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三、 平面向量基本定理及坐标表示
导学4　平面向量数量积的坐标表示
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　平面向量数量积的坐标表示
知识梳理
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ .这就
是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的 .
x1x2＋y1y2　
乘积的和　
例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于
(　B　)
A. 10 B. －10 C. 3 D. －3
【解析】 a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，∴(a＋2b)·(a－3b)＝
4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
B
(2)在矩形ABCD中，｜ ｜＝6，｜ ｜＝4.若点M，N满足 ＝
3 ， ＝2 ，则 · 等于(　C　)
A. 20 B. 15 C. 9 D. 6
【解析】 ∵四边形ABCD为矩形，建系如图所
示.A(0，0)，M(6，3)，N(4，4).
则 ＝(6，3)， ＝(2，－1)， · ＝6×2
－3×1＝9.
C
[反思感悟]　进行向量数量积的坐标运算时要注意的点
(1)要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
①｜a｜2＝a·a；
②(a＋b)·(a－b)＝｜a｜2－｜b｜2；
③(a＋b)2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2.
(2)解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建
立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的
问题.
知识点二
知识点二　平面向量的模
知识梳理
1. 若a＝(x，y)，则｜a｜2＝ ，或｜a｜＝ .
x2＋y2　
　
2. 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，
y2)，那么a＝ ，｜a｜＝ .
(x2－x1，y2－y1)　
　
例2　(1)已知向量a＝(m， 3)，b＝(1， m).若a与b反向共线，则｜a
－ b｜的值为(　C　)
A. 0 B. 48 C. 4 D. 3
C
【解析】 由题意得m2＝3，解得m＝± ，又a与b反向共线，故m＝－ ，此时a－ b＝(－2 ， 6)，故｜a－ b｜＝ ＝4 .
(2)已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，｜a＋b｜＝5 ，则｜b｜等于
(　C　)
A. B. C. 5 D. 25
【解析】 ∵a＝(2，1)，∴a2＝5，又｜a＋b｜＝5 ，
∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，
∴b2＝25，∴｜b｜＝5.
C
[反思感悟]　求向量a＝(x， y)的模的常见思路及方法：a·a＝a2＝
｜a｜2或｜a｜＝ ＝ ，此性质可用来求向量的模，
可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
知识点三
知识点三　平面向量夹角与垂直的坐标表示
知识梳理
设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角.
(1) cos θ＝ ＝ 　 　.
(2)a⊥b .
点拨：不要混淆两向量垂直与两向量平行的坐标表示.
　
x1x2＋y1y2＝0　
例3　已知a＝(4，3)，b＝(－1，2).
(1)求a与b夹角的余弦值；
解：(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，｜a｜＝ ＝5，｜b｜＝
＝ ，
设a与b的夹角为θ，
∴ cos θ＝ ＝ ＝ .
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值.
解：(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，∴7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝ .
[反思感悟]　利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤：
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；
(2)利用｜a｜＝ 计算出这两个向量的模；
(3)由公式 cos θ＝ 直接求出 cos θ的值；
(4)在[0， π]内，由 cos θ的值求出角θ.
随堂巩固
随堂巩固
1. (2025·北京朝阳高一阶段检测)已知向量a＝(－4， 3)，b＝(5，12)，
则a·b等于(　D　)
A. 52 B. －3
C. －10 D. 16
D
2. 已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　B　)
A. B. C. D.
B
3. 已知a＝(1，2)，b＝(－1，2)，c＝(4， x)，若(3a－2b)·c＝26，则
x的值为(　D　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
D
4. 已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝
.
－6.3 导学4　平面向量数量积的坐标表示
知识点一　平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ .这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的 .
例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　 　)
A. 10 B. －10 C. 3 D. －3
(2)在矩形ABCD中，｜｜＝6，｜｜＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　 　)
A. 20 B. 15 C. 9 D. 6
[反思感悟]　进行向量数量积的坐标运算时要注意的点
(1)要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
①｜a｜2＝a·a；
②(a＋b)·(a－b)＝｜a｜2－｜b｜2；
③(a＋b)2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2.
(2)解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题.
知识点二　平面向量的模
1. 若a＝(x，y)，则｜a｜2＝ ，或｜a｜＝ .
2. 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝ ，｜a｜＝ .
例2　(1)已知向量a＝(m， 3)，b＝(1， m).若a与b反向共线，则｜a－b｜的值为(　 　)
A. 0 B. 48 C. 4 D. 3
(2)已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，｜a＋b｜＝5，则｜b｜等于(　 　)
A. B. C. 5 D. 25
[反思感悟]　求向量a＝(x， y)的模的常见思路及方法：a·a＝a2＝｜a｜2或｜a｜＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
知识点三　平面向量夹角与垂直的坐标表示
设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角.
(1)cos θ＝＝ .
(2)a⊥b .
点拨：不要混淆两向量垂直与两向量平行的坐标表示.
例3　已知a＝(4，3)，b＝(－1，2).
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值.
[反思感悟]　利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤：
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；
(2)利用｜a｜＝计算出这两个向量的模；
(3)由公式cosθ＝直接求出cosθ的值；
(4)在[0， π]内，由cosθ的值求出角θ.
1. (2025·北京朝阳高一阶段检测)已知向量a＝(－4， 3)，b＝(5，12)，则a·b等于(　 　)
A. 52 B. －3
C. －10 D. 16
2. 已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　 　)
A. B. C. D.
3. 已知a＝(1，2)，b＝(－1，2)，c＝(4， x)，若(3a－2b)·c＝26，则x的值为(　 　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
4. 已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝ .6.3 导学4　平面向量数量积的坐标表示
知识点一　平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝　x1x2＋y1y2　.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的　乘积的和　.
例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　B　)
A. 10 B. －10 C. 3 D. －3
【解析】 a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，∴(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
(2)在矩形ABCD中，｜｜＝6，｜｜＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　C　)
A. 20 B. 15 C. 9 D. 6
【解析】 ∵四边形ABCD为矩形，建系如图所示.A(0，0)，M(6，3)，N(4，4).
则＝(6，3)，＝(2，－1)，·＝6×2－3×1＝9.
[反思感悟]　进行向量数量积的坐标运算时要注意的点
(1)要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
①｜a｜2＝a·a；
②(a＋b)·(a－b)＝｜a｜2－｜b｜2；
③(a＋b)2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2.
(2)解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题.
知识点二　平面向量的模
1. 若a＝(x，y)，则｜a｜2＝　x2＋y2　，或｜a｜＝　　.
2. 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝　(x2－x1，y2－y1)　，｜a｜＝　　.
例2　(1)已知向量a＝(m， 3)，b＝(1， m).若a与b反向共线，则｜a－b｜的值为(　C　)
A. 0 B. 48 C. 4 D. 3
【解析】 由题意得m2＝3，解得m＝±，又a与b反向共线，故m＝－，此时a－b＝(－2， 6)，故｜a－b｜＝＝4.
(2)已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，｜a＋b｜＝5，则｜b｜等于(　C　)
A. B. C. 5 D. 25
【解析】 ∵a＝(2，1)，∴a2＝5，又｜a＋b｜＝5，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴｜b｜＝5.
[反思感悟]　求向量a＝(x， y)的模的常见思路及方法：a·a＝a2＝｜a｜2或｜a｜＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
知识点三　平面向量夹角与垂直的坐标表示
设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角.
(1)cos θ＝＝　　.
(2)a⊥b 　x1x2＋y1y2＝0　.
点拨：不要混淆两向量垂直与两向量平行的坐标表示.
例3　已知a＝(4，3)，b＝(－1，2).
(1)求a与b夹角的余弦值；
解：(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，｜a｜＝＝5，｜b｜＝＝，设a与b的夹角为θ，
∴cosθ＝＝＝.
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值.
解：(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，∴7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝.
[反思感悟]　利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤：
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；
(2)利用｜a｜＝计算出这两个向量的模；
(3)由公式cosθ＝直接求出cosθ的值；
(4)在[0， π]内，由cosθ的值求出角θ.
1. (2025·北京朝阳高一阶段检测)已知向量a＝(－4， 3)，b＝(5，12)，则a·b等于(　D　)
A. 52 B. －3
C. －10 D. 16
2. 已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　B　)
A. B. C. D.
3. 已知a＝(1，2)，b＝(－1，2)，c＝(4， x)，若(3a－2b)·c＝26，则x的值为(　D　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
4. 已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝　－　.

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