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四、 平面向量的应用
导学1　平面几何中的向量方法
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　用向量解决平面几何中的平行问题
例1　在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作
CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
证明：如图所示，以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，
EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
令｜ ｜＝1，则｜ ｜＝1，｜ ｜＝2.
∵CE⊥AB，AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，
∴各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，
D(－1，1)，A(－1，0).
∵ ＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)， ＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
∴ ＝ ，∴ ∥ .∵B，C，D三点不共线，∴DE∥BC.
(2)D，M，B三点共线.
证明：连接MB，MD.
∵M为CE的中点，∴M ，∴ ＝(－1，1)－ ＝
， ＝(1，0)－ ＝ ，
∴ ＝－ ，∴ ∥ .∵MD与MB有公共点M，∴D，
M，B三点共线.
[反思感悟]　用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示平面几何问题中涉及的几
何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
知识点二
知识点二　用向量方法解决平面几何中的垂直问题
例2　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，
证明：AF⊥DE.
证明：方法一　设 ＝a， ＝b，则｜a｜＝｜b｜，
a·b＝0，又 ＝ ＋ ＝－a＋ b， ＝ ＋
＝b＋ a，∴ · ＝ ·
＝－ a2－ a·b＋ b2＝－ ｜a｜2＋ ｜b｜2＝0，
故 ⊥ ，即AF⊥DE.
方法二　如图所示，建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，
E(1，0)，F(2，1)， ＝(2，1)， ＝(1，－2).
∵ · ＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
∴ ⊥ ，即AF⊥DE.
[反思感悟]　利用向量解决垂直问题的方法和途径：
(1)方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即
向量的数量积为0.
(2)途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式.
知识点三
知识点三　用向量方法求线段的长度
例3　如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线
BD＝2，求对角线AC的长.
解：设 ＝a， ＝b，则 ＝a－b，
＝a＋b，而｜ ｜＝｜a－b｜＝
＝ ＝ ＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝ ，又｜ ｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴｜ ｜＝ ，即AC＝ .
[反思感悟]　利用向量法解决长度问题的方法：
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，有两种方法.一是利用图形的特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式｜a｜2＝a2
求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：
若a＝(x， y)，则｜a｜＝ .
知识点四
知识点四　用向量方法求几何中的角度问题
例4　如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在
线段BC上，且BD＝ DC. 求：
(1)AD的长；
解：(1)设 ＝a， ＝b，则 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
(－ )＝ ＋ ＝ a＋ b，∴｜ ｜2＝ ＝
＝ a2＋2× a·b＋ b2＝ ×9＋2× ×3×3× cos 120°＋ ×9＝3，
∴AD＝ .
(2)∠DAC的大小.
解：(2)设∠DAC＝θ(0°＜θ＜120°)，则θ为 与 的夹角.
∴ cos θ＝ ＝ ＝ ＝ ＝0，
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
[反思感悟]　用向量法求角的方法：将要求的角转化为两向量的夹角，
再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，最后转
化为实际问题中的角即可.
随堂巩固
随堂巩固
1. 在△ABC中，若(＋ )·(－ )＝0，则△ABC(　C　)
A. 是正三角形 B. 是直角三角形
C. 是等腰三角形 D. 形状无法确定
C
2. 已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为(　A　)
A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
A
3. 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中
点，则 cos ∠BDC等于(　B　)
A. － B. C. 0 D.
B
4. 在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足
＝ ＋ (＋ )，则｜ ｜＝ .
1　6.4 导学1　平面几何中的向量方法
知识点一　用向量解决平面几何中的平行问题
例1　在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
证明：如图所示，以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
令｜｜＝1，则｜｜＝1，｜｜＝2.∵CE⊥AB，AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，
∴各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0).
∵＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
∴＝，∴∥.∵B，C，D三点不共线，∴DE∥BC.
(2)D，M，B三点共线.
证明：连接MB，MD.
∵M为CE的中点，∴M，∴＝(－1，1)－＝，＝(1，0)－＝，
∴＝－，∴∥.∵MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线.
[反思感悟]　用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示平面几何问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
知识点二　用向量方法解决平面几何中的垂直问题
例2　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，证明：AF⊥DE.
证明：方法一　设＝a，＝b，则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，
∴·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－｜a｜2＋｜b｜2＝0，
故⊥，即AF⊥DE.
方法二　如图所示，建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2).
∵·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
∴⊥，即AF⊥DE.
[反思感悟]　利用向量解决垂直问题的方法和途径：
(1)方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.
(2)途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式.
知识点三　用向量方法求线段的长度
例3　如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.
解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而｜｜＝｜a－b｜＝＝＝＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，又｜｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴｜｜＝，即AC＝.
[反思感悟]　利用向量法解决长度问题的方法：
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，有两种方法.一是利用图形的特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式｜a｜2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x， y)，则｜a｜＝.
知识点四　用向量方法求几何中的角度问题
例4　如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.求：
(1)AD的长；
解：(1)设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，∴｜｜2＝＝＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos120°＋×9＝3，∴AD＝.
(2)∠DAC的大小.
解：(2)设∠DAC＝θ(0°＜θ＜120°)，则θ为与的夹角.
∴cosθ＝＝＝＝＝0，
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
[反思感悟]　用向量法求角的方法：将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，最后转化为实际问题中的角即可.
1. 在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC(　C　)
A. 是正三角形 B. 是直角三角形
C. 是等腰三角形 D. 形状无法确定
2. 已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为(　A　)
A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
3. 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC等于(　B　)
A. － B. C. 0 D.
4. 在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则｜｜＝　1　.6.4 导学1　平面几何中的向量方法
知识点一　用向量解决平面几何中的平行问题
例1　在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线.
[反思感悟]　用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示平面几何问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
知识点二　用向量方法解决平面几何中的垂直问题
例2　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，证明：AF⊥DE.
[反思感悟]　利用向量解决垂直问题的方法和途径：
(1)方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.
(2)途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式.
知识点三　用向量方法求线段的长度
例3　如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.
[反思感悟]　利用向量法解决长度问题的方法：
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，有两种方法.一是利用图形的特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式｜a｜2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x， y)，则｜a｜＝.
知识点四　用向量方法求几何中的角度问题
例4　如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小.
[反思感悟]　用向量法求角的方法：将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，最后转化为实际问题中的角即可.
1. 在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC(　 　)
A. 是正三角形 B. 是直角三角形
C. 是等腰三角形 D. 形状无法确定
2. 已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为(　 　)
A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
3. 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC等于(　 　)
A. － B. C. 0 D.
4. 在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则｜｜＝ .

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