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6.2 导学4　向量的数量积(一)
知识点一　两向量的夹角
1. 夹角：已知两个　非零向量　a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则　∠AOB＝θ　叫做向量a与b的夹角，夹角θ的取值范围是　0≤θ≤π　.
当θ＝0时，a与b　同向　；当θ＝π时，a与b　反向　.
2. 垂直：若a与b的夹角是　　，则称a与b垂直，记作　a⊥b　.
例1　已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角是60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
解：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°，以，为邻边作平行四边形OACB，
则＝a＋b，＝a－b.∵｜a｜＝｜b｜＝2，∴平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，∴与的夹角是30°，与的夹角为60°，即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
[反思感悟]　求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出夹角.
知识点二　两向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量　｜a｜｜b｜cosθ　叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作　a·b　，即　a·b＝｜a｜｜b｜cosθ　.
规定：零向量与任一向量的数量积为　0　.
点拨：1. 数量积运算中间的符号是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写.
2. 向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
3. 由a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量.
例2　已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；
解：(1)∵与的夹角为60°，∴·＝｜｜·｜｜·cos60°＝1×1×＝.
(2)·；
解：(2)∵与的夹角为120°，∴·＝｜｜｜｜·cos120°＝1×1×＝－.
(3)·.
解：(3)∵与的夹角为60°，∴·＝｜｜｜｜·cos60°＝1×1×＝.
[反思感悟]　向量数量积的求法：
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
知识点三　平面向量的投影向量
1. 如图所示，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1，我们称上述变换为向量a向向量b　投影　，A1叫做向量a在向量b上的　投影向量　.
2. 如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则O就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则O与e，a，θ之间的关系为O＝
　｜a｜cosθe　.
点拨：1. 向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.
2. 如果向量a与向量b平行或垂直，那么向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.
3. 由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果.
例3　已知｜a｜＝3，｜b｜＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求：
(1)向量a在向量b上的投影向量；
解：(1)∵｜b｜＝1，∴b为单位向量，∴向量a在向量b上的投影向量为
｜a｜cos120°·b＝3×b＝－b.
(2)向量b在向量a上的投影向量.
解：(2)∵｜a｜＝3，∴＝a，∴向量b在向量a上的投影向量为
｜b｜cos120°·＝1××a＝－a.
[反思感悟]　求投影向量的方法：
(1)向量a在向量b上的投影向量的计算公式为｜a｜cosθe，其中θ为向量a与向量b的夹角，向量e为与向量b同向的单位向量，即e＝.
(2)向量a在向量b上的投影向量为·；向量b在向量a上的投影向量为·.
知识点四　平面向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝　｜a｜cosθ　.
(2)a⊥b 　a·b＝0　.
(3)当a，b同向时，a·b＝　｜a｜｜b｜　；当a，b反向时，a·b＝　－｜a｜·
｜b｜　.
特别地，a·a＝　｜a｜2　或｜a｜＝　　.
(4)｜a·b｜　≤　｜a｜｜b｜.
(5)cosθ＝.
例4　(1)给出以下结论：①0·a＝0；②若a，b共线，则a·b＝｜a｜｜b｜；③a2＝｜a｜2；④已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则｜a·c｜＝｜b·c｜；⑤｜a·b｜≤a·b；⑥若非零向量a，b满足a·b＞0，则a与b的夹角为锐角.其中正确结论的个数为(　C　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】 由平面向量数量积的定义知，①正确；当a，b反向共线时，a·b＝
－｜a｜｜b｜，②错误；③显然正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，∴a·c＝－b·c，∴｜a·c｜＝｜b·c｜，④正确；｜a·b｜＝｜a｜｜b｜·
｜cosθ｜，a·b＝｜a｜｜b｜cosθ，∴｜a·b｜≥a·b，⑤错误；当a与b的夹角为0°时，也有a·b＞0，⑥错误.综上，①③④正确.
(2)已知a，b，c是三个非零向量，则下列说法中，正确的个数为(　C　)
①若a·b＝±｜a｜·｜b｜，则a∥b；
②若a，b反向共线，则a·b＝－｜a｜·｜b｜；
③若a⊥b，则｜a＋b｜＝｜a－b｜；
④若｜a｜＝｜b｜，则｜a·c｜＝｜b·c｜.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】 对于①，设a，b的夹角为θ，∵a·b＝｜a｜｜b｜·cosθ，∴由a·b＝
±｜a｜｜b｜及a，b为非零向量，可得cosθ＝±1，∴θ＝0或π，∴a∥b，①正确；对于②，若a，b反向共线，则a，b的夹角为π，∴a·b＝｜a｜｜b｜·cosπ＝－｜a｜｜b｜，②正确；对于③，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有｜a＋b｜＝｜a－b｜，③正确；对于④，当｜a｜＝｜b｜，但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时，｜a·c｜≠｜b·c｜，④错误.综上，①②③正确.
[反思感悟]　对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要深刻理解相关知识，特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等.
1. 已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　B　)
A. 3 B. －3 C. －3 D. 3
2. (多选)对于任意向量a，b，c，下列说法中，错误的是(　AB　)
A. 若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B. 向量a与向量b夹角的取值范围是[0，π)
C. 若a⊥b，则a·b＝0
D. ｜a｜＝
3. 设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为　　.
4. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角为，则向量b在向量a上的投影向量为　a　.(共29张PPT)
二、平面向量的运算
导学4　向量的数量积(一)
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　两向量的夹角
知识梳理
1. 夹角：已知两个 a，b，O是平面上的任意一点，作
＝a， ＝b，则 叫做向量a与b的夹角，夹角θ的
取值范围是 .
当θ＝0时，a与b ；
当θ＝π时，a与b .
非零向量　
∠AOB＝θ　
0≤θ≤π　
同向　
反向　
2. 垂直：若a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记作 .
　
a⊥b　
例1　已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角是60°，则a＋b与a的
夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
解：如图所示，作 ＝a， ＝b，且∠AOB＝60°，以 ，
为邻边作平行四边形OACB，
则 ＝a＋b， ＝a－b.∵｜a｜＝｜b｜＝2，
∴平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，
∴ 与 的夹角是30°， 与 的夹角为60°，即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
[反思感悟]　求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量的起
点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出夹角.
知识点二
知识点二　两向量的数量积
知识梳理
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量
叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作 ，即
.
规定：零向量与任一向量的数量积为 .
｜a｜｜b｜
cos θ　
a·b　
a·b＝
｜a｜｜b｜ cos θ　
0　
点拨：1. 数量积运算中间的符号是“·”，不能写成“×”，也不能省
略不写.
2. 向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
3. 由a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量.
例2　已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1) · ；
解：(1)∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜·｜ ｜·
cos 60°＝1×1× ＝ .
(2) · ；
解：(2)∵ 与 的夹角为120°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜·
cos 120°＝1×1× ＝－ .
(3) · .
解：(3)∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜·
cos 60°＝1×1× ＝ .
[反思感悟]　向量数量积的求法：
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，
其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多
项式的乘法运算.
知识点三
知识点三　平面向量的投影向量
知识梳理
1. 如图所示，设a，b是两个非零向量， ＝a， ＝b，我们考虑
如下的变换：过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，
垂足分别为A1，B1，得到A1 ，我们称上述变换为向量a向向量b
，A1 叫做向量a在向量b上的 .
投影　
投影向量　
2. 如图所示，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，过点M作
直线ON的垂线，垂足为M1，则O 就是向量a在向量b上的投影向
量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则O 与e，
a，θ之间的关系为O ＝ .
｜a｜ cos θe　
点拨：1. 向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.
2. 如果向量a与向量b平行或垂直，那么向量a在向量b上的投影向量
具有特殊性.
3. 由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果.
例3　已知｜a｜＝3，｜b｜＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求：
(1)向量a在向量b上的投影向量；
解：(1)∵｜b｜＝1，∴b为单位向量，∴向量a在向量b上的投影向量
为｜a｜ cos 120°·b＝3× b＝－ b.
(2)向量b在向量a上的投影向量.
解：(2)∵｜a｜＝3，∴ ＝ a，∴向量b在向量a上的投影向量
为｜b｜ cos 120°· ＝1× × a＝－ a.
[反思感悟]　求投影向量的方法：
(1)向量a在向量b上的投影向量的计算公式为｜a｜ cos θe，其中θ为向
量a与向量b的夹角，向量e为与向量b同向的单位向量，即e＝ .
(2)向量a在向量b上的投影向量为 · ；向量b在向量a上的投
影向量为 · .
知识点四
知识点四　平面向量数量积的性质
知识梳理
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向
量，则
(1)a·e＝e·a＝ .
(2)a⊥b .
｜a｜ cos θ　
a·b＝0　
(3)当a，b同向时，a·b＝ ；当a，b反向时，a·b
＝ .
特别地，a·a＝ 或｜a｜＝ .
(4)｜a·b｜ ｜a｜｜b｜.
(5) cos θ＝ .
｜a｜｜b｜　
－｜a｜｜b｜　
｜a｜2　
　
≤　
例4　(1)给出以下结论：①0·a＝0；②若a，b共线，则a·b＝｜a｜｜
b｜；③a2＝｜a｜2；④已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，
则｜a·c｜＝｜b·c｜；⑤｜a·b｜≤a·b；⑥若非零向量a，b满足
a·b＞0，则a与b的夹角为锐角.其中正确结论的个数为(　C　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
【解析】 由平面向量数量积的定义知，①正确；当a，b反向共线时，
a·b＝－｜a｜｜b｜，②错误；③显然正确；若a＋b＝0，则a＝
－b，又a，b，c是三个非零向量，∴a·c＝－b·c，∴｜a·c｜＝
｜b·c｜，④正确；｜a·b｜＝｜a｜｜b｜·｜ cos θ｜，a·b＝｜a｜
｜b｜ cos θ，∴｜a·b｜≥a·b，⑤错误；当a与b的夹角为0°时，
也有a·b＞0，⑥错误.综上，①③④正确.
(2)已知a，b，c是三个非零向量，则下列说法中，正确的个数为
(　C　)
①若a·b＝±｜a｜·｜b｜，则a∥b；
②若a，b反向共线，则a·b＝－｜a｜·｜b｜；
③若a⊥b，则｜a＋b｜＝｜a－b｜；
④若｜a｜＝｜b｜，则｜a·c｜＝｜b·c｜.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
【解析】 对于①，设a，b的夹角为θ，∵a·b＝｜a｜｜b｜· cos θ，
∴由a·b＝±｜a｜｜b｜及a，b为非零向量，可得 cos θ＝±1，
∴θ＝0或π，∴a∥b，①正确；对于②，若a，b反向共线，则a，b
的夹角为π，∴a·b＝｜a｜｜b｜· cos π＝－｜a｜｜b｜，②正确；
对于③，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，
b为邻边作平行四边形，该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有｜a＋b｜＝｜a－b｜，③正确；对于④，当｜a｜＝
｜b｜，但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时，｜a·c｜≠｜b·c｜，
④错误.综上，①②③正确.
[反思感悟]　对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要深
刻理解相关知识，特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去
律、乘法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积
的性质等.
随堂巩固
随堂巩固
1. 已知｜a｜＝ ，｜b｜＝2 ，a与b的夹角是120°，则a·b等
于(　B　)
A. 3 B. －3 C. －3 D. 3
B
2. (多选)对于任意向量a，b，c，下列说法中，错误的是(　AB　)
A. 若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B. 向量a与向量b夹角的取值范围是[0，π)
C. 若a⊥b，则a·b＝0
D. ｜a｜＝
AB
3. 设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为 .
　
4. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角为 ，则向量b在向量a上
的投影向量为 .
a　6.2 导学4　向量的数量积(一)
知识点一　两向量的夹角
1. 夹角：已知两个 a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则 叫做向量a与b的夹角，夹角θ的取值范围是 .
当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b .
2. 垂直：若a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记作 .
例1　已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角是60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
[反思感悟]　求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出夹角.
知识点二　两向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作 ，即 .
规定：零向量与任一向量的数量积为 .
点拨：1. 数量积运算中间的符号是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写.
2. 向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
3. 由a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量.
例2　已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
[反思感悟]　向量数量积的求法：
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
知识点三　平面向量的投影向量
1. 如图所示，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1，我们称上述变换为向量a向向量b ，A1叫做向量a在向量b上的 .
2. 如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则O就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则O与e，a，θ之间的关系为O＝
.
点拨：1. 向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.
2. 如果向量a与向量b平行或垂直，那么向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.
3. 由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果.
例3　已知｜a｜＝3，｜b｜＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求：
(1)向量a在向量b上的投影向量；
(2)向量b在向量a上的投影向量.
[反思感悟]　求投影向量的方法：
(1)向量a在向量b上的投影向量的计算公式为｜a｜cosθe，其中θ为向量a与向量b的夹角，向量e为与向量b同向的单位向量，即e＝.
(2)向量a在向量b上的投影向量为·；向量b在向量a上的投影向量为·.
知识点四　平面向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝ .
(2)a⊥b .
(3)当a，b同向时，a·b＝ ；当a，b反向时，a·b＝ .
特别地，a·a＝ 或｜a｜＝ .
(4)｜a·b｜ ｜a｜｜b｜.
(5)cosθ＝.
例4　(1)给出以下结论：①0·a＝0；②若a，b共线，则a·b＝｜a｜｜b｜；③a2＝｜a｜2；④已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则｜a·c｜＝｜b·c｜；⑤｜a·b｜≤a·b；⑥若非零向量a，b满足a·b＞0，则a与b的夹角为锐角.其中正确结论的个数为(　 　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(2)已知a，b，c是三个非零向量，则下列说法中，正确的个数为(　 　)
①若a·b＝±｜a｜·｜b｜，则a∥b；
②若a，b反向共线，则a·b＝－｜a｜·｜b｜；
③若a⊥b，则｜a＋b｜＝｜a－b｜；
④若｜a｜＝｜b｜，则｜a·c｜＝｜b·c｜.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
[反思感悟]　对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要深刻理解相关知识，特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等.
1. 已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　 　)
A. 3 B. －3 C. －3 D. 3
2. (多选)对于任意向量a，b，c，下列说法中，错误的是(　 　)
A. 若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B. 向量a与向量b夹角的取值范围是[0，π)
C. 若a⊥b，则a·b＝0
D. ｜a｜＝
3. 设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为 .
4. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角为，则向量b在向量a上的投影向量为 .

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