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6.2 导学5　向量的数量积(二)
知识点一　向量数量积的运算律
1. 对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝ (交换律).
(2)(λa)·b＝ ＝ (数乘结合律).
(3)(a＋b)·c＝ (分配律).
2. 平面向量数量积的运算性质
多项式乘法 向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝
(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝
点拨：1. 由a·b＝b·c推不出a＝c.
2. (a·b)c和a(b·c)不一定相等.
例1　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论中，正确的是(　 　)
A. a·c－b·c＝(a－b)·c
B. (b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直
C. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
D. (3a＋2b)·(3a－2b)＝9｜a｜2－4｜b｜2
(2)已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°.求a·b与(a－2b)·(a＋b)的值.
[反思感悟]　向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b既有联系，也有许多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别地，向量的数量积不满足结合律.
知识点二　向量模的计算
例2　已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·(a－2b)＝0，则｜a＋b｜等于(　 　)
A. 6 B. 4 C. D.
[反思感悟]　1.利用向量的数量积求模是数量积的重要应用，a2＝｜a｜2是计算的依据.
2.根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或者夹角等进行转化.　
知识点三　向量的夹角
例3　(1)(2025·河南濮阳检测)已知单位向量a，b满足(a＋b)·(a－3b)＝－，则
cos＜a， b＞等于 (　 　)
A. － B. － C. D.
(2)已知｜a｜＝1，a·b＝，｜a－b｜＝，则a与b的夹角为(　 　)
A. 120° B. 60° C. 30° D. 45°
知识点四　向量的垂直
例4　(1)(2025·北京房山区高一期中)若向量a，b满足｜a｜＝，｜b｜＝2，且
(a－b)⊥a，则向量a与b的夹角为(　 　)
A. B. C. D.
(2)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为 .
[反思感悟]　1. 求向量夹角的基本步骤.
2. 求向量的夹角，还可以结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法来求解.
3. 解决与向量有关的垂直问题时，利用a⊥b a·b＝0 (a，b为非零向量).
1. 已知向量a，b满足｜a｜＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于(　 　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
2. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b的夹角为60°，那么向量a－4b的模为(　 　)
A. 2 B. 2 C. 6 D. 12
3. 设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　 　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
4. 已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝ .6.2 导学5　向量的数量积(二)
知识点一　向量数量积的运算律
1. 对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝　b·a　(交换律).
(2)(λa)·b＝　λ(a·b)　＝　a·(λb)　(数乘结合律).
(3)(a＋b)·c＝　a·c＋b·c　(分配律).
2. 平面向量数量积的运算性质
多项式乘法 向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝　a2＋2a·b＋b2　
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝　a2－2a·b＋b2　
(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝　a2－b2　
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝　a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a　
点拨：1. 由a·b＝b·c推不出a＝c.
2. (a·b)c和a(b·c)不一定相等.
例1　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论中，正确的是(　ACD　)
A. a·c－b·c＝(a－b)·c
B. (b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直
C. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
D. (3a＋2b)·(3a－2b)＝9｜a｜2－4｜b｜2
【解析】 根据数量积的分配律知A正确；∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；∵a，b不共线，∴｜a｜，
｜b｜，｜a－b｜组成三角形，∴｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜成立，C正确；D正确.
(2)已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°.求a·b与(a－2b)·(a＋b)的值.
解：a·b＝｜a｜｜b｜cosθ＝5×4·cos120°＝－10；
(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2＝｜a｜2－｜a｜｜b｜·cos120°－2｜b｜2＝25－
(－10)－2×42＝3.
[反思感悟]　向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b既有联系，也有许多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别地，向量的数量积不满足结合律.
知识点二　向量模的计算
例2　已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·(a－2b)＝0，则｜a＋b｜等于(　C　)
A. 6 B. 4 C. D.
【解析】 ∵a·(a－2b)＝0，∴a2－2a·b＝0，∵｜a｜＝1，｜b｜＝2，∴a·b＝，∴｜a＋b｜＝＝＝.
[反思感悟]　1.利用向量的数量积求模是数量积的重要应用，a2＝｜a｜2是计算的依据.
2.根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或者夹角等进行转化.　
知识点三　向量的夹角
例3　(1)(2025·河南濮阳检测)已知单位向量a，b满足(a＋b)·(a－3b)＝－，则
cos＜a， b＞等于 (　B　)
A. － B. － C. D.
【解析】 ∵(a＋b)·(a－3b)＝a2－2a·b－3b2＝1－3－2cos＜a， b＞＝－，
∴cos＜a， b＞＝－.
(2)已知｜a｜＝1，a·b＝，｜a－b｜＝，则a与b的夹角为(　D　)
A. 120° B. 60° C. 30° D. 45°
【解析】 由｜a－b｜＝可得(a－b)2＝，即｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝，故1－1＋｜b｜2＝，即｜b｜＝.设a与b的夹角为θ，则a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ＝，即cosθ＝，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.
知识点四　向量的垂直
例4　(1)(2025·北京房山区高一期中)若向量a，b满足｜a｜＝，｜b｜＝2，且
(a－b)⊥a，则向量a与b的夹角为(　B　)
A. B. C. D.
【解析】 设向量a与b的夹角为θ，由(a－b)⊥a，得(a－b)·a＝a2－a·b＝3－2cosθ＝0，解得cosθ＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为　　.
【解析】 由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，化简得k－2＋(1－2k)·cos＝0，解得k＝.
[反思感悟]　1. 求向量夹角的基本步骤.
2. 求向量的夹角，还可以结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法来求解.
3. 解决与向量有关的垂直问题时，利用a⊥b a·b＝0 (a，b为非零向量).
1. 已知向量a，b满足｜a｜＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于(　B　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
2. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b的夹角为60°，那么向量a－4b的模为(　B　)
A. 2 B. 2 C. 6 D. 12
3. 设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　B　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
4. 已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝　　.(共23张PPT)
二、平面向量的运算
导学5　向量的数量积(二)
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　向量数量积的运算律
知识梳理
1. 对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝ (交换律).
(2)(λa)·b＝ ＝ (数乘结合律).
(3)(a＋b)·c＝ (分配律).
b·a　
λ(a·b)　
a·(λb)　
a·c＋b·c　
2. 平面向量数量积的运算性质
多项式乘法 向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝
(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋
2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝

a2＋2a·b＋b2　
a2－2a·b＋b2　
a2－b2　
a2＋b2＋c2＋2a·b＋
2b·c＋2c·a　
点拨：1. 由a·b＝b·c推不出a＝c.
2. (a·b)c和a(b·c)不一定相等.
例1　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下
列结论中，正确的是(　ACD　)
A. a·c－b·c＝(a－b)·c
B. (b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直
C. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
D. (3a＋2b)·(3a－2b)＝9｜a｜2－4｜b｜2
ACD
【解析】 根据数量积的分配律知A正确；∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝
(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；
∵a，b不共线，∴｜a｜，｜b｜，｜a－b｜组成三角形，
∴｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜成立，C正确；D正确.
(2)已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°.求a·b与(a－
2b)·(a＋b)的值.
解：a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ＝5×4· cos 120°＝－10；
(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2＝｜a｜2－｜a｜｜b｜· cos 120°－
2｜b｜2＝25－(－10)－2×42＝3.
[反思感悟]　向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b既有联系，也有
许多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别地，向量
的数量积不满足结合律.
知识点二
知识点二　向量模的计算
例2　已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·(a－2b)＝0，则｜
a＋b｜等于(　C　)
A. 6 B. 4 C. D.
【解析】 ∵a·(a－2b)＝0，∴a2－2a·b＝0，∵｜a｜＝1，｜b｜＝
2，∴a·b＝ ，∴｜a＋b｜＝ ＝ ＝ .
C
[反思感悟]　1.利用向量的数量积求模是数量积的重要应用，a2＝
｜a｜2是计算的依据.
2. 根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积
或者夹角等进行转化.　
知识点三
知识点三　向量的夹角
例3　(1)(2025·河南濮阳检测)已知单位向量a，b满足(a＋b)·(a－3b)＝
－ ，则 cos ＜a， b＞等于 (　B　)
A. － B. － C. D.
【解析】 ∵(a＋b)·(a－3b)＝a2－2a·b－3b2＝1－3－2 cos ＜a， b＞
＝－ ，∴ cos ＜a， b＞＝－ .
B
(2)已知｜a｜＝1，a·b＝ ，｜a－b｜＝ ，则a与b的夹角为
(　D　)
A. 120° B. 60° C. 30° D. 45°
D
【解析】 由｜a－b｜＝ 可得(a－b)2＝ ，即｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝ ，故1－1＋｜b｜2＝ ，即｜b｜＝ .设a与b的夹角为θ，则a·b＝｜a｜·｜b｜ cos θ＝ ，即 cos θ＝ ，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.
知识点四
知识点四　向量的垂直
例4　(1)(2025·北京房山区高一期中)若向量a，b满足｜a｜＝ ，
｜b｜＝2，且(a－b)⊥a，则向量a与b的夹角为(　B　)
A. B. C. D.
【解析】 设向量a与b的夹角为θ，由(a－b)⊥a，得(a－b)·a＝a2－
a·b＝3－2 cos θ＝0，解得 cos θ＝ ，∵θ∈[0，π]，∴θ＝ .
B
(2)已知e1，e2是夹角为 的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.
若a·b＝0，则实数k的值为 .
【解析】 由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，化简得k－2＋(1－2k)·
cos ＝0，解得k＝ .
　
[反思感悟]　1. 求向量夹角的基本步骤.
2. 求向量的夹角，还可以结合向量线性运算、模的几何意义，利用数
形结合的方法来求解.
3. 解决与向量有关的垂直问题时，利用a⊥b a·b＝0 (a，b为非零向量).
随堂巩固
随堂巩固
1. 已知向量a，b满足｜a｜＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于
(　B　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
B
2. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b的夹角为60°，那么向量a－4b
的模为(　B　)
A. 2 B. 2 C. 6 D. 12
B
3. 设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　B　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
B
4. 已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝ .
　

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