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6.2 导学3　向量的数乘运算
知识点一　向量的数乘运算
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作 ，其长度与方向规定如下：
(1)｜λa｜＝ .
(2)λa(a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝ .当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
例1　(1)(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反
B. 当λ＝0时，λa与a是共线向量
C. ｜λa｜＝λ｜a｜
D. 当λμ＞0时，λa的方向与μa的方向相同
(2)已知点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3.
①用 表示；②用 表示.
[反思感悟]　λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模.
知识点二　向量的线性运算
1. 数乘运算的运算律
设λ，μ为实数，那么：
(1)λ(μa)＝ .
(2)(λ＋μ)a＝ .
(3)λ(a＋b)＝ .
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2. 向量的线性运算
向量的 运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ .
例2　(1)2(3a－2b)－6＝ ；
(2)已知3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，求x.
[反思感悟]　向量线性运算的基本方法：向量的线性运算在形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用.
知识点三　用已知向量表示其他向量
例3　(1)如图所示，在 ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于(　 　)
A. a－b B. a＋b C. a＋b D. a－b
(2)如图所示，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b表示和.
[反思感悟]　用已知向量表示其他向量的两种方法：
(1)直接法：
(2)方程法：
当直接表示比较困难时，首先可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
知识点四　向量共线定理
1. 向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
2. 向量共线定理的推论
在平面内，A，B，C三点共线的充要条件是：＝＋(O为平面内直线AB外的任意一点)，其中x＋y＝1.
点拨：1. 向量共线定理中规定a≠0.
2. λ的值是唯一存在的.
例4　设a，b是不共线的两个向量.
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，证明：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.
[反思感悟]　1. 证明或判断三点共线的方法.
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可.
2. 利用向量共线求参数的方法.
已知向量共线求λ的值，常将向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等来求解.
1. 下列各式中，计算正确的个数是(　 　)
①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 如图所示，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于(　 　)
A. (a－b) B. －(a－b) C. (a＋b) D. －(a＋b)
3. 已知a与b共线，且方向相同.若｜a｜＝8｜b｜，则a＝ b.
4. 设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2h.若A，B，D三点共线，则k＝ .6.2 导学3　向量的数乘运算
知识点一　向量的数乘运算
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个　向量　，这种运算叫做向量的　数乘　，记作　λa　，其长度与方向规定如下：
(1)｜λa｜＝　｜λ｜｜a｜　.
(2)λa(a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝　0　.当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
例1　(1)(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则下列说法中，正确的是(　ABD　)
A. 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反
B. 当λ＝0时，λa与a是共线向量
C. ｜λa｜＝λ｜a｜
D. 当λμ＞0时，λa的方向与μa的方向相同
【解析】 对于A，根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ＝0时，λa＝0，0与a是共线向量，B正确；对于C，｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，C错误；对于D，由λμ＞0可得λ，μ同为正或同为负，∴λa和μa与a同向，或者都是与a反向，∴λa与μa是同向的，D正确.
(2)已知点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3.
①用 表示；②用 表示.
解：如图所示，∵点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3，∴AB＝2BC，AC＝3BC.
①如图所示，向量与的方向相同，∴＝2.
②如图所示，向量与的方向相反，∴＝－3.
[反思感悟]　λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模.
知识点二　向量的线性运算
1. 数乘运算的运算律
设λ，μ为实数，那么：
(1)λ(μa)＝　(λμ)a　.
(2)(λ＋μ)a＝　λa＋μa　.
(3)λ(a＋b)＝　λa＋λb　.
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2. 向量的线性运算
向量的　加、减、数乘　运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝　λμ1a±λμ2b　.
例2　(1)2(3a－2b)－6＝　4a－b　；
【解析】 原式＝6a－4b－2a＋3b＝4a－b.
(2)已知3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，求x.
解：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，∴x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a.
[反思感悟]　向量线性运算的基本方法：向量的线性运算在形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用.
知识点三　用已知向量表示其他向量
例3　(1)如图所示，在 ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于(　D　)
A. a－b B. a＋b C. a＋b D. a－b
【解析】 ∵E是BC的中点，∴＝＝－＝－b，∴＝＋＝
＋＝a－b.　
(2)如图所示，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b表示和.
解：方法一　连接CN，则AN∥DC，且AN＝DC，∴四边形ANCD是平行四边形.
＝－＝－b，又＋＋＝0，∴＝－－＝b－a，∴＝－＝＋＝－b＋a＝a－b.
方法二　∵＋＋＋＝0，则a＋＋＋(－b)＝0，∴＝b－a，又在四边形ADMN中，有＋＋＋＝0，即b＋a＋＋＝0，∴＝a－b.
[反思感悟]　用已知向量表示其他向量的两种方法：
(1)直接法：
(2)方程法：
当直接表示比较困难时，首先可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
知识点四　向量共线定理
1. 向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使　b＝λa　.
2. 向量共线定理的推论
在平面内，A，B，C三点共线的充要条件是：＝＋(O为平面内直线AB外的任意一点)，其中x＋y＝1.
点拨：1. 向量共线定理中规定a≠0.
2. λ的值是唯一存在的.
例4　设a，b是不共线的两个向量.
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，证明：A，B，C三点共线；
(1)证明：∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，∴与共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线.
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.
(2)解：∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，∵a与b不共线，∴解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.
[反思感悟]　1. 证明或判断三点共线的方法.
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可.
2. 利用向量共线求参数的方法.
已知向量共线求λ的值，常将向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等来求解.
1. 下列各式中，计算正确的个数是(　D　)
①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 如图所示，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于(　C　)
A. (a－b) B. －(a－b) C. (a＋b) D. －(a＋b)
3. 已知a与b共线，且方向相同.若｜a｜＝8｜b｜，则a＝　8　b.
4. 设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2h.若A，B，D三点共线，则k＝　－　.(共25张PPT)
二、平面向量的运算
导学3　向量的数乘运算
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　向量的数乘运算
知识梳理
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做
向量的 ，记作 ，其长度与方向规定如下：
(1)｜λa｜＝ .
(2)λa(a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝ .当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
向量　
数乘　
λa　
｜λ｜｜a｜　
0　
例1　(1)(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则下列说法中，正确的是
(　ABD　)
A. 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反
B. 当λ＝0时，λa与a是共线向量
C. ｜λa｜＝λ｜a｜
D. 当λμ＞0时，λa的方向与μa的方向相同
ABD
【解析】 对于A，根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ＝0时，λa＝0，0与a是共线向量，B正确；对于C，｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，C错误；对于D，由λμ＞0可得λ，μ同为正或同为负，∴λa和μa与a同向，或者都是与a反向，∴λa与μa是同向的，D正确.
(2)已知点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3.
①用 表示 ；②用 表示 .
解：如图所示，∵点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3，
∴AB＝2BC，AC＝3BC.
①如图所示，向量 与 的方向相同，∴ ＝2 .
②如图所示，向量 与 的方向相反，∴ ＝－3 .
[反思感悟]　λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模.
知识点二
知识点二　向量的线性运算
知识梳理
1. 数乘运算的运算律
设λ，μ为实数，那么：
(1)λ(μa)＝ .
(2)(λ＋μ)a＝ .
(3)λ(a＋b)＝ .
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
(λμ)a　
λa＋μa　
λa＋λb　
2. 向量的线性运算
向量的 运算统称为向量的线性运算.对于任意向量
a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ .
加、减、数乘　
λμ1a±λμ2b　
例2　(1)2(3a－2b)－6 ＝ ；
【解析】 原式＝6a－4b－2a＋3b＝4a－b.
(2)已知3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，求x.
解：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，∴x＋3a－4b＝
0，∴x＝4b－3a.
4a－b　
[反思感悟]　向量线性运算的基本方法：向量的线性运算在形式上类似
于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中的去括号、移项、合
并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用.
知识点三
知识点三　用已知向量表示其他向量
例3　(1)如图所示，在 ABCD中，E是BC的中点，若 ＝a，
＝b，则 等于(　D　)
A. a－b B. a＋b
C. a＋ b D. a－ b
D
【解析】 ∵E是BC的中点，∴ ＝ ＝－ ＝－ b，∴ ＝
＋ ＝ ＋ ＝a－ b.　
(2)如图所示，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，
M，N分别是DC和AB的中点，已知 ＝a， ＝b，试用a，b表
示 和 .
解：方法一　连接CN，则AN∥DC，且AN＝DC，
∴四边形ANCD是平行四边形. ＝－ ＝－b，又
＋ ＋ ＝0，∴ ＝－ － ＝b－ a，
∴ ＝ － ＝ ＋ ＝－b＋ a＝ a－b.
方法二　∵ ＋ ＋ ＋ ＝0，则a＋ ＋ ＋(－b)＝0，∴ ＝b－ a，又在四边形ADMN中，有 ＋ ＋ ＋ ＝0，
即b＋ a＋ ＋ ＝0，∴ ＝ a－b.
[反思感悟]　用已知向量表示其他向量的两种方法：
(1)直接法：
(2)方程法：
当直接表示比较困难时，首先可以利用三角形法则和平行四边形法则建
立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
知识点四
知识点四　向量共线定理
知识梳理
1. 向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
b＝λa
2. 向量共线定理的推论
在平面内，A，B，C三点共线的充要条件是： ＝ ＋ (O为
平面内直线AB外的任意一点)，其中x＋y＝1.
点拨：1. 向量共线定理中规定a≠0.
2. λ的值是唯一存在的.
例4　设a，b是不共线的两个向量.
(1)若 ＝2a－b， ＝3a＋b， ＝a－3b，证明：A，B，C三
点共线；
(1)证明：∵ ＝ － ＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而 ＝ － ＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2 ，
∴ 与 共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线.
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.
(2)解：∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
∵a与b不共线，∴ 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.
[反思感悟]　1. 证明或判断三点共线的方法.
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，
使得 ＝λ (或 ＝λ 等)即可.
2. 利用向量共线求参数的方法.
已知向量共线求λ的值，常将向量共线的条件转化为相应向量系数对应
相等来求解.
随堂巩固
随堂巩固
1. 下列各式中，计算正确的个数是(　D　)
①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
D
2. 如图所示，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若 ＝a， ＝
b，则 等于(　C　)
A. (a－b) B. － (a－b)
C. (a＋b) D. － (a＋b)
C
3. 已知a与b共线，且方向相同.若｜a｜＝8｜b｜，则a＝ b.
8　
4. 设e1与e2是两个不共线向量， ＝3e1＋2e2， ＝ke1＋e2， ＝
3e1－2ke2.若A，B，D三点共线，则k＝ .
－ 　

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