思路：
(1)可以转化为向量的加法来解题，如a－b，可以先作－b，然后作
a＋(－b)即可.
(2)可以直接运用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差
向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
知识点三
知识点三　向量加减法的基本运算
例3　化简：(1)(－ )－(－ )；
解：方法一　原式＝ － － ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝
(＋ )＋(＋ )＝ ＋ ＝0.
方法二　原式＝ － － ＋ ＝(－ )－ ＋ ＝
－ ＋ ＝ ＋ ＝0.
(2)(＋ ＋ )－(－ － ).
解：(＋ ＋ )－(－ － )＝(＋ )－(－ )＝
－ ＝0.
[反思感悟]　1. 向量减法运算的常用方法：
2. 向量加减法化简的两种形式：
①首尾相连且为和；②起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.
知识点四
知识点四　向量加减法的综合应用
例4　已知非零向量a，b满足｜a｜＝ ＋1，｜b｜＝ －1，且
｜a－b｜＝4，求｜a＋b｜的值.
解：如图所示，设 ＝a， ＝b，则 ＝a－b.
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则 ＝a＋b.
由于(＋1)2＋(－1)2＝42，故｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2.　
∴△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形，从而OA⊥OB，∴四边形
OACB为矩形.
根据矩形的对角线相等有｜ ｜＝｜ ｜＝4，即｜a＋b｜＝4.
[反思感悟]　1. 从｜a｜，｜b｜及｜a－b｜出发，找出三者之间的数
量关系，从而进一步判断向量三角形的形状，再求｜a＋b｜的值.
2. 解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则
和三角形法则.
随堂巩固
随堂巩固
1. 在△ABC中，若 ＝a， ＝b，则 等于(　D　)
A. a B. a＋b C. b－a D. a－b
D
2. 化简 － ＋ ＋ 等于(　B　)
A. B. C. D.
B
3. 已知在四边形ABCD中， － ＝ － ，则四边形ABCD一
定是(　A　)
A. 平行四边形 B. 菱形
C. 矩形 D. 正方形
A
4. 若菱形ABCD的边长为2，则｜ － ＋ ｜等于 .
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