资源简介

(共18张PPT)
三、 平面向量基本定理及坐标表示
导学1　平面向量基本定理
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　平面向量基本定理
知识梳理
条件 e1，e2是同一平面内的两个
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a
＝
基底 若e1，e2 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有
向量的一个基底
不共线向量　
λ1e1＋λ2e2　
不共线　
例1　(1)(多选)设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列向
量中，可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　AC　)
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【解析】 对于A， 与 不共线；对于B， ＝－ ，则 与
共线；对于C， 与 不共线；对于D， ＝－ ，则 与
共线. 由平面内向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构
成一组基底，A，C满足题意.
AC
(2)已知向量{a， b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝ .
【解析】 ∵{a， b}是一个基底，∴a与b不共线，由平面向量基本定
理得 解得 ∴x－y＝3.
3　
[反思感悟]　考查两个向量是否能构成基底，主要看这两个向量是否共
线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上的任意一个向量都可
以由这个基底唯一表示.
知识点二
知识点二　用基底表示平面内的向量
例2　如图所示，在平行四边形ABCD中，设对角线 ＝a， ＝b，试用基底{a，b}表示 ， .
解：方法一　由题意知， ＝ ＝ ＝ a，
＝ ＝ ＝ b，
∴ ＝ ＋ ＝ － ＝ a－ b， ＝ ＋ ＝ a＋ b.
方法二　设 ＝x， ＝y，则 ＝ ＝y，又
则 ∴x＝ a－ b，y＝ a＋ b，即 ＝ a－ b，
＝ a＋ b.
[反思感悟]　用基底表示向量的依据和两个模型：
(1)依据：
①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义，向量的数乘的几何意义.
(2)模型：
知识点三
知识点三　平面向量基本定理的应用
例3　(2024·河北保定高一检测)如图所示，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F，G是AD，BC的三等分点，AF＝ AD，BG＝ BC，设 ＝a， ＝b.
(1)用a，b表示 ， ；
解：由题意， ＝ － ＝ － ＝
－ a＋ b， ＝ ＋ ＝ a＋ b.
(2)如果｜a｜＝ ｜b｜，用向量的方法证明：EF⊥EG.
证明：由(1)得 · ＝ ·( a＋ b)＝－ a2＋ b2＝
－ × ＋ b2＝0，∴ ⊥ ，∴EF⊥EG.
[反思感悟]　用向量解决平面几何问题的一般步骤：
(1)选取不共线的两个平面向量为基底；
(2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题；
(3)利用向量知识进行向量运算，得到向量问题的解；
(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解.
随堂巩固
随堂巩固
1. (多选)下列说法中，正确的是(　CD　)
A. 基底中的向量可以是零向量
B. 一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的
基底
C. 一个平面内有无数组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的
基底
D. 平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于该基底的线性分解形
式也是唯一确定的
CD
2. 若AD是△ABC的中线，已知 ＝a， ＝b，则以a，b为基底
表示 为(　C　)
A. (a－b) B. (a＋b)
C. (b－a) D. b＋a
C
3. 已知非零向量 ， 不共线，且2 ＝ ＋ .若 ＝
λ (λ∈R)，则x，y满足的关系式为(　A　)
A. x＋y－2＝0 B. 2x＋y－1＝0
C. x＋2y－2＝0 D. 2x＋y－2＝0
A
4. 如图所示，向量 可用向量e1，e2表示为 .
4e1＋3e2　6.3 导学1　平面向量基本定理
知识点一　平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝
基底 若e1，e2 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
例1　(1)(多选)设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列向量中，可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　 　)
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
(2)已知向量{a， b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝ .
[反思感悟]　考查两个向量是否能构成基底，主要看这两个向量是否共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上的任意一个向量都可以由这个基底唯一表示.
知识点二　用基底表示平面内的向量
例2　如图所示，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，.
[反思感悟]　用基底表示向量的依据和两个模型：
(1)依据：
①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义，向量的数乘的几何意义.
(2)模型：
知识点三　平面向量基本定理的应用
例3　(2024·河北保定高一检测)如图所示，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F，G是AD，BC的三等分点，AF＝AD，BG＝BC，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示，；
(2)如果｜a｜＝｜b｜，用向量的方法证明：EF⊥EG.
[反思感悟]　用向量解决平面几何问题的一般步骤：
(1)选取不共线的两个平面向量为基底；
(2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题；
(3)利用向量知识进行向量运算，得到向量问题的解；
(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解.
1. (多选)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 基底中的向量可以是零向量
B. 一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
C. 一个平面内有无数组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
D. 平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于该基底的线性分解形式也是唯一确定的
2. 若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，则以a，b为基底表示为(　 　)
A. (a－b) B. (a＋b) C. (b－a) D. b＋a
3. 已知非零向量，不共线，且2＝＋.若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式为(　 　)
A. x＋y－2＝0 B. 2x＋y－1＝0
C. x＋2y－2＝0 D. 2x＋y－2＝0
4. 如图所示，向量可用向量e1，e2表示为 .6.3 导学1　平面向量基本定理
知识点一　平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个　不共线向量　
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝　λ1e1＋λ2e2　
基底 若e1，e2　不共线　，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
例1　(1)(多选)设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列向量中，可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　AC　)
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
【解析】 对于A，与不共线；对于B，＝－，则与共线；对于C，与不共线；对于D，＝－，则与共线. 由平面内向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，A，C满足题意.
(2)已知向量{a， b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝　3　.
【解析】 ∵{a， b}是一个基底，∴a与b不共线，由平面向量基本定理得解得∴x－y＝3.
[反思感悟]　考查两个向量是否能构成基底，主要看这两个向量是否共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上的任意一个向量都可以由这个基底唯一表示.
知识点二　用基底表示平面内的向量
例2　如图所示，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，.
解：方法一　由题意知，＝＝＝a，＝＝＝b，∴＝＋＝－＝a－b，＝＋＝a＋b.
方法二　设＝x，＝y，则＝＝y，又则∴x＝a－b，y＝a＋b，即＝a－b，＝a＋b.
[反思感悟]　用基底表示向量的依据和两个模型：
(1)依据：
①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义，向量的数乘的几何意义.
(2)模型：
知识点三　平面向量基本定理的应用
例3　(2024·河北保定高一检测)如图所示，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F，G是AD，BC的三等分点，AF＝AD，BG＝BC，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示，；
解：由题意，＝－＝－＝－a＋b，＝＋＝a＋b.
(2)如果｜a｜＝｜b｜，用向量的方法证明：EF⊥EG.
证明：由(1)得·＝·( a＋b)＝－a2＋b2＝－×＋
b2＝0，∴⊥，∴EF⊥EG.
[反思感悟]　用向量解决平面几何问题的一般步骤：
(1)选取不共线的两个平面向量为基底；
(2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题；
(3)利用向量知识进行向量运算，得到向量问题的解；
(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解.
1. (多选)下列说法中，正确的是(　CD　)
A. 基底中的向量可以是零向量
B. 一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
C. 一个平面内有无数组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
D. 平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于该基底的线性分解形式也是唯一确定的
2. 若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，则以a，b为基底表示为(　C　)
A. (a－b) B. (a＋b) C. (b－a) D. b＋a
3. 已知非零向量，不共线，且2＝＋.若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式为(　A　)
A. x＋y－2＝0 B. 2x＋y－1＝0
C. x＋2y－2＝0 D. 2x＋y－2＝0
4. 如图所示，向量可用向量e1，e2表示为　4e1＋3e2　.

展开更多......

收起↑