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四、 平面向量的应用
导学3　余弦定理
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　余弦定理及其推导
知识梳理
1. 余弦定理语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边
减去这两边与它们夹角的余弦的 .
平
方的和　
积的两倍　
2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
a2＝ ，
b2＝ ，
c2＝ .
b2＋c2－2bc cos A　
a2＋c2－2ac cos B　
a2＋b2－2ab cos C　
点拨：1. 适用范围：任意三角形.
2. 结构特征：“平方”“夹角”“余弦”.
3. 简单应用：每个等式都涉及三边和一角这四个元素，在等式中可以
做到“知三求一”.
例1　(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，c＝2， cos A＝ ，则b的值为(　D　)
A. B. C. 2 D. 3
【解析】 由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2× ，解得b＝3，或b＝
－ (舍去).
D
(2)在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则 cos C＝ .
【解析】 ∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又c2＝a2＋b2－
2ab cos C，∴2 cos C＝1，∴ cos C＝ .
　
知识点二
知识点二　已知两边及一角解三角形
例2　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2 ，A＝30°，求a的值；
解：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝32＋(2 )2－2×3×2
cos 30°＝3，∴a＝ .
(2)在△ABC中，已知b＝ ，c＝ ，B＝30°，求a的值.
解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得()2＝a2＋()2－2a× × cos 30°，即a2－3 a＋10＝0，解得a＝ ，或a＝2 .
[反思感悟]　已知三角形的两边及一角解三角形的方法：已知三角形的
两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出的两边中一边的对角，还
是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；
若是给出的两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，
解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，即满足大角对大边，两
边之和大于第三边等条件.
知识点三
知识点三　已知三边解三角形
例3　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝
3a，b2－a2＝ ac，求 cos B；
解：∵c＝3a，b2－a2＝ ac，∴b2－a2＝ a2，∴b2＝ a2，由余弦
定理得 cos B＝ ＝ ＝ .
(2)已知三角形的三边长为3，4， ，求最大角.
解：设最大角为α，∵大边对大角，∴ cos α＝ ＝－ ，
又0＜α＜π，∴α＝ .
[反思感悟]　1. 已知三边求角的基本思路：利用余弦定理的推论求出相
应角的余弦值，若值为正，则角为锐角；若值为负，则角为钝角.
2. 若已知三角形的三边关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化
简或利用比例性质，转化为已知的三边来求解.
知识点四
知识点四　利用余弦定理判断三角形的形状
例4　在△ABC中，若b2 sin 2C＋c2 sin 2B＝2bc cos B· cos C，试判断
△ABC的形状.
解：将已知等式变形为b2(1－ cos 2C)＋c2(1－ cos 2B)＝2bc cos B cos C.
由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2 －c2 ＝2bc×
× ，∴b2＋c2＝ ＝ ＝a2.
∴A＝90°，∴△ABC是直角三角形.
[反思感悟]　利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理转化为边的关
系，再进行判断.
(2)化角的关系：将条件中边的关系，通过余弦定理或三角恒等变换变
形，得到角与角之间的关系，再进行判断.
随堂巩固
随堂巩固
1. 在△ABC中，符合余弦定理的是(　A　)
A. c2＝a2＋b2－2ab cos C B. c2＝a2－b2－2bc cos A
C. b2＝a2－c2－2bc cos A D. cos C＝
A
2. 在△ABC中，若a＝2，c＝3， cos B＝－ ，则b的值为 (　C　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
C
3. 在△ABC中，若2a cos B＝c，则三角形的形状一定是(　B　)
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
B
4. 在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，
B＝ ，c＝2 ，则b＝ .
2　6.4 导学3　余弦定理
知识点一　余弦定理及其推导
1. 余弦定理语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边 减去这两边与它们夹角的余弦的 .
2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
a2＝ ，
b2＝ ，
c2＝ .
点拨：1. 适用范围：任意三角形.
2. 结构特征：“平方”“夹角”“余弦”.
3. 简单应用：每个等式都涉及三边和一角这四个元素，在等式中可以做到“知三求一”.
例1　(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cosA＝，则b的值为(　 　)
A. 　　　B. 　　　C. 2　　　D. 3
(2)在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cosC＝ .
知识点二　已知两边及一角解三角形
例2　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值；
(2)在△ABC中，已知b＝，c＝，B＝30°，求a的值.
[反思感悟]　已知三角形的两边及一角解三角形的方法：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出的两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出的两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，即满足大角对大边，两边之和大于第三边等条件.
知识点三　已知三边解三角形
例3　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝3a，b2－a2＝ac，求cosB；
(2)已知三角形的三边长为3，4，，求最大角.
[反思感悟]　1. 已知三边求角的基本思路：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，若值为正，则角为锐角；若值为负，则角为钝角.
2. 若已知三角形的三边关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知的三边来求解.
知识点四　利用余弦定理判断三角形的形状
例4　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，试判断△ABC的形状.
[反思感悟]　利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理转化为边的关系，再进行判断.
(2)化角的关系：将条件中边的关系，通过余弦定理或三角恒等变换变形，得到角与角之间的关系，再进行判断.
1. 在△ABC中，符合余弦定理的是(　 　)
A. c2＝a2＋b2－2abcosC B. c2＝a2－b2－2bccosA
C. b2＝a2－c2－2bccosA D. cosC＝
2. 在△ABC中，若a＝2，c＝3，cosB＝－，则b的值为 (　 　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
3. 在△ABC中，若2acosB＝c，则三角形的形状一定是(　 　)
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
4. 在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，则b＝ .6.4 导学3　余弦定理
知识点一　余弦定理及其推导
1. 余弦定理语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边　平方的和　减去这两边与它们夹角的余弦的　积的两倍　.
2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
a2＝　b2＋c2－2bccosA　，
b2＝　a2＋c2－2accosB　，
c2＝　a2＋b2－2abcosC　.
点拨：1. 适用范围：任意三角形.
2. 结构特征：“平方”“夹角”“余弦”.
3. 简单应用：每个等式都涉及三边和一角这四个元素，在等式中可以做到“知三求一”.
例1　(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cosA＝，则b的值为(　D　)
A. 　　　B. 　　　C. 2　　　D. 3
【解析】 由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3，或b＝－(舍去).
(2)在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cosC＝　　.
【解析】 ∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又c2＝a2＋b2－2abcosC，
∴2cosC＝1，∴cosC＝.
知识点二　已知两边及一角解三角形
例2　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值；
解：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(2)2－2×3×2cos30°＝3，∴a＝.
(2)在△ABC中，已知b＝，c＝，B＝30°，求a的值.
解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得()2＝a2＋()2－2a××cos30°，即a2－3a＋10＝0，解得a＝，或a＝2.
[反思感悟]　已知三角形的两边及一角解三角形的方法：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出的两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出的两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，即满足大角对大边，两边之和大于第三边等条件.
知识点三　已知三边解三角形
例3　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝3a，b2－a2＝ac，求cosB；
解：∵c＝3a，b2－a2＝ac，∴b2－a2＝a2，∴b2＝a2，由余弦定理得cosB＝＝＝.
(2)已知三角形的三边长为3，4，，求最大角.
解：设最大角为α，∵大边对大角，∴cosα＝＝－，又0＜α＜π，
∴α＝.
[反思感悟]　1. 已知三边求角的基本思路：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，若值为正，则角为锐角；若值为负，则角为钝角.
2. 若已知三角形的三边关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知的三边来求解.
知识点四　利用余弦定理判断三角形的形状
例4　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，试判断△ABC的形状.
解：将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC.
由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2－c2＝2bc××，
∴b2＋c2＝＝＝a2.
∴A＝90°，∴△ABC是直角三角形.
[反思感悟]　利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理转化为边的关系，再进行判断.
(2)化角的关系：将条件中边的关系，通过余弦定理或三角恒等变换变形，得到角与角之间的关系，再进行判断.
1. 在△ABC中，符合余弦定理的是(　A　)
A. c2＝a2＋b2－2abcosC B. c2＝a2－b2－2bccosA
C. b2＝a2－c2－2bccosA D. cosC＝
2. 在△ABC中，若a＝2，c＝3，cosB＝－，则b的值为 (　C　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
3. 在△ABC中，若2acosB＝c，则三角形的形状一定是(　B　)
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
4. 在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，则b＝　2　.

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