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三、 平面向量基本定理及坐标表示
导学3　平面向量数乘运算的坐标表示
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示
知识梳理
1. 语言表示：实数与向量的积的坐标等于用这个实数
.
乘原来向量的
相应坐标　
2. 坐标表示：a＝(x， y)，λ∈R，则λa＝ .
(λx，λy)　
例1　已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
(1)2a＋3b；
解：(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).
(2)a－3b；
解：(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).
(3) a－ b.
解：(3) a－ b＝ (－1，2)－ (2，1)＝ － ＝.
[反思感悟]　平面向量坐标运算的技巧：
(1)若已知向量的坐标，则直接运用向量数乘的运算法则进行求解.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进行向
量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全与数的运算进行类比.
知识点二
知识点二　平面向量共线的坐标表示
知识梳理
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
向量a，b(b≠0)共线的充要条件是 .
x1y2－x2y1＝0　
例2　(1)(多选)下列各组向量中，能作为平面内所有向量的基底的是
(　ABC　)
A. a＝(－2，3)，b＝(4，6) B. a＝(2，3)，b＝(3，2)
C. a＝(1，－2)，b＝(7，14) D. a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
【解析】 能作为平面内的基底，则两向量a与b 不共线，对于A，
(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不共线；对于B，2×2－3×3＝
4－9＝－5≠0，∴a与b不共线；对于C，1×14－(－2)×7＝28≠0，
∴a与b不共线；对于D，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a与b共线.
ABC
(2)已知A(－1，－1)，B(1， 3)，C(1， 5)，D(2， 7)，向量 与
平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
解：∵ ＝(2，4)， ＝(1，2)，又2×2－4×1＝0，∴ ∥ .
∵ ＝(2，6)， ＝(2，4)，∴2×4－2×6≠0，
∴A，B，C三点不共线，∴直线AB与直线CD不重合，∴AB∥CD.
[反思感悟]　向量共线的判定方法：
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表示，由x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，
y2))直接判断a与b平行.
知识点三
知识点三　利用向量共线的坐标表示求参数
例3　(1)已知向量a＝(－3，1)，b＝(1，3)，c＝2a＋kb.若a∥c，则
k的值为(　B　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
【解析】 ∵向量a＝(－3，1)，b＝(1，3)，∴c＝2a＋kb＝(－6＋
k，2＋3k).∵a∥c，∴－6＋k＝(2＋3k)×(－3)，解得k＝0.
B
(2)已知 ＝(k，2)， ＝(1，2k)， ＝(1－k， －1)，且相异的三
点A，B，C共线，则实数k＝ .
【解析】 ＝ － ＝(1－k， 2k－2)， ＝ － ＝(1－
2k，－3)，由题意可知 ∥ ，∴(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)
＝0，解得k＝－ (k＝1不合题意，舍去).
－ 　
[反思感悟]　根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路.一是利
用向量共线定理a＝λb(b≠0)，列方程组求解；二是利用向量共线的坐
标表达式x1y2－x2y1＝0来求解.
知识点四
知识点四　有向线段的定比分点坐标公式及应用
知识梳理
若线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，P是直线
P1P2上的一点，则当P1 ＝λP 时， 点P的坐标为
(λ≠－1).
例4　(1)已知点A(2， 3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，
且｜AP｜＝2｜BP｜，则点P的坐标为 ；
【解析】 设点P的坐标为(x， y)，由条件可知 ＝－2 ，由定比分
点坐标公式可知 即点P的坐标为(6，－9).
(6，－9)　
(2)如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1， y1)，B(x2， y2)，
C(x3， y3)，D是边AB的中点，G是CD上一点，且 ＝2，求点G的坐标.
解：∵D是AB的中点，∴点D的坐标为
，∵ ＝2，且C，G，D三点共线，
∴ ＝2 ，设G点坐标为(x，y)，由定比分
点坐标公式可得x＝ ＝ ，
y＝ ＝ ，即点G的坐标为( ， ).
[反思感悟]　用有向线段的定比分点坐标公式 (λ≠－1)可
以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比.
随堂巩固
随堂巩固
1. 若a＝(2，1)，b＝(1，0)，则3a＋2b的坐标是(　C　)
A. (5，3) B. (4，3)
C. (8，3) D. (0，－1)
C
2. 已知 ＝a，且A ，B .若λ＝ ，则λa的坐标为
(　A　)
A. B.
C. D.
A
3. 已知点A(2，3)，B(1，4)，且 ＝－2 ，则点P的坐标是
(　A　)
A. (0，5) B.
C. (3，2) D. (－3，2)
A
4. 已知a＝(－3，2)，b＝(6， y)，且a∥b，则y＝ .
－4　6.3 导学3　平面向量数乘运算的坐标表示
知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示
1. 语言表示：实数与向量的积的坐标等于用这个实数　乘原来向量的相应坐标　.
2. 坐标表示：a＝(x， y)，λ∈R，则λa＝　(λx，λy)　.
例1　已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
(1)2a＋3b；
解：(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).
(2)a－3b；
解：(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).
(3)a－b.
解：(3)a－b＝(－1，2)－(2，1)＝－＝.
[反思感悟]　平面向量坐标运算的技巧：
(1)若已知向量的坐标，则直接运用向量数乘的运算法则进行求解.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全与数的运算进行类比.
知识点二　平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
向量a，b(b≠0)共线的充要条件是　x1y2－x2y1＝0　.
例2　(1)(多选)下列各组向量中，能作为平面内所有向量的基底的是(　ABC　)
A. a＝(－2，3)，b＝(4，6) B. a＝(2，3)，b＝(3，2)
C. a＝(1，－2)，b＝(7，14) D. a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
【解析】 能作为平面内的基底，则两向量a与b 不共线，对于A，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不共线；对于B，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不共线；对于C，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不共线；对于D，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a与b共线.
(2)已知A(－1，－1)，B(1， 3)，C(1， 5)，D(2， 7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
解：∵＝(2，4)，＝(1，2)，又2×2－4×1＝0，∴∥.
∵＝(2，6)，＝(2，4)，∴2×4－2×6≠0，
∴A，B，C三点不共线，∴直线AB与直线CD不重合，∴AB∥CD.
[反思感悟]　向量共线的判定方法：
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表示，由x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判断a与b平行.
知识点三　利用向量共线的坐标表示求参数
例3　(1)已知向量a＝(－3，1)，b＝(1，3)，c＝2a＋kb.若a∥c，则k的值为(　B　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
【解析】 ∵向量a＝(－3，1)，b＝(1，3)，∴c＝2a＋kb＝(－6＋k，2＋3k).∵a∥c，∴－6＋k＝(2＋3k)×(－3)，解得k＝0.
(2)已知＝(k，2)，＝(1，2k)，＝(1－k， －1)，且相异的三点A，B，C共线，则实数k＝　－　.
【解析】 ＝－＝(1－k， 2k－2)，＝－＝(1－2k，－3)，由题意可知∥，∴(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－(k＝1不合题意，舍去).
[反思感悟]　根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路.一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)，列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0来求解.
知识点四　有向线段的定比分点坐标公式及应用
若线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，P是直线P1P2上的一点，则当P1＝λP时， 点P的坐标为(λ≠－1).
例4　(1)已知点A(2， 3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且｜AP｜＝2｜BP｜，则点P的坐标为　(6，－9)　；
【解析】 设点P的坐标为(x， y)，由条件可知＝－2，由定比分点坐标公式可知即点P的坐标为(6，－9).
(2)如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1， y1)，B(x2， y2)，C(x3， y3)，D是边AB的中点，G是CD上一点，且＝2，求点G的坐标.
解：∵D是AB的中点，∴点D的坐标为，∵＝2，且C，G，D三点共线，∴＝2，
设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得x＝＝，y＝＝，即点G的坐标为( ，).
[反思感悟]　用有向线段的定比分点坐标公式(λ≠－1)可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比.
1. 若a＝(2，1)，b＝(1，0)，则3a＋2b的坐标是(　C　)
A. (5，3) B. (4，3)
C. (8，3) D. (0，－1)
2. 已知＝a，且A，B.若λ＝，则λa的坐标为(　A　)
A. B.
C. D.
3. 已知点A(2，3)，B(1，4)，且＝－2，则点P的坐标是(　A　)
A. (0，5) B.
C. (3，2) D. (－3，2)
4. 已知a＝(－3，2)，b＝(6， y)，且a∥b，则y＝　－4　.6.3 导学3　平面向量数乘运算的坐标表示
知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示
1. 语言表示：实数与向量的积的坐标等于用这个实数 .
2. 坐标表示：a＝(x， y)，λ∈R，则λa＝ .
例1　已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
(1)2a＋3b；
(2)a－3b；
(3)a－b.
[反思感悟]　平面向量坐标运算的技巧：
(1)若已知向量的坐标，则直接运用向量数乘的运算法则进行求解.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全与数的运算进行类比.
知识点二　平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
向量a，b(b≠0)共线的充要条件是 .
例2　(1)(多选)下列各组向量中，能作为平面内所有向量的基底的是(　 　)
A. a＝(－2，3)，b＝(4，6) B. a＝(2，3)，b＝(3，2)
C. a＝(1，－2)，b＝(7，14) D. a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
(2)已知A(－1，－1)，B(1， 3)，C(1， 5)，D(2， 7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
[反思感悟]　向量共线的判定方法：
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表示，由x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判断a与b平行.
知识点三　利用向量共线的坐标表示求参数
例3　(1)已知向量a＝(－3，1)，b＝(1，3)，c＝2a＋kb.若a∥c，则k的值为(　 　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
(2)已知＝(k，2)，＝(1，2k)，＝(1－k， －1)，且相异的三点A，B，C共线，则实数k＝ .
[反思感悟]　根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路.一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)，列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0来求解.
知识点四　有向线段的定比分点坐标公式及应用
若线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，P是直线P1P2上的一点，则当P1＝λP时， 点P的坐标为(λ≠－1).
例4　(1)已知点A(2， 3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且｜AP｜＝2｜BP｜，则点P的坐标为 ；
(2)如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1， y1)，B(x2， y2)，C(x3， y3)，D是边AB的中点，G是CD上一点，且＝2，求点G的坐标.
[反思感悟]　用有向线段的定比分点坐标公式(λ≠－1)可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比.
1. 若a＝(2，1)，b＝(1，0)，则3a＋2b的坐标是(　 　)
A. (5，3) B. (4，3)
C. (8，3) D. (0，－1)
2. 已知＝a，且A，B.若λ＝，则λa的坐标为(　 　)
A. B.
C. D.
3. 已知点A(2，3)，B(1，4)，且＝－2，则点P的坐标是(　 　)
A. (0，5) B.
C. (3，2) D. (－3，2)
4. 已知a＝(－3，2)，b＝(6， y)，且a∥b，则y＝ .

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